江西省南昌市五校2016-2017学年高二数学下学期期中试题[理科](有答案，word版).doc

1、 1 2016 2017学年度第二学期期中联考高二 理科 数学试卷 第卷 (选择题，共 60分 ) 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 ) 1 已知 a ， b ， c是空间的一个基底，则下 列选项可构成空间的一个基底的是（ ） A a， a 2b， 2 a+b B b， b +c， b c C 2a 3b， a+b， a b D a+b， b c， c+2a 2 已知 ,mn是两条直线， ,? 是两个平面， 则下列命题中不正确的是（ ） A若 ,mm?，则 ? B若 / / , / / , / /m n n ? ? ?，

2、则 /m? C若 / / , ,nm? ? ? ?，则 /mn D若 , / / ,mn? ? ? ?，则 mn? 3 若 A（ 1， 2， 11）， B（ 4， 2， 7）， C（ x， y， 15）三点共线，那么 x， y的值分别是（ ） A 2， -4 B -2， -6 C 12? ， 4 D 2， 8 4 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E为棱 BB1的中点（如 右下 图），用过点 A， E， C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ） A B C D 5 正三棱柱 ABC A1B1C1所有棱长都相等，则 AC1 与平面 BB1C1C所成角的余弦值为（ ） A

3、. 62 B. 64 C. 102 D. 104 6 在正三角形 ABC中， D， E， F分别为各边的中点， G， H， I， J分别为 AF，AD， BE， DE 的中点 将三角形 ABC 沿 DE， EF， DF 折成三棱锥以后， GH 与 IJ所成角的度数为（ ） A. 30 B.45 C.60 D. 90 2 7 ,AB是二面角 a? 的棱 a 上两点， P 是平面 ? 上一点， PB a? 于 B ， PA 与 a 成 45角，PA 与平面 ? 成 30角，则二面角 a? 的大小是（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 75 8.已知 ? ?1,2,3OA? ， ? ?2

4、,1,2OB? ， ? ?1,1,2OP? ，点 Q 在直线 OP 上运动，则当 QAQB? 取得最小值时，点 Q 的坐标为（ ） A. 1 3 1,2 4 3?B. 1 3 3,224?C. 4 4 8,3 3 3?D. 4 4 7,333?9 如右图，在直棱柱 ABC A1B1C1中， 90ACB ?， 4 AC=AA1=2BC=4， D 为 AA1上一点若二面角 11B DC C?的大小为 60? ，则 AD的长为（ ） A 11 B 3 C 2 D 22 10.已知长方体 ABCD A1B1C1D1， AD=AB， E 为 CC1中点， P 在对角面 BB1D1D 所在平面内运动，若

5、EP与 AC成 30角，则点 P轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 11 在四面体 S ABC? 中， , 2 , 2 , 6A B B C A B B C S A S C S B? ? ? ? ? ? ?， 则该四面体外接球的表面 积是 （ ） A 86? B 6? C 24? D 6? 12已知正方体 ABCD A1B1C1D1棱长为 2，点 P 在线段 BD1上当 APC 最大时，三棱锥 P ABC 的体积为 ( ) A. 49 B.118 C.19 D. 23 第卷 (非选择题，共 90分 ) 二、填空题（每小题 5分，共 20 分） 13 若 a =? ?

6、1,2,0? ， b=? ?1,2,3 ，则与 a+b 同向的单位向量是 14 若直线 l 的方向向量 a =? ?1,1,1 ，平面 ? 的一个法向量 n= ? ?2, 1,1? ，则 直线 l 与平面 ? 所成角为 ? ，则 cos? = 3 15 在棱长为 a 的正四面体 ABCD中， E为线段 AD 上一点，满足 AE=13 AD， F是 AC的中点，则 FEBE? = 16已知动点 P在棱长为 1 的正方体 ABCD 1 1 1 1ABCD? 的表面上运动，且 (0 3 )PA r r? ? ?，记点 P的轨迹长度为 ()fr.给出以下四个命题： 3(1) 2f ? ； ( 2) 3

7、f ? ； 2 3 2 3()33f ? ； 函数 ()fr在 (0,1) 上是增函数， ()fr在 ( 2, 3) 上是减函数 其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分） 17（本小题满分 10分） 已知空间三点 A(0,2,3)， B( 2,1,6)， C(1， 1,5)， (1) 若空间中的点 D与 A、 B、 C正 好组成平行四边形 ABCD，求点 D的坐标 ； (2) 求以向量 AB ， AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S 18（本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 P-ABCD中， PA平面 ABCD， PB与平面 ABCD成 60角

8、，底面 ABCD 是直角梯形，ABC= BAD=90， AB=BC=12 AD （ 1）求证：平面 PCD平面 PAC； （ 2）设 E是棱 PD 上一点，且 PE=13 PD，求异 面直线 AE 与 PB 所成角的余弦值 4 MCABPD19（本小题满分 12分） 如图，四棱锥 A BCDE? 中， CD? 平面 ABC ， BE CD ， AB? BC CD? ，AB BC? ， M 为 AD 上一点， EM? 平面 ACD （ 1）求证 ： EM 平面 ABC ； （ 2）若 22CD BE?，求点 D到平面 EMC的距离 20（本小题满分 12分） 如图 ， PA? 平面 ABC ，

9、AB BC? ， 22AB PA BC? ? ?， M 为 PB 的 中点 （ 1）求 二面角 A PC B?的余弦 值； （ 2）证明 ：在线段 PC 上 存在点 D ， 使得 BD AC? ， 并求 PDPC 的值 21（本小题满分 12分） 如图，四棱锥 CD? ，底面 CD? 是 C 60? ? 的菱形，侧面 D? 是边长为 2 的正三角形，且与底面 ABCD垂直， ? 为 C? 的中点 （ 1） 求证： CD? ? ； （ 2） 求直线 DM 与平面 C? 所成的角的余弦值 5 22（本小题满分 12分） 三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC， AB=AC=2，侧面 BCC

10、1B1 为矩形， A1AB=23? ， 二面角 A BC A1的正切值为 12 （ 1）求侧棱 AA1的长； （ 2）侧棱 CC1上是否存在点 D，使得直线 AD 与平面 A1BC所成角的正切值为 ，若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由 6 高二理科数学参考答案 一、选择题 （本 大题共 12 个小题，每小题 5分，共 60分 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B C D C B C A A D A 二、填空题 （本 大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 ） 13 430, ,55?14 73 15 219a 16 三、解答题 （本大题

11、 共 6个小题，共 70分 ） 17.解：（ 1）设 ? ?,D x y z ，由题意可知， AB DC? ，即 ? ?2, 1,3? =? ?1 , 1 , 5x y z? ? ? ?，得3, 0, 2x y z? ? ?，所以 ? ?3,0,2D 5分 （ 2） ? ?2, 1,3AB ? ? ? ， ? ?1, 3,2AC ? ，则 71c o s21 4 1 4A B A CA A B A C? ? ?所以 60A ? ，故平行四边形的面积 12 s i n 7 32S A B A C A? ? ? ? 10分 19. （ 1）证明：取 AC的中点 F，连接 BF， ,AB BC BF

12、 AC? ? ?， 7 y P A z x C B D M 5分 （ 2） ?EM 平面 ACD ， EM? 面 EMC ， 平面 ?CME 平面 ACD ， 平面 ?CME 平面 ACD CM? ，过点 D 作直线 DG ? CM ，则 ?DG 平面 CME ， 由已知 ?CD 平面 ABC ， BE CD ， BECDBCAB 2? ，可得 DEAE? ， 又 ADEM? ， M 为 AD 的 中点， 在 ABCRt? 中， 222 ? BCAC ， 在 ADCRt? 中， 3222 ? ACCDAD ， 2222212121 ? ? A C DC D M SS ， 在 DCM? 中， 3

13、21 ? ADCM ，由等面积法知 221 ? DGCM ， 362?DG ，即 点 D到平面 EMC的距离为 362 12分 20. 解 ： （ 1）如图，在 平面 ABC 内 ， 作 AZ BC ， 则 ,AP AB AZ 两两 互相垂直 ， 建立 空间直角坐标系 A xyz? 则 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 ,1 )A P B C， (1,1,0)M (2,0,0)AP? ， (0,2,1)AC? ， (1,1,0)AM? 设平面 APC 的 法向量为 ( , , )x y z?n ，则0,0,APAC?

14、 ?nn即 0,2 0.xyz? ?令 1y? ， 则 2z? 所以 (0,1, 2)?n (1,1,0)AM? 为平面 BPC 的 法向量 ，设, AMn 的 夹角为 ? ， 则 10cos 10? 因为 二面角 A PC B?为锐角，所以 二面角 A PC B?的余弦值 为 1010 6分 （ 2） 设 D ( , , )uvw 是线段 PC 上 一 点，且 (0 1)PD PC? ? ? 即 ( 2 , , ) ( 2 , 2 ,1 )u v w ? ? ?所以 2 2 , 2 ,u v w? ? ? ? ? ? 所以 ( 2 2 , 2 2 , )BD ? ? ? ? ? 由 0BD

15、AC?， 得 45? 8 因为 4 0,15? ， 所以在线段 PC 上 存在点 D ， 使得 BD AC? 此时 ， 45PDPC ? 12分 21. （ 1）证明：取 AD中点 O，连接 OP， OC， AC，由题意可知 PAD， ACD均为正三角形 （ 2） 方法 1：由（ 1）可知 D? ，又平面 D? 平面 CD? ，平面 D? 平面 CD D? ? ，? 平面 D? ， ? 平面 CD? 即 ? 为三棱锥 CD? 的高 在 Rt C? 中， C3? ? ， C6? ，在 C? 中， C2? ? ， C6? ，边 C? 上的高 22 102? ? ? ? ? ? ?， C? 的面积C

16、 1 1 1 0 1 5C62 2 2 2S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设点 D 到 平面 C? 的距离为 h ，由 D C CDVV? ? 得，C C D1133S h S? ? ? ?，又CD 1 2 3 32S? ? ? ?， 1 1 5 1 333 2 3h? ? ? ? ?，解得 2 155h? 故点 D 到平面 C? 的距离为 2155 设直线 DM 与平面 C? 所成的角为 ? ，则 5 622105152s in ? DMh? ，直线DM 与平面 C? 所成的角的正弦值为 562 方法 2：用空间向量来计算 22. 解：（ 1）取 BC 的中点 E， C1B1的中点 F，则四边形 AEFA1为平行四边形， AB=AC=2， AE BC， 侧面 BCC1B1为矩形， BC EF， BC 平面 AEFA1，则 BC A1E， 故 A1EA 是二面角 A BC A1的平面角， 则 tan A1EA= ，则 sin A1EA= ， 9 cos A1EA= ，设 AA1=x， AB AC， AB=AC=2， CE=BE= ， A1AB= ， A1B2=x2+22 2 2xcos =x2+2x+4， 又 A1E2=A1B2 BE2=x2+2x+4 2=x2+2x+2， 在 AEA1中 x2=A1E2+22 2 2A1E =x2+2x+