辽宁省六校协作体2017-2018学年高二数学下学期期中试题[理科](有答案，word版).doc

1、 - 1 - 辽宁省六校协作体 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 理 本试卷共 23 题， 时间： 120 分钟， 共 150分，共 4页 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1 已知命题 : ,sin 1p x R x? ? ?，则命题 p 的否定是 （ ） A ,sin 1x R x? ? ? B ,sin 1x R x? ? ? C ,sin 1x R x? ? ? D ,sin 1x R x? ? ? 2 已知 ,ab都是实数，“ 22ab? ”是“ ab? ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要

2、不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3. “所有金属 都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于 （ ） A 演绎推理 B 类比推理 C 合情推理 D 归纳推理 4. 已知复数2)1( 21 2 iiz ?， z 是 z 的共轭复数， 则 z 的虚部等于 （ ） A 2 B i2 C 2? D i2? 5 2532()x x?展开式中的常数项是 （ ） A 80? B 40 C 80 D 40? 6 若 e 是自然对数的底数，则 ? ?32 2 dxe x（ ） A e11? B 11?e C e?1 D 1?e 7 已知实数 , , ,abcd 满足 1a b c d?

3、? ? ?， 1ac bd?，用反证法证明： , , ,abcd 中至少有一个小于 0 下列假设正确的是 （ ） A 假设 , , ,abcd 至多有一个小于 0 B 假设 , , ,abcd 中至多有两个大于 0 C 假设 , , ,abcd 都大于 0 D 假设 , , ,abcd 都是非负数 8.函数 32y x bx x? ? ? 有极值点，则 b 的取值范围为 （ ） A 3, 3? B ( , 3 3, )? ? ? C ( , 3) ( 3, )? ? ? D ( 3, 3)? - 2 - 9学校艺术节对同一类的 , , ,abcd 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲

4、、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说： “ 是 c 或 d 作品获得一等奖 ” ； 乙说： “ b 作品获得一等奖 ” ； 丙说： “ ,ad两项作品未获得一等奖 ” ； 丁说： “ 是 c 作品获得一等奖 ” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作 品是（ ） A a B b C c D d 10 已知正四棱柱1 1 1 1AB CD A B C D?中，1 2AA AB E? ，为1的中点，则 异面直线 BE与1CD所成角的余弦值为（ ） A 1010 B 51 C 53 D 10103 11 张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安

5、全起见，首尾一定要排两位爸爸 ，另外两个小 孩要排在一起，则这 6个人的入园顺序的排法种数是（ ） A 12 B 24 C 36 D 48 12过 双曲线 )0,0(12222 ? babyax 的左焦点 )0,( cF? 作圆 222 ayx ? 的切线，切点为 E，延长 FE 交抛物线 cxy 42 ? 于点 P，若 E为线段 FP的中点，则双曲线的离心率为 （ ） A 5 B 25 C 215? D 15? 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分。 13.抛物线 xy 82? 的焦点到双曲线 122 22 ? yx 的渐近线的距离为 14.设直线 bxy ?21 是曲线

6、)0(ln ? xxy 的一条切线，则实数 b 的值是 15 三角形面积 ( )( )( )S p p a p b p c? ? ? ?（ ,abc为三边长， )(21 cbap ? ） ,又三- 3 - 角形可以看作是四边形的极端情形 (即四边形的一边长退化为零 ) 受其启发 ,请你写出圆内接四边 形的面积公式： _ 16 若 8822107)21)(1 xaxaxaaxx ? ?（ ，则 721 aaa ? ? 的值为 _ 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17 21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。

7、（一）必考题：共 60 分。 17 （ 12 分 ） p ：对任意实数 x 都有 012 ?axax 恒成立； q ：关于 x 的方程 02 ? axx 有实数根； 如果 pq? 为真， pq? 为假，求实数 a 的取值范围 18 （ 12 分 ）是 否存在常数 ,ab使得等式 2 2 21 2 ( 2 1 ) ( )n n n a n b? ? ? ? ? ?对一切 正整数 n 都成立？若存在，求出 ,ab值 ， 并 用数 学归纳法 证明你的结论；若不存在，请说明理由 . 19 （ 12 分 ） 四棱锥 ABCDS? ，底面 ABCD 为平行四边形， 侧面 ?SBC 底面 ABCD .已知

8、?135?DAB ， 22?BC ， 2? ABSCSB ， F 为线段 SB的中点 . （ 1） 求证： /SD 平面 CFA ； （ 2） 求平面 SCD 与平面 SAB 所成锐二面角的余弦值 . 20 （ 12分） 已知圆 M ： 2220x y x? ? ? ，圆 N ： 22 2 8 0x y x? ? ? ?，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 轨迹为曲线 C （ 1）求 曲线 C 的 方程； （ 2）若 AB、 是 曲线 C 上关于 x 轴对称的两点，点 (3,0)D ，直线 DB 交 曲线 C 于另一点 E ，求证：直线 AE 过定点，并求该定点的坐标 21

9、（ 12 分）函数 21( ) ln 1 2 22f x x m x m x m? ? ? ? ?，其中 0m? FSDBCA- 4 - （ 1） 试讨论函 数 ()fx 的单调性； （ 2） 已知当 2em? （其中 2.71828e? 是自然对数的底数）时，在 11,22ex ? ?上至少 存在一点 0x ，使 0( ) 1f x e? 成立，求 m 的取值范围； （ 3） 求证：当 1m? 时，对任意 ? ?12, 0, 1xx? ， 12xx? ，有 2121( ) ( ) 13f x f xxx? ? （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做，则

10、按所做的第一题计分。 22 选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在极坐标系中，点 M 坐标是 )2,3( ? ，曲线 C 的方程为 )4sin(22 ? ? ；以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是 1? 的直线 l 经过点 M （ 1） 写出 直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标 方 程 ； （ 2）求证直线 l 和曲线 C 相交于两点 A 、 B ，并求 | MBMA ? 的值 23 选修 4-5：不等式选讲 （ 10分） 设关于 x 的不等式 | 4 | | 3 |x x a? ? ? ? （ 1）若 5a? ， 求此 不等式解集 ； （ 2

11、）若此 不等式解集 不是 空集 ， 求实数 a 的取值范围 - 5 - 参考答案 DDACB ADCBD BC 13. 2 14. ln2 1 15. ( )( )( )( )S p a p b p c p d? ? ? ? ?（其中 , , ,abcd 为各边长， p 为四边形半周长） 16. 125 17. 解： 对任意实数 x 都有 012 ?axax 恒成立? ? 000 aa 或:0 4pa? ? ? ? (2 分 ) 关于 x 的方程 02 ? axx 有实数根 11 4 0 : 4a q a? ? ? ? ? ? (4 分 ) pq? 为真， pq? 为假， ?p 真 q 假或者

12、 p 假 q 真 . 若 p 真 q 假，则 0414aa? ?， 1 4.4 a? ? ? ? (7分 ) 若 p 假 q 真，则 0414aaa? ?或 ， 0.a? ? (10分 ) 综上所述， a 的取值范围是 1 44 a? 或 0a? ? (12分 ) 18. 解： 分别取 1,2n? 得 1 3( )5 10(2 )abab?， 解得1616ab? ?. ?（ 2分） 猜想 2 2 2 ( 2 1 ) ( 1 )12 6n n nn ? ? ? ?对一切正整数 n 都成立 . ?（ 4分） 下面用数学归纳法证明： （ 1）当 n=1 时，由上面的探求可知等式成立 ?（ 5分） （

13、 2）假设 n=k时等式成立， 即 2 2 2 ( 2 1 ) ( 1 )12 6k k kk ? ? ? ? ?（ 7分） 当 n=k 1时， 2 2 2 2 2( 2 1 ) ( 1 )1 2 ( 1 ) ( 1 )6k k kk k k? ? ? ? ? ? ? ? ( 1) ( 2 1) 6 ( 1)6k k k k? ? ? ? - 6 - 2( 1)(2 7 6)6k k k? ? ? ( 1)(2 3)( 2)6k k k? ? ? ， ?（ 10分 ） 所以当 n=k 1时，等式也成立 ?（ 11分） 由（ 1）（ 2） 知猜想成立，即存在 16a? ， 16b? 使命题成立

14、?（ 12 分） 19. 解： (1) 连结 BD交 AC 于点 E ，连结 EF 由于底面 ABCD 为平行四边形 E? 为 BD的中点 . -（ 2分） 在 BSD? 中， F 为 SB的中点 ? SDEF/ -（ 3分） 又因为 ?EF 面 CFA ， ?SD 面 CFA ， ? /SD 平面 CFA . ?（ 5分） (2)以 BC 的中点 O 为坐标原点，分别以 OSOCOA , 为 zyx , 轴， 建 立如图所示的坐标系 . 则有 )0,0,2(A ， )0,2,0( ?B ， )2,0,0(S ， )0,2,0(C )2,0,2( ?SA ， )2,2,0( ?SB ， )2,

15、2,0( ?CS ， )0,2,2(? BACD -（ 7分） 设平面 SAB 的一个法向量为 ),(1 zyxn ? 由?0011SBnSAn 得 2 2 02 2 0xzyz? ? ? ?， 令 1?z 得： 1,1 ? yx ? )1,1,1(1 ?n -（ 9分） 同 理设平面 SCD 的一个法向量为 ),(2 cban ? 由?0022CSnCDn 得?022022cbba ， 令 1?b 得： 1,1 ? ca ? )1,1,1(2 ?n -（ 10 分） 设面 SCD 与面 SAB 所成二面角为 ? |,co s|co s212121 nn nnnn ? ? =31 -（ 12

16、分） - 7 - 20. 解： （ 1） 圆 M 的圆心为 ( 1,0)M? ， 半径 1 1r? ， 圆 N 的圆心为 (1,0)N ， 半径 2 3r? ， ? （ 2分） 设 动圆 P 半径为 R ， 圆 P与圆 外切且与圆 内切 ， | | 1PM R?， | | 3PN R? ， | | | | 4PM PN?， ? （ 4分） 曲线 C是以 M， N为 左右 焦点 ，长 半轴长为 2的椭圆 （ 左顶点除外 ）， 其方程为 22 1( 2)43xy x? ? ? ?； ? （ 6分） （ 2） 设 11( , )Ax y ， 22( , )Ex y ，则 11( , )Bx y? ，

17、 由题意知直线 AE 斜率存在， 设 直线 AE ： y kx m?， 代入 22143xy?，得到 2 2 2( 4 3 ) 8 4 1 2 0k x k m x m? ? ? ? ?， 2 2 2( 8 ) 4 ( 4 3 ) ( 4 1 2 ) 0k m k m? ? ? ? ? ? ?， 整理得 2243mk? ， ? （ 8分） 12 2843kmxx k? ? ? ?， 212 24 1243mxx k ? ?， D B E、 、 共线， PB PDkk? ，即 12()33kx m kx mxx? ? ?， 整理得 1 2 1 22 ( 3 )( ) 6 0k x x m k x x m? ? ? ? ?， 2224 1 2 82 ( 3 ) ( ) 6 04 3 4 3m k mk m k mkk? ? ? ? ? ?