作业87（2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学（新课标版））.doc

1、题组层级快练题组层级快练(八十七八十七) 1直线 x1tsin70， y2tcos70 (t 为参数)的倾斜角为( ) A70 B20 C160 D110 答案 B 解析 方法一：将直线参数方程化为标准形式 x1tcos20， y2tsin20 (t 为参数)，则倾斜角为 20，故选 B. 方法二：tancos70 sin70 sin20 cos20tan20，20. 另外，本题中直线方程若改为 x1tsin70， y2tcos70，则倾斜角为 160. 2若直线的参数方程为 x12t， y23t (t 为参数)，则直线的斜率为( ) A.2 3 B2 3 C.3 2 D3 2 答案 D 3参

2、数方程 x32cos， y42sin ( 为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 参数方程 x32cos， y42sin (为参数)表示的曲线的普通方程为(x3)2(y4)24， 这是圆心为(3，4)，半径为 2 的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为 1. 4(2020 皖南八校联考)若直线 l： x2t， y14t(t 为参数)与曲线 C： x 5cos， ym 5sin( 为参数) 相切，则实数 m 为( ) A4 或 6 B6 或 4 C1 或 9 D9 或 1 答案 A 解析 由 x2t， y14t(t 为参数)，得直线 l：2xy1

3、0，由 x 5cos， ym 5sin( 为参数)，得曲 线 C：x2(ym)25，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 |m1| 221 5，解得 m4 或 m6. 5(2019 北京朝阳二模)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 xt， y4t(t 为参数)以 原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 4 2 sin 4 ，则直线 l 和曲线 C 的公共点有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D无数个 答案 B 解析 直线 l： xt， y4t(t 为参数)化为普通方程得 xy40； 曲线 C：4 2sin( 4 )化成

4、普通方程得(x2)2(y2)28， 圆心 C(2，2)到直线 l 的距离为 d|224| 2 2 2r. 直线 l 与圆 C 只有一个公共点，故选 B. 6(2019 人大附中模拟)已知直线 l 的参数方程为 x2t， y1 3t(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程 为 2sin0，若在圆 C 上存在一点 P，使得点 P 到直线 l 的距离最小，则点 P 的直角坐 标为_ 答案 3 2 ，1 2 解析 由已知，得直线 l 的普通方程为 y 3x12 3，圆 C 的直角坐标方程为 x2(y 1)21，在圆 C 上任取一点 P(cos，1sin)(0，2)，则点 P 到直线 l 的距离为 d| 3

5、cossin22 3| 13 |2sin 3 22 3| 2 22 32sin 3 2 .0， 2，当 6 时，dmin 3，此时 P 3 2 ，1 2 . 7(2018 天津，理)已知圆 x2y22x0 的圆心为 C，直线 x1 2 2 t， y3 2 2 t (t 为参数)与该 圆相交于 A，B 两点，则ABC 的面积为_ 答案 1 2 解析 直线的普通方程为 xy20，圆的标准方程为(x1)2y21，圆心为 C(1，0)， 半径为 1， 点 C 到直线 xy20 的距离 d|102| 2 2 2 ， 所以|AB|21 2 2 2 2， 所以 SABC1 2 2 2 2 1 2. 8在直角

6、坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 x3t， y1t (t 为参数)在以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C：2 2cos 4 .则曲线 C 上的点到直线 l 的 距离的最大值为_ 答案 2 2 解析 由 x3t， y1t (t 为参数)消去 t，得直线 l 的普通方程为 xy40. 由 2 2cos 4 2 2 coscos 4 sinsin 4 2cos2sin，得 22cos 2sin. 将 2x2y2，cosx，siny 代入上式， 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y，即(x1)2(y1)22. 方法一：设曲线 C 上的点为 P(1 2cos

7、，1 2sin)， 则点 P 到直线 l 的距离为 d|1 2cos1 2sin4| 2 | 2（sincos）2| 2 |2sin 4 2| 2 . 当 sin 4 1 时，dmax2 2，所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 2. 方法二：设与直线 l 平行的直线为 l：xyb0， 当直线 l与圆 C 相切时，得|11b| 2 2，解得 b0 或 b4(舍去)， 所以直线 l的方程为 xy0. 所以直线 l 与直线 l的距离为 d|04| 2 2 2. 所以曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 2 2. 方法三：圆心到直线 l 的距离为|114| 2 2，所以直线

8、l 与圆相切，因此圆 C 上的点到直 线 l 的距离的最大值为直径长，即 2 2. 9(2016 课标全国)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x6)2y225. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l 的参数方程是 xtcos， ytsin (t 为参数)，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB| 10，求 l 的 斜率 答案 (1)212cos110 (2) 15 3 或 15 3 解析 (1)由 xcos，ysin可得圆 C 的极坐标方程为 212cos110. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 (

9、R) 设 A， B 所对应的极径分别为 1， 2， 将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 212cos 110. 于是 1212cos，1211. |AB|12|（12）2412 144cos244. 由|AB| 10得 cos23 8，tan 15 3 . 所以 l 的斜率为 15 3 或 15 3 . 10 (2018 课标全国)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C 的参数方程为 x2cos， y4sin ( 为参数)， 直线 l 的参数方程为 x1tcos， y2tsin (t 为参数) (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(

10、1，2)，求 l 的斜率 答案 (1)x 2 4 y2 161 x1 或 yxtan2tan (2)2 解析 (1)曲线 C 的直角坐标方程为x 2 4 y2 161. 当 cos0 时，l 的直角坐标方程为 yxtan2tan， 当 cos0 时，l 的直角坐标方程为 x1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos2)t24(2cos sin)t80. 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1，2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1，t2，则 t1t2 0. 又由得 t1t24（2cossin） 13cos2 ，故 2cossin0，于是直

11、线 l 的斜率 ktan 2. 11(2019 天星大联考)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 xt， y12 2t(t 为 参数)以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2cos( 4 )，若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点 (1)若 P(0，1)，求|PA|PB|； (2)若点 M 是曲线 C 上不同于 A，B 的动点，求MAB 的面积的最大值 答案 (1)2 10 3 (2)10 5 9 解析 (1)2 2cos( 4 )可化为 2cos2sin， 将 xcos， ysin 代入， 得曲线 C 的直 角坐标方程为(x1)2(

12、y1)22.将直线 l 的参数方程化为 x 1 3t， y12 2 3 t (t为参数)， 代入(x1)2(y1)22，得 t22 3t10，设方程的解为 t1，t2，则 t1t2 2 3， t1t21，因而|PA|PB|t1|t2|t1t2| （t1t2）24t1t22 10 3 . (2)将直线 l 的参数方程化为普通方程为 2 2xy10， 设 M(1 2cos， 1 2sin)， 由点到直线的距离公式， 得M到直线AB的距离为d|2 2（1 2cos）1 2sin1| 3 |2 24cos 2sin| 3 |2 23 2sin（）| 3 ， 故 d 的最大值为5 2 3 ，由(1)知|

13、AB|PA|PB|2 10 3 ，因而MAB 面积的最大值为1 2 5 2 3 2 10 3 10 5 9 . 12(2020 唐山摸底考试)在极坐标系中，曲线 C 的方程 22 2sin 4 40，以极点 O 为原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 xOy，直线 l： xtcos， ytsin (t 为参数，0 ) (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|OA|OB|的取值范围 答案 (1)(x1)2(y1)26 (2)0，2 2 解析 (1)由 22 2sin 4 40 得，22cos2sin40， 所以 x2y22x2y40，

14、即曲线 C 的直角坐标方程为(x1)2(y1)26. (2)将直线 l 的参数方程代入 x2y22x2y40 并整理得 t22(sincos)t40，设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t22(sincos)， t1t240. |OA|OB|t1|t2|t1t2|2(sincos)|2 2sin 4 |， 因为 0，所以 4 4 5 4 ，从而得20，故可设方程的两根分别为 t1，t2， 则 t1，t2为 A，B 对应的参数，且 t1t2110 41 . 依题意，点 M 对应的参数为t1t2 2 ，所以|PM|t1t2 2 |55 41. 方法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则 x0 x1x2 2 ，y0y1y2 2 . 由 x1 3 5t， y14 5t 消去 t，得 y4 3x 1 3. 将 y4 3x 1 3代入 x2 2 y21，并整理得 41x216x160， 因为 (16)2441(16)2 8800， 所以 x1x216 41，x1x2 16 41. 所以 x0 8 41，y0 4 3x0 1 3 4 3 8 41 1 3 3 41，即 M 8 41， 3 41 . 所以|PM| 8 411 2 3 411 2 33 41 2 44 41 2 55 41.