9-9专题研究一求曲线的轨迹方程 PPT课件（2021衡水中学高考一轮总复习 理科数学）.ppt

1、20212021衡水中学高考一轮总复习衡水中学高考一轮总复习 理科数学理科数学 精 品 课 件 （新课标版）（新课标版） 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第2页页 专题要点 专题讲解 02 01 课内导航 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第3页页 专题研究一 求曲线的轨迹方程求曲线的轨迹方程 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第4页页 专专 题题 要要 点点 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第5页页 1求曲线轨迹方程的方法 (1)直接法：也叫直译

2、法，即根据题目条件，直译为关于动点 的几何关系， 再利用解析几何有关公式(两点间距离公式、 点到直 线距离公式等)进行整理、化简 (2)定义法： 若动点轨迹满足已知曲线的定义， 可先设定方程， 再确定其中的基本量 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第6页页 (3)代入法：也叫相关点法，其特点是，动点 M(x，y)的坐标 取决于已知曲线 C 上的点(x，y)的坐标，可先用 x，y 表示 x ，y，再代入曲线 C 的方程，即得点 M 的轨迹方程 (4)参数法：先取适当的参数，分别用参数表示动点坐标 x， y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程 高考一轮

3、总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第7页页 2注意事项 (1)轨迹与轨迹方程的区别：求轨迹方程只求出方程即可，求 轨迹时， 首先求出轨迹方程， 然后说明轨迹的形状、 位置、 大小 若 轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的全面性 (2)求轨迹方程时， 要注意曲线上的点与方程的解是一一对应 关系检验可以从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同 解变形，二是是否符合题目的实际意义 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第8页页 专专 题题 讲讲 解解 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第9页页 例

4、设圆 C：(x1)2y21，过原点 O 作圆的任意弦，求 所作弦的中点的轨迹方程 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第10页页 【解析】 方法一(直接法)：设 OQ 为过 O 的一条弦，P(x， y)为其中点，则 CPOP，OC 中点为 M 1 2，0 ， 则|MP|1 2|OC| 1 2，得方程 x1 2 2y21 4，考虑轨迹的范围 知 0x1. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第11页页 状元笔记 直接法求轨迹方程 (1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方 程，然后进行化简 (2)运用直接法应注意的问

5、题 在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了 方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不 能忽视的 若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第12页页 方法二(定义法)：OPC90， 动点 P 在以 M 1 2，0 为圆心，OC 为直径的圆上，|OC|1， 再利用圆的方程得解 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第13页页 状元笔记 定义法求轨迹方程 (1)适用条件 动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、 双曲线、抛物线的定义 (2)关键 定义

6、法求轨迹方程的关键是弄清各种常见曲线的定义 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第14页页 方法三(相关点法)：设 Q(x1，y1)，则 xx1 2 ， yy1 2 x12x， y12y. 又(x11)2y121， (2x1)2(2y)21(0x1) 即 x1 2 2y21 4(0x1) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第15页页 状元笔记 相关点法求轨迹方程 (1)相关点法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的， 另一个是次动的，如本题中 Q 是主动点，P 是次动点 (2)当题目中的条件同时具有以下特征时， 一般可以用

7、相关点 法求其轨迹方程： 某个动点 Q 在已知方程的曲线上移动； 另一个动点 P 随 Q 的变化而变化； 在变化过程中 Q 和 P 满足一定的规律 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第16页页 方法四(参数法)：设动弦 PQ 的方程为 ykx，代入圆的方程 得(x1)2k2x21，即(1k2)x22x0， xx 1x2 2 1 1k2，ykx k 1k2消去 k 即可 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第17页页 状元笔记 参数法求轨迹方程 动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式，也没有明显 的相关点，但却较易发现(或经

8、过分析可发现)这个动点的运动与 某一个变量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第18页页 方法五(参数法)：设 Q 点坐标为(1cos，sin)， P(x，y)的坐标为 x1cos 2 ， ysin 2 ， 消 即可 【答案】 x1 2 2y21 4(00)内切于正方形 ABCD，任取圆上一 点 P，若OP aOA bOB (a，bR)，若 M(a， b)， 则动点 M 所形成的轨迹曲线的长度为( ) A B. 2 C. 3 D2 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第25页页 【解

9、析】 设 P(x，y)，则 x2y2r2，A(r，r)，B(r，r)由 OP aOA bOB ，得 x（ab）r， y（ab）r，代入 x 2y2r2，得(ab)2 (ab)21，即 a2b21 2，故动点 M 所形成的轨迹曲线的长度 为 2. 【答案】 B 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第26页页 (2)已知 A，B，C 是直线 l 上的三点，且|AB|BC|6，圆 Q 切直线 l 于点 A，又过 B，C 作圆 Q 异于 l 的两切线，设这两切 线交于点 P，求点 P 的轨迹方程 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第

10、27页页 【解析】 如图，由切线性质，得|PB| |PC|BA|CA|18|BC|6.可知 P 点 轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆(但除去与 BC 的交点)以 BC 为 x 轴，BC 中点为原点建 立坐标系得 P 点轨迹方程为 x2 81 y2 721(y0) 【答案】 x2 81 y2 721(y0) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第28页页 思考题 3 相关点法 (1)设 F(1，0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且MN 2MP ， PM PF ，当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理

11、（新课标版）理（新课标版） 第第29页页 【解析】 设 M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)， PM (x0，y0)，PF (1，y0)， PM PF ，(x0，y0) (1，y0)0，x0y020. 由MN 2MP ，得(xx0，y)2(x0，y0)， xx02x0， y2y0， 即 x 0 x， y01 2y， xy 2 4 0，即 y24x. 故所求的点 N 的轨迹方程是 y24x. 【答案】 y24x 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第30页页 (2)(2017 课标全国)设 O 为坐标原点， 动点 M 在椭圆 C： x2 2 y21 上，

12、过点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP 2 NM .求点 P 的轨迹方程 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第31页页 【解析】 设 P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)， NP (xx0，y)，NM (0，y0)， 由NP 2NM ，得 x0 x，y0 2 2 y， 因为 M(x0，y0)在 C 上，所以x 2 2 y 2 2 1， 因此点 P 的轨迹方程为 x2y22. 【答案】 x2y22 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第32页页 思考题 4 参数法 若过点 P(1，1)且互相垂直的两

13、条直线 l1，l2分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为_ 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第33页页 【思路】 斜率存在时，点斜式设 l1的方程得 l2的方程 联立方程求交点坐标消去参数得结果斜率不存在时将 M 的坐标代入验证 【解析】 当直线 l1的斜率存在时，l2的斜率也存在，设直 线 l1的方程是 y1k(x1)，则直线 l2的方程是 y11 k(x 1)，所以直线 l1与 x 轴的交点为 A 11 k，0 ，l2 与 y 轴的交点为 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第34页

14、页 B 0，11 k ， 设 AB 的中点 M 的坐标为(x， y)， 则有 x1 2 11 k ， y1 2 11 k ， 两式相加消去 k，得 xy1 x1 2 ，即 xy10 x1 2 ，所以 AB 中点 M 的轨迹方程为 xy10 x1 2 . 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第35页页 当直线 l1(l2)的斜率不存在时，点 M 的坐标为 1 2， 1 2 ，此点在 直线 xy10 上 综上，AB 中点 M 的轨迹方程为 xy10. 【答案】 xy10 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第36页页 课课 外外

15、阅阅 读读 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第37页页 重温高考重温高考 例 1 (2015 湖北)一种 作图工具如图 1 所示O 是 滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接， MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动， 且 DN ON1， MN3.当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时， 带动 N 绕 O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记 为 C.以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面 直角坐标系求曲线 C 的方程 高考一轮总复习高考一轮总复习

16、数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第38页页 【解析】 设点 D(t，0)(|t|2)，N(x0，y0)，M(x，y)，依题 意，MD 2DN ，且|DN |ON |1， 所以(tx，y)2(x0t，y0)，且 （x0t）2y021， x02y021. 即 tx2x02t， y2y0. 且 t(t2x0)0. 由于当点 D 不动时，点 N 也不动，所以 t 不恒等于 0， 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第39页页 于是 t2x0， 故 x0 x 4， y0 y 2， 代入 x0 2y 0 21， 可得x 2 16 y2 4 1， 即所求的曲线 C

17、的方程为 x2 16 y2 4 1. 【答案】 x2 16 y2 4 1 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第40页页 例 2 (2016 课标全国，理)已知抛物线 C：y22x 的焦点 为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点 (1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明：ARFQ； (2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍， 求 AB 中点的轨 迹方程 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第41页页 【解析】 由题知 F 1 2，0 .设

18、l1：ya，l2：yb，则 ab0， 且 A a2 2 ，a ，B b2 2 ，b ，P 1 2，a ，Q 1 2，b ，R 1 2， ab 2 . 记过 A,B 两点的直线为 l,则 l 的方程为 2x(a+b)y+ab0. (1)证明：由于 F 在线段 AB 上，故 1ab0. 记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则 k1 aab 2 a2 2 1 2 ab a2ab 1 a ab a bk2. 所以 ARFQ. 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第42页页 (2)设 lAB与 x 轴的交点为 D(x1， 0)， 则 SABF1 2|ba|F

19、D| 1 2 |ba|x11 2|，SPQF |ab| 2 . 由题设可得|ba|x11 2| |ab| 2 ，所以 x10(舍去)或 x11. 设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y) 当 AB 与 x 轴不垂直时， 由 kABkDE可得 2 ab y x1(x1) 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第43页页 而ab 2 y，所以 y2x1(x1) 当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合 此时 E 点坐标为(1，0)，满足方程 y2x1. 所以所求轨迹方程为 y2x1. 【答案】 (1)略 (2)y2x1 高考一轮总复习高考一轮总复习 数学数学理（新课标版）理（新课标版） 第第44页页 请做：专题层级快练（六十七） 2 2 0 0 2 2 1 1 衡 水 重 点 中 学 高 考 调 研 高 考 调 研 看 观 谢 谢