人教版数学九年级上册课件第二十四章圆24.1.2垂直于弦的直径教学资料.pptx

1、初中数学教学同步课件人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/你你知道赵州桥吗知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距弧的中点到弦的距离离)为为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新知导入新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/3.灵活运用灵活运用垂径定理垂径定理解决有关圆的问题解决有关圆的问题.1.进一步认识圆，了解进一步认识圆，了解圆是轴对称图形圆是轴对称图形.2.理解理解垂直于弦的直径的性质

2、和推论，并能应垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.素养目标素养目标2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/把一个圆沿着它的任意一条直径把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能得到什么结论？圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴探究新知探究新知圆的轴对称性圆的轴对称性知识点 12 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/（1 1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴）圆是

3、轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？是什么？你能找到多少条对称轴？圆的对称性圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.O说一说说一说（2 2）如何来证明圆是轴对称图形呢？）如何来证明圆是轴对称图形呢？探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/BOACDE 是轴对称图形是轴对称图形大胆猜想大胆猜想 已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂足为垂足为E【思考思考】左左图是轴对称图形吗图是轴对称图形吗？探究新知探究新知满足什么条满足什么条件才能证明件才能证明圆是轴对称圆是轴对称图形呢？图形呢？2 24 4.

4、1 1 圆的有关性质圆的有关性质/证明：证明：连结连结OA、OB.则则OAOB又又CDAB，直径直径CD所在的直线是所在的直线是AB的垂直平分线的垂直平分线.对于圆上任意一点，在圆上都有关于直对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线线CD的对称点，即的对称点，即 O关于直线关于直线CD对称对称.BOACDE 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴都是圆的对称轴.探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/如如图，图，AB是是 O的一条弦的一条弦,直径直径CDAB,垂足为垂足为E.你能发现图中有那些相你能发现图中有那些相等的线段和劣

5、弧等的线段和劣弧?为什么为什么?线段线段:AE=BE弧弧:AC=BC,AD=BD理由：理由：把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点两侧的两个半圆重合，点A与点与点B重合重合，AE与与BE重合重合，AC和和BC,AD与与BD重合重合 OABDEC探究新知探究新知垂径定理及其推论垂径定理及其推论知识点 22 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/u垂径定理垂径定理OABCDE垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦,并且并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧.CD是直径是直径，CDAB，AE=BE,AC=BC,AD=BD.u推导格式：推导格式：温馨提示：温馨提

6、示：垂径定理是圆中一个重要的定理垂径定理是圆中一个重要的定理,三种三种语言要相互转化语言要相互转化,形成整体形成整体,才能运用自如才能运用自如.探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/想一想：想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是，请说明为什么？是是不是，因为不是，因为没有垂直没有垂直是是不是，因为不是，因为CD没有过圆心没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABOCABO DC探究新

7、知探究新知 归纳总结归纳总结2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/【思考思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？题是真命题吗？过圆心过圆心 ；垂直于弦；垂直于弦；平分弦；平分弦平分弦；平分弦所对的优弧所对的优弧 ；平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的上述五个条件中的任何两个条件任何两个条件都可以推出其他都可以推出其他三个结论吗？三个结论吗？一条直线一条直线过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦平分弦平分弦平分线所对的优弧平分线所对的优

8、弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧具备其中两条具备其中两条其余三条成立其余三条成立探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/DOABEC举例证明其中一种组合方法。已知:求证：CD是直径是直径 CDAB，垂足为，垂足为E AE=BE AC=BC AD=BD探究新知探究新知证明猜想2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使AE=BE.（1）CDAB吗？为什么？吗？为什么？（2）BD（2）由垂径定理可得由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.（1）连接）连接AO,BO,则则AO=BO,又又AE=BE，OE=

9、OEAOE BOE（SSS），），AEO=BEO=90，CDAB.证明举例AC与与BC相等吗相等吗？AD与与BD相等吗相等吗？为什么？为什么？探究新知探究新知DOABEC证明：证明：2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/思考：思考：“不是直径不是直径”这个条件能去掉吗？这个条件能去掉吗？如不能如不能，请举出反例，请举出反例.平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平分并且平分弦所对的弧弦所对的弧.u垂径定理垂径定理的推论的推论OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.探究新知探究新知归纳总结归纳总结2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/例例

10、1 如图，如图，OEAB于于E，若，若 O的半径为的半径为10cm,OE=6cm,则则AB=cm.OABE解析：解析：连接连接OA，OEAB，AB=2AE=16cm.1622221068AEOAOEcm.素养考点素养考点 1垂径定理及其推论的计算垂径定理及其推论的计算探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/1.如图，如图，O的弦的弦AB8cm，直径，直径CEAB于于D，DC2cm，求半径求半径OC的长的长.OABECD解：解：连接连接OA，CEAB于于D，118 4(cm)22ADAB 设设OC=x cm，则则OD=x-2,根据勾股定理，得根据勾股定理，得解得解得 x=

11、5，即半径即半径OC的长为的长为5cm.x2=42+(x-2)2，巩固练习巩固练习2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/例例2已知：已知：O中弦中弦ABCD,求证：求证：ACBD.MCDABON证明：证明：作直径作直径MNAB.ABCD，MNCD.则则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）AMCMBMDMACBD利用垂径定理及推论证明相等利用垂径定理及推论证明相等平行弦夹的弧相等平行弦夹的弧相等素养考点素养考点 2探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的

12、弦心距过圆心作弦的弦心距（垂线（垂线段），或段），或作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线连结半径等辅助线，为应用垂径，为应用垂径定理创造条件定理创造条件.归纳总结归纳总结探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/2.如如图，在图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直且相等的两条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形求证四边形ADOE是正方形是正方形又又AC=AB AE=AD 四边形四边形为为正方形正方形.证明：证明：OEAC，ODAB，ABACOEA=EAD=ODA=90四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，AE=AC,AD=A

13、B2121巩固练习巩固练习2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/例例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗中赵州桥主桥拱半径的问题吗?素养考点素养考点 3垂径定理的实际应用垂径定理的实际应用探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/解：解：如图，用如图，用AB表示主桥拱，设表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R.经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC垂足为垂足为D，与弧，与弧AB交于点交于点C，则则D是是AB的中的中点，点，C是弧是弧AB的中点，的中点，CD就是

14、拱高就是拱高.AB=37m，CD=7.23m.解得解得R27.3（m）.即主桥拱半径约为即主桥拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2 AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/3.如图如图a、b,一弓形弦长为一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆，弓形所在的圆的半径为的半径为7cm，则弓形的高为，则弓形的高为 .64C DCBOADOAB图a图b2cm或或12cm 巩固练习巩固练习2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/在圆中有关弦长在圆中有关弦长a,半径半径r,弦心距弦心距d（圆心到弦的圆心到

15、弦的距离距离），弓形高），弓形高h的计算题时，常常通过的计算题时，常常通过连半径连半径或作或作弦心距弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系弓形中重要数量关系ABC DOhrd2222ardd+h=r OABC归纳总结归纳总结探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/巩固练习巩固练习连 接 中 考连 接 中 考C2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/1.已知已知 O中，弦中，弦AB=8c

16、m，圆心到，圆心到AB的距离为的距离为3cm，则此圆的半径为，则此圆的半径为 .5cm课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2.O的直径的直径AB=20cm,BAC=30则弦则弦AC=.2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/3.（分类讨论题）已知（分类讨论题）已知 O的半径为的半径为10cm，弦，弦MNEF,且且MN=12cm,EF=16cm,则弦则弦MN和和EF之之间的距离为间的距离为 .14cm或或2cm课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆为圆

17、心的两个同心圆中，大圆的弦的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。你认为两点。你认为AC和和BD有什么有什么关系？为什么？关系？为什么？证明：证明：过过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE.AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/如图，一条公路的转弯处是一段圆弧如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,点点O是弧是弧CD的圆心的圆心),其中其中CD=600m,E为弧为弧CD上的一点上的一点,且且OECD，垂足为，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯

18、路的半径.解解:连接连接OC.OCDEF,CDOE 11600300(m).22CFCD222,OCCFOF22230090.RR设这段弯路的半径为设这段弯路的半径为Rm,则则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得根据勾股定理，得解得解得R=545.这段弯路的半径约为这段弯路的半径约为545m.课堂检测课堂检测拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/垂径定理垂径定理内容内容推论推论辅助线辅助线一条直线满足一条直线满足:过圆心过圆心;垂直于弦垂直于弦;平分弦（不是直径）平分弦（不是直径）;平分弦所对的优平分弦所对的优弧弧;平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧.“知二推三知二推三”垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦,并且平分弦并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧两条辅助线：两条辅助线：连半径，作弦心距连半径，作弦心距构造构造RtRt利用勾股定理计算或建立方利用勾股定理计算或建立方程程.基本图形及基本图形及变式图形变式图形课堂小结课堂小结2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习 播放完毕