江苏省无锡市2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 [理科]（有答案，word版）.doc

1、 1 江苏省无锡市 2017-2018学年高二下期期末数学（理）试题 评卷人 得分 一、填空题 1已知复数 ，其中是虚数单位，则的模是 _ 【答案】 【解析】 分析 ： 分子分母同时乘以 ，化简整理，得出 ， 再得模 。 详解 ： ， 所以 。 点睛 ： 复数的除法运算公式 。 2设离散型随机变量 的概率分布如下： 则 的值为 _ 【答案】 【解析】 分析 ： 离散型随机变量 的概率之和为 1 详解 ： 解得： 。 点睛 ： 离散型随机变量 的概率之和为 1，是分布列的性质。 3已知直线在矩阵 对应的变换作用下变为直线： ，则直线的方程为_ 【答案】 2 【解析】 分析 ： 用相关点法求解，设

2、直线上的点为 直线上的点为 ，所以，代入直线的方程 详解：设直线上的点为 直线上的点为 ，直线在矩阵 对应的变换作用下所以： ，代入直线的方程整理可得直线的方程为 。 点睛 ： 理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。 4直线 与圆 相交的弦长为 _ 【答案】 【解析】试题分析：将直线 化为普通方程为： ， ， ，化为普通方程为： ，即 ，联立得 ，解得 ， 直线与圆相交的弦长为 故答案为 将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法 考点：简单曲线的极坐标方程 视频 5若 ， ，则 ， 的大小关系是 _ 【答案】 【解析】 分析：作差法 ， 用 ， 判断其符号。 详解 ： ，所以 ， 。 点睛 ：

3、作差法是比较大小的基本方法，根式的分子有理化是解题的关键 6求值： _ 【答案】 1 3 【解析】 分析：观察通项展开式中的 中 的次数与 中的一致 。 详解：通项展开式中 的 ， 故 = 点睛 ： 合并二项 式的展开式，不要纠结整体的性质，抓住具体的某一项中的 中 的次数与 中的一致，有负号时注意在 上还是在 上 。 7有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由 人承担，乙、丙各需由 人承担，从 人中选派 人承担这三项任务，不同的选法共有 _种（用数字作答） 【答案】 60 【解析】 分析：先从 5人中选 4人 （ 组合 ） ， 再给 4个人分派 3项任务，甲需 2人 ， 乙、丙各需由 人 。 详解：

4、先从 5人中选 4人 （ 组合 ） ， 再给 4个人分派 3项任务，甲需 2人 ， 乙、丙各需由 人 （乙、丙派的人不一样故要排列）。共有 60 种。 点睛 ： 分配问题，先分组（组合）后分派（排列）。 8用反证法证明命题： “ 定义在实数集上的单调函数 的图象与轴至多只有 个交点 ”时，应假设 “ 定义在实数集上的单调函数 的图象与轴 _” 【答案】 至少有 个交点 【解析】 分析 ： 反证法证明命题，只否定结论，条件不变。 详解 ： 命题： “ 定义在实数集上的单调函数 的图象与轴至多只有 个交点 ” 时，结论的反面为 “ 与轴至少有 个交点 ” 。 点睛 ： 反证法证明命题，只否定结论，

5、条件不变，至多只有 个理解为 ，故否定为 . 9在圆中：半径为的圆的内接矩形中，以正方 形的面积最大，最大值为 .类比到球中：半径为 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为 _ 4 【答案】 【解析】 分析 ： 圆的内接矩形中，以正方形的面积最大 ， 当边长等于 时，类比球中内接长方体中，以正方体的体积最大，棱长为 详解 ： 圆的内接矩形中，以正方形的面积最大 ， 当边长 时，解得 时 ， 类比球中内接长方体中，以正方体的体积最大，当棱长 , 解得 时 ，正方体的体积为 点睛：类比推理，理会题意抓住题目内在结构相似的推导过程 ， 不要仅模仿形式上的推导过程。 10平面上画 条直线，且

6、满足 任何 条直线都相交，任何 条直线不共点，则这 条直线将平面分成 _个部分 【答案】 【解析】 分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。 详解： 1条直线将平面分成 2个部分 ， 即 2条直线将平面分成 4 个部分，即 3条直线将平面分为 7 个部分，即 4条直线将平面分为 11个部分，即 ， 所以 ?. 5 根据累加法得 所以 点睛：本题综合考查了数列的累加法、归纳推理的综合应用 。 在解题过程中，应用归纳推理是解决较难题目的一种思路和方法，通过分 析具体项，找到一般规律，再分析解决问题，属于中档题 。 11在平面直角坐标系 中，已知点 是椭圆 ： 上

7、第一象限的点， 为坐标原点， 分别为椭圆 的右顶点和上顶点，则四边形 的面积的最大值为 _ 【答案】 【解析】 分析 ： 的面积的最大值当 到直线 距离最远的时候取得。 详解： ，当 到直线 距离最远的时候取得 的最大值，设 直线 ，所以，故 的最大值为 。 点睛 ： 分析题意，找到面积随 到直线 距离的改变而改变，建立面积与 到直线 距离的6 函数表达式，利用椭圆的参数方程求解距离的最 值。本题还可以用几何法分析与直线 平行的直线与椭圆相切时， 为切点，到直线 距离最大。 12在 的展开式中的所有的整数次幂项的系数之和为 _ 【答案】 122 【解析】 分析 ： 根据二项式定理的通项公式，写

8、出所有的整数次幂项的系数，再求和即可。 详解 ： 所以整数次幂项为 为整数是 ， 所以系数之和为 122 点睛 ： 项式定理中的具体某一项时，写出通项 的表达式，使其满足题目设置的条件。 13湖面上有 个相邻的小岛 ， ， ， ， ，现要建 座桥梁，将这 个小岛连接起来，共有 _不同方案（用数字作答） 【答案】 135 【解析】 分析 ： 个相邻的小岛一共可 座桥梁，选 座，减去不能彼此连接的即可。 详解 ： 个相邻的小岛一共可 座桥梁，选 座 不能彼此连接 ，共 135种。 点睛 ： 转化问题为组合问题。 14一个袋中有形状、大小完全相同的 个小球，其中 个红球，其余为白球 .从中一次性任取

9、 个小球，将 “ 恰好含有 个红球 ” 的概率记为 ，则当 _时，取得最大值 【答案】 20 【解析】 分析 ： 由题意可知，满足超几何分布，列出 的公式，建立 与 的表达式，求最大值。 详解 ： ， 取得最大值，也即是 取最大，所以： 7 解得 ， 故 。 点睛 ： 组合数的最大值，可以理解为数列的最大项来处理 。 评卷人 得分 二、解答题 15已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限，且满足 . （ 1）求复数 ； （ 2）设复数 满足： 为纯虚数， ，求 的值 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】 分析： （ 1） 解一元二次方程，得到 ， 根据 在复平面内对应的点位于第二象

10、限 ， 即可判断 的取值。 （ 2） 根据复数的乘法运算 、 纯虚数的概念 、 模的定义 ， 联立方程求得 x、 y的值，进而求得的值 。 详解： （ 1）因为 ，所以 ， 又复数 对应的点位于第二象限， 所以 ； （ 2）因为 ， 又 为纯虚数，所以 ， 有 得 ， 解得 ， 或 ， ； 所以 . 点睛：本题考查了复数相等、纯虚数等概念和复数的混合运算，对基本的运算原理要清晰，属于基础题。 16已知二阶矩阵 对应的变换将点 变换成 ，将点 变换成 . 8 （ 1）求矩阵 的逆矩阵 ； （ 2）若向量 ，计算 . 【答案】 （ 1） ；（ 2） 【解析】 分析 ：（ 1） 利用阶矩阵 对应的变

11、换的算法解出 ，再求 （ 2）先计算矩阵 的特征向量，再计算 详解：（ 1） ，则 ， ， 解得 ， ， ， ， 所以 ， 所以 ； （ 2）矩阵 的特征多项式为 ， 令 ，解得 ， ， 从而求得对应的一个特征向量分别为 ， . 令 ，求得 ， ， 所以 . 点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。 17在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数）， ，以原9 点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 极坐标方程为 . （ 1）若直线与圆 相切，求 的值； （ 2）已知直线与圆 交于 ， 两点，记点 、 相应的参数分别为 ， ，当 时，求的长 . 【答案】 （ 1） 或 ；（ 2） 【

12、解析】 分析：（ 1）消元法解出直线的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆的直角坐标方程，直线与圆 相切，则 。 （ 2）将直线 的参数方程为代入圆 的直角坐标方程并化简整理关于的一元二次方程。利用 的几何意义求解问题。 详解 ： （ 1）圆 的直角坐标方程为 ， 将直线的参数方程代入圆 的直角坐标方程得 ， 即为 ， 因为直线与圆 相切，所以 ， 所以 或 ， ，所以 或 ； （ 2）将 代入圆 的直角坐标方程为 ， 得 ， 又 ，所以 ， . 点睛：将直线 的参数方程为代入圆 的直角坐 标方程并化简整理关于的一元二次方程。利用 的几何意义求解问题是解决直线上的定点与交点问题的常规解法。注意 ，要去绝对值符号，需判断交点与定点的位置关系，上方为正，下方为负。 10 18将正整数排成如图的三角形数阵，记第 行的 个数之和为 . （ 1）设 ，计算 ， ， 的值，并猜想 的表达式； （ 2）用数学归纳法证明（ 1）的猜想 . 【答案】 （ 1） ；（ 2）见解析 【解析】 分析 ： 直接计算 ， 猜想： ； （ 2）证明： 当 时，猜想成立 . 设 时，命题成立，即 证明当 时，成立。 详解：（ 1）解： ， ， ， ， 猜想 ； （ 2）证明： 当 时，猜想成立 . 设 时，命题成立，即 ， 由题意可知 . 所以 ， ，