第二章一元二次函数 、 方程和不等式(公式、定理、结论图表).docx
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1、第二章 一元二次函数、方程和不等式(公式、定理、结论图表)1不等关系不等关系常用不等式来表示2实数a,b的比较大小文字语言数学语言等价条件ab是正数ab0abab等于零ab0abab是负数ab0ab3.重要不等式一般地,a,bR,有a2b22ab,当且仅当ab时,等号成立4等式的性质(1) 性质1 如果ab,那么ba;(2) 性质2 如果ab,bc,那么ac;(3) 性质3 如果ab,那么acbc;(4) 性质4 如果ab,那么acbc;(5) 性质5 如果ab,c0,那么.5不等式的基本性质(1)对称性:abba.(2)传递性:ab,bcac.(3)可加性:abacbc.(4)可乘性:ab,
2、c0acbc;ab,c0acbc.(5)加法法则:ab,cdacbd.(6)乘法法则:ab0,cd0acbd.(7)乘方法则:ab0anbn0(nN,n2)6基本不等式(1)有关概念:当a,b均为正数时,把叫做正数a,b的算术平均数,把叫做正数a,b的几何平均数(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即,当且仅当ab时,等号成立7.已知x、y都是正数,(1)若xyS(和为定值),则当xy时,积xy取得最大值.(2)若xyp(积为定值),则当xy时,和xy取得最小值2.上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大8一元二次不等式的概念只含有一个未知数,并且
3、未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式9一元二次不等式的一般形式(1)ax2bxc0(a0)(2)ax2bxc0(a0)(3)ax2bxc0(a0)(4)ax2bxc0(a0)思考1:不等式x2y20是一元二次不等式吗?提示:此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不等式10一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集思考2:类比“方程x21的解集是1,1,解集中的每一个元素均可使等式成立”不等式x21的解集及其含义是什么?提示:不等式x21的解集为x|x1,该集合中每一个元素都
4、是不等式的解,即不等式的每一个解均使不等式成立11三个“二次”的关系设yax2bxc(a0),方程ax2bxc0的判别式b24ac判别式000解不等式y0或y0的步骤求方程y0的解有两个不相等的实数根x1,x2(x1x2)有两个相等的实数根x1x2没有实数根画函数yax2bxc(a0)的图象得等的集不式解y0x|xx1_或xx2Ry0x|x1xx2思考3:若一元二次不等式ax2x10的解集为R,则实数a应满足什么条件?提示:结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2x10的解集为R,则解得a,所以不存在a使不等式ax2x10的解集为R.12分式不等式的解法主导思想:化分式不等式为整式不等式类
5、型同解不等式0(0)(其中a,b,c,d为常数)法一:或法二:(axb)(cxd)0(0)0(0)法一:或法二:k(其中k为非零实数)先移项通分转化为上述两种形式思考1:0与(x3)(x2)0等价吗?将0变形为(x3)(x2)0,有什么好处?提示:等价;好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式13(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件不等式ax2bxc0ax2bxc0b0,c0a0(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法设二次函数yax2bxc若ax2bxck恒成立ymaxk若ax2bxck恒成立ymink14.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解,认
6、真审题,分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系(2)设出起关键作用的未知量,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)(3)解不等式(或求函数最值)(4)回扣实际问题思考2:解一元二次不等式应用题的关键是什么?提示:解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解1作差法比较大小的一般步骤第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”;第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论);最后得结论概括为“三步一结论”,这里的“定号”是
7、目的,“变形”是关键.典例1:已知x1,比较3x3与3x2x1的大小解 3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(3x21)(x1)x1得x10,而3x210,(3x21)(x1)0,3x33x2x1.2.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.典例2:若ab0,cd0,e0,求证:.思路点拨可结合不等式的基本性质,分
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