北京市第四中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题[文科](有答案，word版).doc

1、 - 1 - 北京四中 2017-2018 学年下学期高二年级期中考试数学试卷（文科） 满分 150分，考试时间 120 分钟 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 . 1. 在复平面内，复数ii?1的对应点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 函数 f（ x）是定义在（ -? ， +? ） 上的可导函数 . 则“函数 y=f（ x） 在 R上单调递增”是“ f（ x） 0在 R上恒成立”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 曲线 y=x3-2x+l在点（ 1， 0） 处

2、的切线方程为 A. y=x-1 B. y=-x+1 C. y=2x-2 D. y=-2x+2 4. 函数 y=xcosx的导数为 A. y=cosx-xsinx B. y=cosx+xsinx C. y=xcosx-sinx D. y=xcosx+sinx 5. 设 f（ x） =x2-2x-4lnx，则函数 f（ x） 的增区间为 A. （ 0， +? ） B. （ -? ， -1） ，（ 2， +? ） C. （ 2， +? ） D. （ -1， 0） 6. 若复数 z=（ x2-4） +（ x+3） i（ x R） ，则“ z 是纯虚数”是“ x=2”的 A. 充分不必要条件 B. 必

3、要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 函数 f（ x） 的定义域为开区间（ a， b） ，其导函数 f（ x） 在（ a， b） 内的图象如图所示，则函数 f（ x） 在开区间（ a， b） 内 极小值 点的个数为 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 函数 f（ x） =（ 21 ） x-log2x 的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 - 2 - 9. 若函数 y=f（ x） 的图像 上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（ x） 具有 T性质 . 下列函数中具有 T性质的是 A. y=sinx B. y=l

4、nx C. y=ex D. y=x3 10. 函数 f（ x） =x3-3x，若对于区间 -3， 2上的任意 x1， x2，都有 |f（ x1） -f（ x2） | t，则实数 t的最小值是 A. 20 B. 18 C. 3 D. 0 11. 设函数 f（ x） 是奇函数 f（ x） 的导函数， f（ -1） =0，当 x0 时， xf（ x） -f（ x）0 成立的 x的取值范围是 A. （ -? ， -1） ? （ 0， 1） B. （ -1， 0） ? （ 1， +? ） C. （ -? ， -1） ? （ -1， 0） D. （ 0， 1） ? （ 1， +? ） 12. 德国数学家科

5、拉茨 1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数 n，如果 n是偶数，就将它减半（即 2n ） ；如果 n 是奇数，则将它乘 3 加 1（即 3n+1） ，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到 1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数 n（首项 ） 按照上述规则施行变换后的第 8项为 1（注： l可以多次出现 ） ，则 n的所有不同值的个数为 A. 4 B. 6 C. 8 D. 32 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 13. 已知 i是虚数单位，若复数 z满足 zi=l+i，则 z2=_. 14. 如图，函数 y=f（

6、 x） 的图象在点 P处的切线方程是 y=-x+8，则 f（ 2018） +f（ 2018）=_. 15. 已知函数 f（ x） =ex-x+a有零点，则 a的取值范围是 _. 16. 已知函数 f（ x） =x3+ax2+bx+a2在 x=1处有极值 10，则（ a， b） =_. 17. 对于函数 f（ x） =（ 2x-x2） ex - 3 - （ - 2 ， 2 ） 是 f（ x） 的单调递减区间； f（ - 2 ） 是 f（ x） 的极小值， f（ 2 ） 是 f（ x） 的极大值； f（ x） 没有最大值，也没有最小值； f（ x） 有最大值，没有最小值 . 其中判断正确的是 _.

7、 18. 若函数 exf（ x） （ e=2.71828?，是自然对数的底数 ） 在 f（ x） 的定义域上单调递增，则 称函数 f（ x） 具有 M性质，下列函数： f（ x） =x1（ x1） f（ x） =x2 f（ x） =cosx f（ x） =2-x 中具有 M性质的是 _. 三、解答题：本大题共 4小题，每小题 15 分，共 60 分 . 19. 已知函数 f（ x） =-x3+3x2+9x+a. （ I） 求 f（ x） 的单调减区间； （ II） 若 f（ x） 在区间 -2， 2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值 . 20. 设 f（ x） =a（ x-5） 2+6

8、1nx，其中 a R，曲线 y=f（ x） 在点（ 1， f（ 1） 处的切线与 y轴相交于点（ 0， 6） . （ I） 确定 a的值； （ II） 求函数 f（ x） 的单调区间与极值 . 21. 已知：函数 f（ x） =ax4lnx+bx4-c（ x0） 在 x=1处取得极值 -3-c，其中 a， b， c为常数 . （ 1） 试确定 a， b 的值； （ 2） 讨论函数 f（ x） 的单调区间： （ 3） 若对任意 x0，不等式 f（ x） -2c2恒成立，求 c的取值范围 . 22. 已知函数 f（ x） =ex（ a+x1 +lnx） ，其中 a R. （ I） 若曲线 y=f（

9、 x） 在 x=1处的切线与直线 y=-ex 垂直，求 a的值； （ II） 当 a（ 0， ln2） 时，证明： f（ x） 存在极小值 . - 4 - 参考答案 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A A C B A B A A A B 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 13 -2i 14 -2011 15 （ -? ,-1 16 （ 4,-11） 17 18 三、解答题：本大题共 4小题，共 60 分 19. 解：（ I） f（ x） =-3x2+6x+9. 令 f（

10、 x） 3， 所以函数 f（ x） 的单调递减区间为（ -? ,-1） ，（ 3， +? ） . （ II） 因为 f（ -2） =8+12-18+a=2+a， f（ 2） =-8+12+18+a=22+a， 所以 f（ 2） f（ -2） ， 因为在（ -1， 3） 上 f（ x） 0，所以 f（ x） 在 -1， 2上单调递增，又由 于 f（ x） 在 -2，-1上单调递减，因此 f（ 2） 和 f（ -1） 分别是 f（ x） 在区间 -2， 2上的最大值和最小值 . 于是有 22+a=20，解得 a=-2. 故 f（ x） =-x3+3x2+9x-2. 因此 f（ -1） =1+3-9

11、-2=-7， 即函数 f（ x） 在区间 -2， 2上的最小值为 -7. 20. 解：（ I） 因 f（ x） =a（ x-5） 2+6lnx，故 f（ x） =2a（ x-5） +x6 . 令 x=l，得 f（ 1） =16a， f（ 1） =6-8a，所以曲线 y=f（ x） 在点（ 1， f（ 1） 处的切线方程为 y-16a=6-8a（ x-1） ，由点（ 0， 6） 在切线上可得 6-16a=8a-6，故 a=21 . （ II） 由（ I） 知 f（ x） =21 （ x-5） 2+6lnx（ x0） ， f（ x） =x-5+x6 = xxx )3)(2( ? . 令 f（ x）

12、 =0，解得 x1=2， x2=3. 当 03时， f（ x） 0，故 f（ x） 在（ 0， 2） ，（ 3， +? ） 上为增函数； 当 20） . 令 f（ x） =0，解得 x=1. x （ 0,1） 1 （ 1,+? ） f（ x） - 0 + f（ x） 极小值 f（ 1） 因此 f（ x） 的单调递减区间为（ 0， 1） ，而 f（ x） 的单调递增区间为（ 1， +? ） . （ III） 由（ II） 知， f（ x） 在 x=1处取得极小值 f（ 1） =-3-c，此极小值也是最小值 . 要使 f（ x） -2c2（ x0） 恒成立，只需 -3-c -2c2. 即 2c2-

13、c-3 0，从而（ 2c-3） （ c+1） 0. 解得 c 23 或 c -1. 所以 c的取值范围为（ -? ， -1? 23 ， +? ） 22. 解：（ I） f（ x） 的导函数为 f（ x） =ex（ a+x1 +lnx） +ex（ x1 -21x） =ex（ a+x2-21x+lnx） . 依题意，有 f（ 1） =e（ a+1） =e， 解得 a=0. （ II） 由 f（ x） =ex（ a+x2 -21x+lnx） 及 ex0知， f（ x） 与 a+x2 -21x+lnx同号 . 令 g（ x） =a+x2 -21x+lnx， 则 g（ x） =32 22xxx ? =3

14、2 1)1( xx ? . 所以对任意 x?（ 0,+? ） ，有 g（ x） 0，故 g（ x） 在（ 0， +? ） 单调递增 . 因为 a（ 0， ln2） ，所以 g（ 1） =a+l0， g（ 21 ） =a+ln21 0， 故存在 x0（ 21 ， 1） ，使得 g（ x0） =0. f（ x） 与 f（ x） 在区间（ 21 ， 1） 上的情况如下： x （21 ,x0） x0 （ x0,1） f（ x） - 0 + f（ x） 极小值 - 6 - 所以 f（ x） 在区间（ 21 ， x0） 上单调递减，在区间（ x0， 1） 上单调递增 . 所以 f（ x） 存在极小值 f（ x0） .