作业70（2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学（新课标版））.pdf

1、专题层级快练专题层级快练(七十七十) 1(2019陕西咸阳模拟)已知椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率 x2 a2 y2 b2 为 ，点 A 在椭圆 C 上，|AF1|2，F1AF260，过 F2与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 1 2 交于 P，Q 两点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2上是否存在点 M(m，0)，使得 MNPQ？若存在，求 实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由 答案(1)1 (2)存在 m x2 4 y2 3(0， 1 4) 解析(1)由 e ，得 a2c. 1 2 由|AF1|2，得|AF2|2

2、a2. 由余弦定理得|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cosF1AF2|F1F2|2，即 a23a3c2，解得 c 1，a2，b2a2c23. 所以椭圆 C 的方程为1. x2 4 y2 3 (2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0) 由 F2(1，0)，设直线 PQ 的方程为 yk(x1)，由 x2 4 y 2 3 1， yk（x1），) 得(4k23)x28k2x4k2120， 得 x1x2，故 x0. 8k2 4k23 x1x2 2 4k2 4k23 又点 N 在直线 PQ 上，所以 y0 (x1x22)，所以 y1y2 2 k（x11）k（x21） 2 k

3、 2 3k 4k23 N. ( 4k2 4k23， 3k 4k23) 因为 MNPQ，所以 kMN ，整理得 m. 0 3k 4k23 m 4k2 4k23 1 k k2 4k23 1 4 3 k2 (0， 1 4) 所以在线段 OF2上存在点 M(m，0)，使得 MNPQ，m 的取值范围为. (0， 1 4) 2(2019吉林一中二模)已知抛物线 C：y22px(p0)与直线 xy40 相切 2 (1)求该抛物线的方程； (2)在 x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点 M，过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，使得为定值？如果存在，求出点 M 的坐标；如果不存在，请说明理由

4、 1 |AM|2 1 |BM|2 答案(1)y28x(2)存在 M(4，0) 解析(1)联立方程，有消去 x，得 y22py8p0，由直线与抛物线相 x 2y40， y22px，) 2 切，得 8p232p0，解得 p4. 所以抛物线的方程为 y28x. (2)假设存在满足条件的点 M(m，0)(m0) 直线 l：xtym，由得 y28ty8m0， xtym， y28x，) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，有 y1y28t，y1y28m. |AM|2(x1m)2y12(t21)y12， |BM|2(x2m)2y22(t21)y22. ， 1 |AM|2 1 |BM|2 1 （t 21）

5、y12 1 （t 21）y22 1 t21 y12y22 y12y22 1 t21 4t2m 4m2 当 m4 时，为定值，所以 M(4，0) 1 |AM|2 1 |BM|2 3(2020湖南五市十校联考)已知动圆 C 过定点 F(1，0)，且与定直线 x1 相切 (1)求动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程 (2)过点 M(2，0)的任一条直线 l 与轨迹 E 相交于不同的两点 P，Q，试探究在 x 轴上是否 存在定点 N(异于点 M)，使得QNMPNM？若存在，求点 N 的坐标；若不存在， 说明理由 答案(1)y24x(2)存在点 N(2，0)，使得QNMPNM 解析(1)方法一：由题意知，动

6、圆圆心 C 到定点 F(1，0)的距离与其到定直线 x1 的距 离相等，又由抛物线的定义，可得动圆圆心 C 的轨迹是以 F(1，0)为焦点，x1 为准线的 抛物线，其中 p2. 动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程为 y24x. 方法二：设动圆圆心 C(x，y)，由题意知|x1|，化简得 y24x，即动圆圆心（x1）2y2 C 的轨迹 E 的方程为 y24x. (2)假设存在点 N(x0，0)，满足题设条件 由QNMPNM可知，直线 PN 与 QN 的斜率互为相反数，即 kPNkQN0. 由题意知直线 PQ 的斜率必存在且不为 0，设直线 PQ 的方程为 xmy2. 联立得 y24my80. y2

7、4x， xmy2，) 由 (4m)2480，得 m或 mb0)的左、右焦点分别为 F1，F2，右 x2 a2 y2 b2 顶点为 A，上顶点为 B，且满足向量0. BF1 BF2 (1)若 A(2，0)，求椭圆的标准方程 (2)设 P 为椭圆上异于顶点的点，以线段 PB 为直径的圆经过点 F1，问是否存在过点 F2的直 线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由 答案(1)1(2)存在，k x2 4 y2 2 1 2 30 10 解析(1)易知 a2，因为0， BF1 BF2 所以BF1F2为等腰直角三角形 所以 bc，由 a2b2c2可知 b， 2 故椭圆的标准方程为1. x2 4

8、 y2 2 (2)由已知得 b2c2，a22c2， 设椭圆的标准方程为1，点 P 的坐标为(x0，y0) x2 2c2 y2 c2 因为 F1(c，0)，B(0，c)， 所以(x0c，y0)，(c，c)， F1P F1B 由题意得0，所以 x0cy00. BF1 PF1 又因为点 P 在椭圆上，所以1，由以上两式可得 3x024cx00. x02 2c2 y02 c2 因为 P 不是椭圆的顶点， 所以 x0 c，y0 c，故 P. 4 3 1 3 ( 4 3c， 1 3c) 设圆心为(x1，y1)，则 x1 c，y1 c， 2 3 2 3 圆的半径 rc. （x 10）2（y1c）2 5 3

9、假设存在过点 F2的直线满足题设条件，并设该直线的方程为 yk(xc)， 由相切可知r，所以c， |kx1kcy1| k21 |k(2 3c)kc 2 3c| k21 5 3 即 20k220k10，解得 k ，故存在满足条件的直线 1 2 30 10 5(2020沧州七校联考)已知抛物线 C：y22px(p0)，其焦点为 F，O 为坐标原点，直线 l 与抛物线 C 相交于不同的两点 A，B，M 为 AB 的中点 (1)若 p2，M 的坐标为(1，1)，求直线 l 的方程 (2)若直线 l 过焦点 F，AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，试问：是否为定值？若为定 2|MN|2 |FN| 值，

10、试求出此定值；否则说明理由 答案(1)2xy10(2)是定值，定值为 2p 2|MN|2 |FN| 解析(1)由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0， 故设直线 l 的方程为 x1t(y1)， 即 xty 1t, 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由得 y24ty44t0， xty1t， y24x，) 16t21616t16(t2t1)0，y1y24t， 4t2，即 t . 1 2 直线 l 的方程为 2xy10. (2)抛物线 C：y22px(p0)，焦点 F 的坐标为. ( p 2，0) 由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0，直线 l 过焦点 F，故设直线 l 的方程为 xty (t0)， p 2 设 A (x1，y1)，B(x2，y2) 由得 y22ptyp20， xtyp 2， y22px，) y1y22pt，4p2t24p20. x1x2t(y1y2)p2pt2p，M. (pt 2p 2，pt) MN 的方程为 yptt. (xpt 2p 2) 令 y0，解得 xpt2，N， 3p 2 (pt 23p 2 ，0) |MN|2p2p2t2，|FN|pt2 pt2p， 3p 2 p 2 2p. 2|MN|2 |FN| 2（p2p2t2） pt2p 综上，是定值，定值为 2p. 2|MN|2 |FN|