作业47（2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学（新课标版））.pdf

1、专题层级快练专题层级快练(四十七四十七) 1在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n3)条时，第一步检验第一个值 n0等于 1 2 () A1 B2 C3 D0 答案C 解析边数最少的凸 n 边形是三角形 2(2019山东德州一模)用数学归纳法证明 12222n22n31，在验证 n1 时， 左边的式子为() A1 B12 C1222 D122223 答案D 解析当 n1 时，左边122223.故选 D. 3用数学归纳法证明不等式“1 1 (nN*)”的过程，由 nk 到 nk 1 2 1 3 1 2n n 2 1 时，不等式的左边() A增加了 1 项 B增加了 2 项 C增加了

2、2k项 D增加了(2k1)项 答案C 解析2k12k2k. 4设 f(n)1 (nN*)，那么 f(n1)f(n)等于() 1 2 1 3 1 3n1 A. B. 1 3n2 1 3n 1 3n1 C. D. 1 3n1 1 3n2 1 3n 1 3n1 1 3n2 答案D 5 用数学归纳法证明 34n152n1(nN)能被 8 整除时， 当 nk1 时， 对于 34(k1)152(k 1)1可变形为() A5634k125(34k152k1) B3434k15252k C34k152k1 D25(34k152k1) 答案A 解析因为要使用归纳假设，必须将 34(k1)152(k1)1分解为归

3、纳假设和能被 8 整除的两 部分所以应变形为 5634k125(34k152k1) 6若数列an的通项公式 an，记 cn2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算 c1， 1 （n1）2 c2，c3的值，推测 cn_ 答案 n2 n1 解析c12(1a1)2 ， (1 1 4) 3 2 c22(1a1)(1a2)2 ， (1 1 4) (1 1 9) 4 3 c32(1a1)(1a2)(1a3)2 ， (1 1 4) (1 1 9) (1 1 16) 5 4 故由归纳推理得 cn. n2 n1 7设数列an的前 n 项和为 Sn，且对任意的自然数 n 都有：(Sn1)2anSn. (1)求

4、 S1，S2，S3； (2)猜想 Sn的表达式并证明 答案(1)S1 ，S2 ，S3 (2)Sn，证明略 1 2 2 3 3 4 n n1 解析(1)由(S11)2S12，得 S1 ； 1 2 由(S21)2(S2S1)S2，得 S2 ； 2 3 由(S31)2(S3S2)S3，得 S3 . 3 4 (2)猜想：Sn. n n1 证明：当 n1 时，显然成立； 假设当 nk(k1 且 kN*)时，Sk成立 k k1 则当 nk1 时，由(Sk11)2ak1Sk1，得 Sk1. 1 2Sk 1 2 k k1 k1 k2 从而 nk1 时，猜想也成立 综合得结论成立 8(2019保定模拟)已知 f

5、(x)x x2，设 0a1 ，an1f(an)，nN，证明：an. 3 2 1 2 1 n1 答案略 证明(1)当 n1 时，0a1 ，不等式 an成立； 1 2 1 n1 因为 a2f(a1) ，故 n2 时不等式也成立 3 2(a 11 3) 2 1 6 1 6 1 3 (2)假设 nk(k2)时，不等式 ak成立，因为 f(x)x x2的对称轴为 x ，知 f(x) 1 k1 3 2 1 3 在(， 上为增函数，所以由 ak ，得 f(ak)f. 1 3 1 k1 1 3 ( 1 k1) 于是有 ak1 . 1 k1 3 2 1 （k1）2 1 k2 1 k2 1 k2 k4 2（k1）

6、2（k2） 1 k2 所以当 nk1 时，不等式也成立 根据(1)(2)可知，对任何 nN，不等式 an成立 1 n1 9(2020湖北宜昌一中模拟)已知函数 f(x) x3x，数列an满足条件 ： a11，an1f(an 1 3 1)试比较与 1 的大小，并说明理由 1 1a1 1 1a2 1 1a3 1 1an 答案1 1 1a1 1 1a2 1 1a3 1 1an 解析f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21. 函数 g(x)(x1)21x22x 在区间1，)上单调递增， 于是由 a11，得 a2(a11)21221，进而得 a3(a21)21241231. 由此猜想：an2n1. 下面用数学归纳法证明这个猜想： 当 n1 时，a12111，结论成立； 假设 nk(k1 且 kN*)时结论成立，即 ak2k1， 则当 nk1 时， 由 g(x)(x1)21 在区间1， )上单调递增知， ak1(ak1)2122k 12k11，即 nk1 时，结论也成立由知，对任意 nN*，都有 an2n1.即 1 an2n，. 1 1an 1 2n 11. 1 1a1 1 1a2 1 1a3 1 1an 1 2 1 22 1 23 1 2n ( 1 2) n