广东省中山市普通高中2017-2018学年高二数学上学期期末模拟试题03（有答案，word版）.doc

1、 - 1 - 上学期 高 二数学 期末模拟 试题 03 （考试时间： 120分钟 总分： 160分） 一、填空题：本大题共 14小题，每题 5分，共 70 分 .请把答案填写在答题纸相应位置上 . 1.抛物线 2 4yx? 的准线方程是 . 2.命题 “ 01, 2 ? xRx ” 的否定是 3.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C ： 2 22 1x ya ?（ 0a? ）的一条渐近线与直线 l ： 2 1 0xy? ? ? 垂直，则实数 ?a . 4.在等差数列 na 中，已知 13,2 321 ? aaa ,则 ? 654 aaa 5.若 ABC 的内角 CBA , 所对的边 c

2、ba, 满足 4)( 22 ? cba ，且角 C=60，则 ab 的值为 6.原命题：“设 2, acbaRcba 则若、 ? bc2 ”则它的逆命题的真假为 7若方程 22171xykk?表示焦 点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是 8.在数列 na 中， BnAnaaanann ? 221,254 ?， *Nn? ，其中 BA, 为常数，则 BA, 的积 AB 等于 9.在各边 长均为 1的平行六面体 1111 DCBAABCD 中， M 为上底面 1111 DCBA 的中心，且ABADAA ,1 每两条的夹角都是 60，则向量 AM 的长 ?|AM 10.已知 023:)( 2

3、? xaxxP ，若 )(, xPRx? 是真命题，则实数 a的取值范围是 _ 11.椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的右焦点为 F，其右准线与 x 轴的交点为 A.在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F，则椭圆离心率的取值范围是 12.在算式 “1 口 4 口 30” 的两个 口 中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数 的和 为 _ 13.给出下列四个命题： 若 a b 0，则 1a 1b ； 若 a b 0，则 a 1a b 1b ； 若 a b 0，则 2a ba 2b ab ； 若 a 0， b 0，且 2a b 1，则 2a 1b 的最小值为

4、9. 其中正确命题的序号是 _ (把你认为正确命题的序号都填上 ) - 2 - 14.将 n 个正整数 1, 2, 3, ?， n (n? N*)分成两组，使得每组中没有两个数的和是一个完全平方数，且这两组数中没有相同的数 . 那么 n的最大 值是 二、解答题：（本大题共 6 小题，计 90 分 请把答案填写在答题纸相应位置上 , 解答应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 (本题满分 14 分） 已知公比为 3的等比数列 ?nb 与数列 ?na 满足 *,3 Nnb nan ? ，且 11?a ， （ 1）判断 ?na 是何种数列，并给出证明； （ 2）若11? nnn aaC

5、，求数列 ?nC 的前 n 项和 16 (本题满分 14 分） 已知 ABC 中， D 在边 BC 上，且 60,1,2 ? BDCBD o， 150ADC o （ 1） 求 AC 的长 ； （ 2）求 ABC 的面积 17 (本题满分 14 分） 如图，正三棱锥 ABC A1B1C1的底面边长为 a，侧棱长为 2 a， M是 A1B1的中点 （ I）求证： 1MC 是平面 ABB1A1的一个法向量； （ II）求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角 18 (本题满分 16 分） 已知椭圆 C： x2a2+ y2b2=1(a b 0)的离心率为 12 ，且经过点 P(1， 32 )。 (1)求

6、椭圆 C的方程； A A1 C B1 C1 B M - 3 - (2)设 F是椭圆 C的 右 焦点， M为椭圆上一点，以 M为圆心， MF 为半径作圆 M。问点 M满足什么条件时， 圆 M与 y轴有两个交点 ? (3)设 圆 M与 y轴交于 D、 E两点，求点 D、 E距离的最大值。 19 (本题满分 16 分） 设实数 yx, 满足不等式组? ? ? .|32|2 ,41 xy yx(1)画出 点 ),( yx 所在的平面区域 ，并在区域中标出边界所在直线的方程 ； (2)设 1?a ， 在 (1)所求的区域内，求函 axy? 的最大值和最小值 20 (本题满分 16 分） 已知数列 ?na

7、 满足： 1na? ，1 12a?， 2213(1 ) 2(1 )nnaa? ? ?， 记数列 21nnba? ，221nnnc a a?（ nN? ） . （ 1）证明数列 ?nb 是等比数列； （ 2）求数列 ?nc 的通项公式； （ 3）是否存在数列 ?nc 的不同项 ,ijkcc c （ i j k? ）使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项 ,ijkcc c （ i j k? ）；若不存在，请说明理由 答 案 一、填空题：本大题共 14小题，每题 5分，共 70 分 .请把答案填写在答题纸相应位置上 . 1. 1?x 2. 01, 2 ? xRx 3. 2 4. 42 5. 34

8、 6.真 7 74 ?k 8. 1 9. 211 10. 89?a 11. 12， 1) 12. 15 13. 14. 14 - 4 - 二、解答题：（本大题共 6 小题，计 90 分 请把答案填写在答题纸相应位置上 , 解答应写出 必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 (本题满分 14 分） 15. 解： 1） 111 13 3 3 , 13 n nnna aannnanb aab? ? ? ? ? ? ? ?， ? 6分 即 ?na 为等差数列 . ? 7分 （ 2）1 1 1 1 11 1 1 1 1 1,1 1nnn n n n n nnCS na a a a a a a? ?

9、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.? 14分 16 (本题满分 14 分） 16. 解： 在 ABC 中， BAD 150o 60o 90o， AD 2sin60o 3 ? 4分 在 ACD 中， AD2 ( 3 )2 12 2 3 1cos150 o 7， AC 7 ? 10分 AB 2cos60o 1 SABC 21 13sin60 o 343 ? 14分 17（ 1）如图，以点 A为坐标原点，平面 ABC为 xOy 平面， AB 方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系， 则 A（，）， B（ a，）， B1（ a， 2 a）， M（ 2a ， 2 a）， C1（ 2a ，

10、32a ， 2 a）。 所以 AB ),0,0,(a? 1BB1 3( 0 , 0 , 2 ), 0 , , 02a M C a? ?。? 5分 因为 ,1 0?ABMC ,11 0?BBMC 所以 1MC AB? ， 11MC BB? ， 从而 1MC? 平面 ABB1A1. 故 1MC 是平面 11AABB 的一个法向量 . ? 9分 （ II） 1AC 3, , 222aa a? ?。 因为 11 ACMC? 23 3 30 , , 0 , , 2 ,2 2 2 4aaa a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x y z A A1 C B1 C1 B M - 5

11、 - 又因为1MC a23?,1 3AC a?， 所以11 1cos , 2M C AC? ?，即 11, 60MC AC? ?. ? 13分 故 1AC 与侧面 11AABB 所成的角为 30 . ? 14 分 18 (本题满分 16 分） 【解】 ： (1) 椭圆 x2a2+ y2b2=1(a b 0)的离心率为 12 ，且经过点 P(1， 32 )， ? a2-b2 a =12 1a2+ 94b2=1，即 ?3a2-4b2=01a2+ 94b2=1，解得 ?a2=4b2=3， 椭圆 C的方程为 x24 +y23 =1。 ? 5分 (2)易求得 F(1， 0)。设 M(x0， y0)，则

12、x024 + y023 =1， 圆 M的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02， 令 x=0，化简得 y2-2y0y+2x0-1=0， =4y02-4(2x0-1)2 0?。 将 y02=3(1- x024 )代入，得 3x02+8x0-16 0， 解出 -4 x0 43 。 ? 10 分 (3)设 D(0， y1)， E(0， y2)，其中 y1 y2。由 (2)，得 DE= y2- y1= 4y02-4(2x0-1) = -3x02-8x0+16 = -3(x0+43 )2+643 ， ? 15分 当 x0=-43 时， DE的最大值为 8 3 2 。? 16 分

13、19. 解析： (1)已知的不等式组等价于 ? 1 x y4 ，y 22 x 3，2x 30 ，或? 1 x y4 ，y 2 x ，2x 3 0.? 2分 解得点 (x， y)所在平面区域为如图所示的阴影部分 (含边界 )其中 AB： y 2x 5； BC： x y 4； CD： y 2x 1； DA： x y 1. ? ? 4分 - 6 - ? 8分 (2)f(x， y)表示直线 l： y ax b在 y轴上的截距，且直线 l与 (1)中所求区域有公共点 a 1， 当直线 l过顶点 C时， f(x， y)最大 C 点的坐标为 ( 3,7)， f(x， y)的最大值为 7 3a. ? ? 10

14、 分 如果 12，那么直线 l过顶点 B(3,1)时， f(x， y)最小，最小值为 1 3a. ? ? 16 分 20.解：（ 1）由已知 )(0,1 *Nnba nn ? 431?b ， )1(2)1(3 221 nn aa ? ? ， )(32 *1 Nnbbnn ? 3分 所以 nb 是 43 为首项， 32 为公比的等比数列 ? 5分 （ 2） )()32(43 *1 Nnb nn ? ?， )()32(4311 *12 Nnba nnn ? ? 7分 )()32(41 *1221 Nnaac nnnn ? ? ? 10 分 （ 3）假设存在 kji ccc , 满足题意成等差数列， kij ccc ?2 代入得 111 )32(41)32(41)32(412 ? ? kij ? 12 分 ijijkijijkijij? ? 322 232 11 ，左偶右奇不可能成立。所以假设不成立， 这样三项不存在。 ? 16分