9-4 圆与圆的位置关系及圆的综合问题 PPT课件（2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学）.ppt

1、20212021衡水中学高考一轮总复习衡水中学高考一轮总复习 理科数学理科数学 精 品 课 件 （新课标版）（新课标版） 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第2页页 课前自助餐 授人以渔 02 01 课内导航 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第3页页 第4课时 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 及圆的综合问题及圆的综合问题 2020 考纲下载 1能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 2了解弦长最值、轨迹问题的解法 请注意 圆的弦长最值、轨迹问题一直是高考热点 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标

2、理（新课标 版）版） 第第4页页 课课前前自自助助餐餐 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第5页页 1求直线被圆截得的弦长的常用方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成 直角三角形计算 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第6页页 2圆与圆的位置关系的判定 设C1：(xa1)2(yb1)2r12(r10)， C2：(xa2)2(yb2)2r22(r20)，则有： |C1C2|_r1r2C1与C2相离； |C1C2|_r1r2C1与C2外切； |r1r2|_|C1C2| 高考一轮总复习高考一轮总复习

3、 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第7页页 1两圆 x2y22y0 与 x2y240 的位置关系是( ) A相交 B内切 C外切 D内含 答案 B 解析 两圆方程可化为 x2(y1)21，x2y24.两圆圆心分 别为 O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为 r11，r22. |O1O2|1r2r1.两圆内切 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第8页页 2(2020 皖南八校联考)已知圆 O1的方程为 x2y24，圆 O2的方程为(xa)2y21，如果这两个圆有且只有一个公共点， 那么 a 的所有取值构成的集合是( ) A1，1 B3，3

4、C1，1，3，3 D5，5，3，3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第9页页 答案 C 解析 两圆只有 1 个公共点，则两圆外切或内切 如果两圆外切，则|a|213，a 3； 如果两圆内切，则|a|1，a 1. 综上，a1，1，3，3，选 C. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第10页页 3(2019 衡水中学调研卷)已知圆 C1：(x2)2(y3)21， 圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为( ) A5 24 B. 171

5、 C62 2 D. 17 答案 A 解析 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值， 作点 C1关于 x 轴的对称点 C1(2， 3)， 则(|PC1|PC2|)min|C1C2| 5 2，所以(|PM|PN|)min5 2(13)5 24. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第11页页 4 直线 x2y30 被圆(x2)2(y1)24 截得的弦长为 _ 答案 2 55 5 解析 因为圆心(2，1)到直线 x2y30 的距离 d |223| 5 3 5，所以直线 x2y30 被圆截得的弦长为 2 49 5 2 55 5 . 高考一轮总复习高

6、考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第12页页 5 圆 x2y240 与圆 x2y24x4y120 的公共弦所 在的直线方程为_ 答案 xy20 解析 两圆作差得 4x4y80，即 xy20. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第13页页 授授 人人 以以 渔渔 题型一 圆与圆的位置关系 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第14页页 例 1 已知两圆 x2y22x6y10 和 x2y210 x12y m0.求： (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？

7、(3)求 m45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第15页页 【解析】 两圆的标准方程分别为 (x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m， 圆心分别为 M(1，3)，N(5，6)， 半径分别为 11和 61m. (1)当两圆外切时， （51）2（63）2 11 61m. 解得 m2510 11. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第16页页 (2)当两圆内切时，因定圆的半径 11小于两圆圆心间距离， 故只有 61m 115.解得 m2510 11. 因为 kMN

8、63 51 3 4，所以两圆公切线的斜率是 4 3. 设切线方程为 y4 3xb，则有 4 313b 4 3 21 11. 解得 b13 3 5 3 11. 容易验证，当 b13 3 5 3 11，直线与后一圆相交，舍去 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第17页页 故所求公切线方程 y4 3x 13 3 5 3 11， 即 4x3y5 11130. (3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2y22x6y1) (x2y210 x12y45)0，即 4x3y230. 由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长 为 2（ 11）2 |43323| 4

9、232 22 7. 【答案】 (1)m2510 11 (2)m2510 11，4x3y 5 11130 (3)4x3y230 2 7 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第18页页 状元笔记 (1)判断两圆位置关系的方法 常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的 关系，一般不用代数法 (2)两圆公共弦长的求法 两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距 d，半弦长 l 2，半径 r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第19页页 思考题 1 (1)(2020 山东省实验中

10、学期中)圆 C1：(x2)2(y 2)24 和圆 C2：(x2)2(y5)216 的位置关系是( ) A相离 B相交 C内切 D外切 【解析】 易得圆 C1的圆心为 C1(2，2)，半径 r12，圆 C2 的 圆 心 为C2(2 ， 5) ， 半 径r2 4 ， 圆 心 距 |C1C2| 2（2）2（52）250)与圆 N：x2(y1)21 外切，则直线 xy 20 被圆 M 截得线段 的长度为( ) A1 B. 3 C2 D2 3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第21页页 【解析】 由题意， a2121， a2 2， 圆心 M(2 2， 0)到直线

11、 xy 20 的距离 d|2 20 2| 2 1， 直线 xy 20 被圆 M 截得线段的长度为 2 412 3，故选 D. 【答案】 D 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第22页页 (3)若圆 x2y2a2与圆 x2y2ay60 的公共弦长为 2 3，则 a_ 【解析】 两圆作差得公共弦所在直线方程为 a2ay60.原 点到 a2ay60 的距离为 d 6 aa . 公共弦长为 2 3. a2( 3)2 6 aa 2，a24，a 2. 【答案】 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第23页页 题型二 弦长及中

12、点弦问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第24页页 例 2 圆 x2y28 内一点 P(1，2)，过点 P 的直线 l 的倾 斜角为 ，直线 l 交圆于 A，B 两点. (1)求当 3 4 时，AB 的长； (2)当弦 AB 被点 P 平分时，求直线 l 的方程 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第25页页 【解析】 (1)当 3 4时，kAB1， 直线 AB 的方程为 y2(x1)，即 xy10. 故圆心(0，0)到 AB 的距离 d|001| 2 2 2 ， 从而弦长|AB|281 2 30. 高考一轮总复

13、习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第26页页 (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22，y1y24. 由 x12y128， x22y228， 两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0， 即2(x1x2)4(y1y2)0，kABy 1y2 x1x2 1 2. 直线 l 的方程为 y21 2(x1)，即 x2y50. 【答案】 (1) 30 (2)x2y50 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第27页页 状元笔记 在研究弦长及弦中点问题时，可设弦 AB 两端点的坐标分别 为 A(x1，y1)

14、，B(x2，y2) (1)若 OAOB(O 为原点)，则可转化为 x1x2y1y20，再结 合根与系数的关系，代入方程简化运算过程，这在解决垂直关系 问题中是常用的； 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第28页页 (2)若弦 AB 的中点为(x0，y0)，圆的方程为 x2y2r2， x12y12r2， x22y22r2，k y2y1 x2x1 x2x1 y2y1 x0 y0； (3)在弦长及弦中点问题中常借助圆的几何性质，如垂径定 理、相交弦定理等 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第29页页 思考题 2 (1)已

15、知圆 x2y22x2ya0 截直线 xy2 0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值是( ) A2 B4 C6 D8 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第30页页 【解析】 先求出圆心、半径以及圆心到直线的距离，再列 方程求解 由圆的方程 x2y22x2ya0 可得，圆心为(1，1)， 半径 r 2a.圆心到直线 xy20 的距离为 d|112| 2 2.由 r2d2 4 2 2，得 2a24，所以 a4. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第31页页 (2)(2016 课标全国)已知直线 l：mxy

16、3m 30 与圆 x2y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交 于 C，D 两点若|AB|2 3，则|CD|_ 【解析】 设圆心到直线 l：mxy3m 30 的距离为 d， 则弦长|AB|2 12d22 3，得 d3，即|3m 3| m21 3，解得 m 3 3 ，则直线 l：x 3y60，数形结合可得|CD| |AB| cos304. 【答案】 4 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第32页页 (3)(2019 江苏滨海中学月考)若 PQ 是O：x2y29 的一条 弦，PQ 的中点是点 E(1，2)，则直线 PQ 的方程

17、是_ 【解析】 由题意可知 OEPQ.因为 kOE20 102，所以 kPQ 1 2，所以直线 PQ 的方程为 y2 1 2(x1)，整理得 y 1 2x 5 2. 【答案】 y1 2x 5 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第33页页 题型三 与圆有关的最值问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第34页页 例 3 已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求 yx 的最大值和最小值； (3)求 x2y2的最大值和最小值 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理

18、（新课标理（新课标 版）版） 第第35页页 【解析】 (1)(斜率型) 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心， 3为半 径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 y x k，即 ykx. 当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时 |2k0| k21 3，解得 k 3. 所以y x的最大值为 3，最小值为 3. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第36页页 (2)(截距型) 方法一：yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，当直 线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时 |20

19、b| 2 3，解得 b2 6. 所以 yx 的最大值为 62，最小值为 62. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第37页页 方法二：设圆的参数方程为 x2 3cos， y 3sin (02)， 则 yx 3sin 3cos2 6sin 4 2， 当 3 4时， 取最大值 62，当 7 4时，取最小值 62. (3)(距离型) 方法一：x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面 几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和 最小值 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第38页页 又圆心到原点的距离为

20、（20）2（00）22， 所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3， x2y2的最小值是(2 3)274 3. 方法二：由(2)中的参数方程可得： x2y2(2 3cos)2( 3sin)274 3cos，从而得 最大值为 74 3，最小值为 74 3. 【答案】 (1) y x min 3， y x max 3 (2)(yx)min 62，(yx)max 62 (3)(x2y2)min74 3，(x2y2)max74 3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第39页页 状元笔记 与圆有关的最值问题的常见题型 (1)形如 yb xa形式的最值问题，可转

21、化为动直线斜率的最 值问题； (2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的 最值问题； (3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题， 可转化为动点到定 点距离的平方的最值问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第40页页 思考题 3 已知圆 C：x2y24x14y450，M 是圆 C 上任意一点 (1)已知 Q(2，3)，求|MQ|的最大值与最小值； (2)求 ux2y 的最大值与最小值； (3)求 vy3 x2的最大值 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第41页页 【解析】 (1)圆方程可化为(

22、x2)2(y7)2(2 2)2，圆心 C(2，7)，半径 r2 2. 所以|QC| （22）2（37）24 2. 由平面几何知识可知|MQ|的最大值为|QC|2 26 2， 最小 值为|QC|2 22 2. (2)因为ux2y表示斜率为1 2的直线， 且它与圆C有交点 故 |227u| 1222 2 2， 即|u12|2 10.所以2 1012u2 10 12.故 ux2y 的最大值为 2 1012，最小值为2 1012. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第42页页 (3)vy3 x2的几何意义是圆上任一点 M(x，y)与 A(2，3) 的连线的斜率，

23、直线与圆相切时取得最值，直线方程化为 vxy 2v30. 由于 |4v4| v212 2，解得 vmax2 3. 【答案】 (1)|MQ|max6 2，|MQ|min2 2 (2)umax2 1012，umin2 1012 (3)vmax2 3 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第43页页 题型四 与圆有关的轨迹问题 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第44页页 例 4 (1)如图所示，圆 O1和圆 O2的半径长都等于 1，|O1O2| 4.过动点 P 分别作圆 O1， 圆 O2的切线 PM， PN(M， N 为切

24、点)， 使得|PM| 2|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点 P 的轨迹方 程 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第45页页 【解析】 以 O1O2的中点 O 为原点， O1O2 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角 坐标系，则 O1(2，0)，O2(2，0) 由已知|PM| 2|PN|，得|PM|22|PN|2. 因为两圆的半径长均为 1，所以|PO1|212(|PO2|21) 设 P(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21， 化简，得(x6)2y233，所以所求轨迹方程为(x6)2y2 33. 【答案】 (x6)2y233 高考一

25、轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第46页页 (2)(2019 福建清流一中模拟)已知直线 l： xya0， M(2， 0)，N(1，0)，动点 Q 满足|QM| |QN| 2，动点 Q 的轨迹为曲线 C. 求曲线 C 的方程； 若直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A，B，且满足OA OB 0(其中 O 为坐标原点)，求 a 的值 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第47页页 【解析】 设点 Q(x， y)， 依题意知|QM| |QN| （x2）2y2 （x1）2y2 2，整理得 x2y22，曲线 C 的方程为 x2

26、y22. 若满足OA OB 0，则 OAOB，即AOB 为等腰直角 三角形，则圆心 O 到直线 l：xya0 的距离 d 2 2 r1，即 d |a| 21，解得 a 2. 【答案】 x2y22 2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第48页页 状元笔记 求与圆有关的轨迹问题的常用解法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程 (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程 (3)几何法：利用圆的几何性质列方程 (4)代入法：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的 关系式 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第49页

27、页 思考题 4 已知圆 x2y24 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆 内一点，P，Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第50页页 【解析】 (1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可 知，P 点坐标为(2x2，2y) 因为 P 点在圆 x2y24 上， 所以(2x2)2(2y)24，即(x1)2y21. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第51页页 (2)设 PQ 的中点为 N(x，y) 在 RtPBQ 中，|PN|BN|. 设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ， 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以 x2y2(x1)2(y1)24. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10. 【答案】 (1)(x1)2y21 (2)x2y2xy10 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学 理（新课标理（新课标 版）版） 第第52页页 请做：题组层级快练（六十一） 2 2 0 0 2 2 1 1 衡 水 重 点 中 学 高 考 调 研 高 考 调 研 看 观 谢 谢