《应用数学基础》课件第二章幂函数、指数函数、对数函数.ppt

1、第二章 幂函数、指数函数、对数函数(一)本 章 内 容 小 结(二)常见问题分类及解法(三)思 考 题(四)课 堂 练 习(一一)本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容(1)函数的有关概念，函数的定义域的确定，图像的绘制；反函数的定义及其求法；函数的单调性及奇偶性。(2)幂函数、指数函数、对数函数的定义及其图像特征，主要性质。二、本章重点、难点二、本章重点、难点 函数的概念，幂函数、指数函数、对数函数的定义，图像及性质是重点；函数图形的绘制，反函数的概念及求法是难点。三、对学习的建议三、对学习的建议0()()(1)要注意映射概念中“单射”、“满射”、“一一映射”的含意；要注意

2、区分“”与“”代表的意义。f xf x(0,)(2)要注意幂函数的定义域与幂指数的取值有关；要注意指 数函数的函数值恒大于 0，对数函数的定义域是。四、本章关键词四、本章关键词映射函数反函数幂函数指数函数对数函数(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、求函数定义域一、求函数定义域 本章主要介绍了函数的有关概念及幂函数、指数函数、对数函数的概念，图像特征及其主要性质，常见问题及解答方法如下。根据函数定义域概念知，函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围。在实际问题中，函数的定义域是根据所研究的问题的实际意义来确定的。2222232(2)111621322ln(2)log(5)求下列

3、函数的定义域。(1)；(2)；(3)；(4)；(5).xxxxyyxxxxyyxxyx例例1 1解解2602323(,2)(2,3)(3,)(1)由于该函数的关系式为分式，且分式的分母不能为零，即，故 且.于是，函数的定义域为 且，用区间表示即；xxxxxx (2)该函数含有二次根式和分式，要使函数有意义，既要使根式有意义，又要使分式有意义，于是须2111012102 即 xxxx 111,122故，函数的定义域为；(3)该函数关系式中含有二次根式和指数函数，要使之有意义须222323532202322 即 xxxx2因函数 为递增函数，xy 22235280 故有 即 xxxx24 2,4解

4、之，得，即函数的定义域为；x220 (4)该函数关系式为对数表达式，由对数函数的要求须令，xx02解之，得 或，xx(,0)(2,)即函数的定义域为：；(5)要使该函数关系式存在，须令502021，xxx253求解得 且 xx(2,3)(3,5)故函数的定义域为.二、求已知函数的反函数二、求已知函数的反函数求已知函数的反函数的步骤如下：1()()(1)从已知函数 中求出反对应关系(即求用 表示 的关系式)，且该关系式能构成函数对应；yf xyxxfy11()()(2)将反对应关系 中 与 互换得，此即反函数的对应关系；xfyxyyfx(3)一般要求明确反函数的定义域.21431 求下列函数的反

5、函数.(1)；(2).xyyxx例例2 2解解21112122 (1)因已知函数为，从而求得，习惯上表示为，此即已知函数的反函数关系式，其定义域为 的实数；xyyxxyxyxx34340 (2)由 知，已知函数的定义域为；值域为.yxxy 22143(3)413(3)044 从关系式 中可解得，习惯上反函数为；定义域为；值域为.yxxyyxxy 三、判断两个函数是否为同一函数三、判断两个函数是否为同一函数 判断两个函数是否为同一函数的依据是函数的两个确定性要素。如果两个函数定义域相同，对应法则相同，那么这两个函数就相同，否则这两个要素只要有一个不相同，这两个函数就不同。22239ln(1)2l

6、n(1)判断下列各组函数是否相同.(1)与；(2)与；(3)与.xxyxyxyyyxyx例例3 3解解22111 (1)在这组函数中，的定义域为全体实数，的定义域也是全体实数，但二者的对应法则明显不同，如 时，对应的函数值为，而 对应的函数值为，故二者不是相同的函数；yxyxxyxyx 223(3)9 (2)在这组函数中，由于二者的函数关系式皆为指数函数表达式，故二者定义域皆为全体实数(相同).由幂运算性质知，即对应法则恒相同，所以这两个函数为相同的函数；xxxy 2ln(1)12ln(1)1 (3)在这组函数中，的定义域为 的全体实数，而 的定义域是 的实数，显然定义域不同，故二者不是相同的

7、函数.yxxyxx四、幂函数、指数函数、对数函数的性质的检验四、幂函数、指数函数、对数函数的性质的检验 这类题的求解取决于对这三类函数性质的掌握，因此要牢记它们的主要性质.4433334444433334343143222 _32 _32_33 _3111_2 _2221log_3 用“”、“”、“”符号表示下列各组数中的大小关系.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)例例4 41113221_loglog 3_log 22；(8).解解343432304 (1)这两个数中，幂指数相同，可看作幂函数 分别在，处的函数值.由于 yxxxyx3344(0,)23是 区间内的递增函数

8、，故，填“”号；4343443323(0,)23 (2)同(1)，这两个数可看作幂函数 分别在，处的函数值.由于 仍为 区间内的递增函数，故，填“”号；yxxxyx43434433243(0)(0,)323 (3)这两个数可看作是幂函数 分别在，处的函数值，而 为 内递减函数，所以，填“”号；yxxxyx 3343(31)43 (4)这两个数中，幂底数相同，可看作是指数函数分别在，处的函数值.由于 为xxyxxya433433递增函数，故，填“”号；344313424311(1)221122 (5)这两数可看作 分别在，处的函数值.由于函数 为递减函数，所以，填“”号；xxyxxya12312

9、33121222111021322211301222 (6)可看作是 在 处的值.由于，故；而 是 在 处的值，由于，故，所以，填“”号；xxyxxyxx2213121331log213111log0log332111log0loglog232 (7)这是两个对数值的比较，因 的底数，而真数为，由对数函数性质知，；而对数 据对数性质知，；进而二者比较得，填“”号；a 12121122log32loglog 3log 2 (8)这两个对数值是对数函数 分别在，处的函数值，而函数 为递减函数，故，填“”号.yxxxyx五、求解简单的指数方程及不等式五、求解简单的指数方程及不等式101 指数方程及不

10、等式的求解主要依据指数函数的性质，要牢记当指数函数的底数 时，函数为递增函数；当 时，函数为递减函数，进而把指数方程化为 的代数方程，把不等式化为 的不等式求解.aaxx4111394230 求解下列方程.(1)；(2).xxxx例例5 5解解412141223(3)33(1)方程可化为，即.xxxx4122于是，有，xx 32求解，得；x 22(2)2 230(2)2 230(2)方程可化为，即.xxxx 22230令，有，xttt1320求解，得，(舍去，因).xttt 221log 10于是，故方程的解为.xx22231251122 求解不等式.xxxx例例6 6解解12因函数 为递减函

11、数，xy22231251122所以要使 xxxx2223125须，xxxx 2560即.xx23求解，得.x六、求解简单的对数方程或不等式六、求解简单的对数方程或不等式这类题的求解，主要依据对数函数的性质进行.22lg(1)lg(2)lg(22)lglg30 求解下列方程.(1)；(2).xxxxx例例7 7解解(1)法一：lg(1)(2)lg(22)原方程可化为 xxx(1)(2)(22)于是，xxx1020220且，xxx 4求解，得.x 法二：lg(1)lg(2)lg2(1)原方程可化为 xxxlg(1)lg(2)lg2lg(1)于是，xxxlg(2)lg2故有 x22进而，x4方程的解

12、为；x 2(lg)2lg30(2)原方程可化为.xxlg令，xt2230有.tt1231求解，得，.tt lg3lg1于是，或.xx 3121010故原方程的解为，.xx1122log(34)log(2)求解不等式.xx例例8 8解解12log对数函数 为递减函数，yx1122log(34)log(2)所以要使，xx34234020须有 且，xxxx4332求解，得.x(三三)思考题思考题1、函数形成的三个阶段是什么？用映射刻画的函数近代定义 是什么？2、幂函数、指数函数、对数函数形式是什么？定义域是什 么？3、指数函数、对数函数的性质如何记忆？4、求反函数的方法.答答 案案答答 案案答答 案

13、案答答 案案(四四)课堂练习题课堂练习题 21 43,.、已知 0,1,2,3,5f xxxx :0,2,5.fff求及函数的值域2112(1),(2)922 .、用区间表示函数:的定义域yyxxx613,R,7.7、求且的反函数xyxxx4.、指出下列函数与零的关系12258433(1)log 1 log log log.344；(2)；(3)；(4)答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案 1 ,.,:,:,、把函数定义为解析表达式为第一阶段 定义为变量之间的单值对应为第二阶段 这种叙述函数的方法都是传统定义 把函数定义为映射是第三阶段也是数值连续函数的近代定义 用映射刻划函数设都是非空的

14、数集 那么到的映射就叫到的函数 记作A BABfABAB,y=f x.返返 回回2,0,1 log(0,),、它们分别为有理数；且；且1幂函数定义域随指数而定；指数函数定义域为一切实数,它们值永为正数；对数函数定义域是一切正数.axayxayaaayx aaa返返 回回 3、只记1 的图像即可.a返返 回回 4、求反函数实际是将自变量求出,再写成习惯式子.x返返 回回 3,9,42 3,2,9,18,42.1、0 2 5；值域为fff 返返 回回2 (1)、-,2；2330(2),.2,3.2209-即定义域：xxxx 返返 回回713 ,6.6、反函数为xyxR xx返返 回回2581244 (1)log 10 log0333 log0 log0.44、；(2)；(3)；(4)返返 回回