作业55(2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学(新课标版)).doc
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1、题组层级快练题组层级快练(五十五五十五) 1在正方体 ABCDA1B1C1D1中,M 是 AB 的中点,则 sinDB1 ,CM 的值等于( ) A.1 2 B. 210 15 C. 2 3 D. 11 15 答案 B 解析 分别以 DA,DC,DD1为 x,y,z 轴建系, 令 AD1,DB1 (1,1,1),CM 1,1 2,0 . cosDB1 ,CM 11 2 3 5 2 15 15 . sinDB1 ,CM 210 15 . 2已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,底面 ABCD 为正方形,AA12AB,E 为 AA1的中 点,则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为( )
2、A. 10 10 B.1 5 C.3 10 10 D.3 5 答案 C 解析 如图,以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 设 AA12AB2,则 B(1,1,0),E(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,2) BE (0,1,1),CD1 (0,1,2) cosBE ,CD1 12 2 5 3 10 10 . 3.(2020 湖南、江西十四校联考)如图,已知棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1,点 E 为线段 CD1的中点,则直线 AE 与平面 A1BCD1所成角 的正切值为( ) A. 2 2 B.1 2 C. 3 2 D. 2 答案 A 解析 连接 AB1与
3、A1B 交于点 F, 由于 AFA1B, AFBC, 则 AF平面 A1BCD1.连接 EF, 则AEF 是直线 AE 与平面 A1BCD1所成角,tanAEFAF EF 2 2 .故选 A. 4.如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,若 M 是线段 A1C1上的动点, 则下列结论不正确的是( ) A三棱锥 MABD 的正视图面积不变 B三棱锥 MABD 的侧视图面积不变 C异面直线 CM,BD 所成的角恒为 2 D异面直线 CM,AB 所成的角可为 4 答案 D 解析 对于选项 A,三棱锥 MABD 的正视图为三角形,底边为 AB 的 长, 高为正方体的高, 故三棱锥MABD的正视图面
4、积不变, 故A正确 对 于选项 B,三棱锥 MABD 的侧视图为三角形,底边为 AD 的长,高为 正方体的高,故三棱锥 MABD 的侧视图面积不变,故 B 正确对于选 项 C,连接 AC,BD,A1C,则 BDAC,ACA1C1,BDA1C1. 又BDCC1,BD平面 A1C1C.CM平面 A1C1C,BDCM,故 C 正确对于选 项 D,以 A 为原点,分别以 AB,AD,AA1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设正 方体的棱长为 1,则 M(a,a,1),B(1,0,0),A(0,0,0),C(1,1,0)CM (a1,a 1,1),AB (1,0,0),cosCM ,AB a1 2(a
5、1)21 2 2 ,异面直线 CM, AB 所成的角不可能是 4 ,故 D 错误故选 D. 5若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120,则直线 l 与平面 所成的角等 于( ) A120 B60 C30 D150 答案 C 解析 设直线 l 与平面 所成的角为 ,则 sin|cos120|1 2,又 090. 30. 6(2020 昆明市高三调研)在长方体 ABCDA1B1C1D1中,ABAD4,AA12.过点 A1 作平面 与 AB, AD 分别交于 M, N 两点, 若 AA1与平面 所成的角为 45, 则截面 A1MN 面积的最小值是( ) A2 3 B4 2 C4 6
6、D8 2 答案 B 解析 如图,过点 A 作 AEMN,连接 A1E,A1A平面 ABCD, A1AMN,MN平面 A1AE,A1EMN,平面 A1AE平面 A1MN,AA1E 为 AA1与平面 A1MN 所成的角,AA1E45, 在 RtA1AE 中,AA12,AE2, A1E2 2,在 RtMAN 中,由射影定理得 ME EN AE24,由基本不等式得 MNMEEN2 ME EN4,当且仅当 MEEN,即 E 为 MN 的中点时等号成立,截面 A1MN 面积的最小值为1 242 24 2.故选 B. 7(2020 四川雅安期末)如图,将矩形 ABCD 沿对角线 BD 把ABD 折 起,使点
7、 A 移到点 A1处,且 A1在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上, 则 BC 与 A1D 所成角是( ) A30 B45 C60 D90 答案 D 解析 本题主要考查异面直线所成角及线面垂直的判定与性质 因为 A1在平面 BCD 上的射 影 O 恰好在 CD 上,所以 A1O平面 BCD.因为 BC平面 BCD,所以 A1OBC.又因为 BCCD,A1OCDO,所以 BC平面 A1CD.又 A1D平面 A1CD,所以 BCA1D,故 BC 与 A1D 所成的角为 90.故选 D. 8(2020 东北三省三校二模)在四棱锥 PABCD 中,PA平面 ABCD,底面 ABCD 是正方
8、形,且 PAAB2,则直线 PB 与平面 PAC 所成角为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 答案 A 解析 本题考查线面角及线面垂直的判定与性质连接 BD,交 AC 于点 O.因为 PA平面 ABCD,底面 ABCD 是正方形,所以 BDAC,BD PA.又因为 PAACA,所以 BD平面 PAC,故 BO平面 PAC.连接 OP,则BPO 即为直线 PB 与平面 PAC 所成角又因为 PAAB2,所 以 PB2 2,BO 2.所以 sinBPOBO PB 1 2,所以BPO 6 .故选 A. 9(2020 保定模拟)在直三棱柱 ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB
9、90, 侧棱 AA12,D,E 分别是 CC1与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重 心 G.则 A1B 与平面 ABD 所成角的余弦值是( ) A. 2 3 B. 7 3 C. 3 2 D. 3 7 答案 B 解析 以 C 为坐标原点, CA 所在直线为 x 轴, CB 所在直线为 y 轴, CC1 所在直线为 z 轴, 建立直角坐标系, 设 CACBa, 则 A(a, 0, 0), B(0, a, 0), A1(a, 0, 2), D(0, 0, 1), E a 2, a 2,1 , G a 3, a 3, 1 3 , GE a 6, a 6, 2 3 , BD
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