河南省南阳市2016-2017学年高二数学下学期期中质量评估试题[理科](有答案，word版).doc

1、 1 南阳市 2017年 春期 高二 期中考试 数学（理） 试题 一 .选择题： 1.复数 iiz 21 21? 的实部与虚部的和等于（ C ） A i5453? B i541? C 51 D 59 解析： iiiiz 54535 4321 21 ? 2.汽车以 13? tV (单位： sm/ )作变速直线运动时 ， 在第 s1 至第 s2 间的 s1 内经过的 位移 是 ( C ) A. m5.4 B. m5 C. m5.5 D. m6 解析： 5.5|)23()13( 2121 2 ? ? ttdttS3.下列命题 错误 的是 ( B ) A三角形中 至少 有一个内角不小于 60 ； B

2、对任意的 Ra? ，函数 12131)( 23 ? axaxxxf 至少 存在一个极值点 . C闭区间 a， b上的单调函数 f(x)至多 有一个零点 ； D 在 锐角 三角形中， 任意 一个角的正弦大于另两个角的余弦； 解析： aaxxxf ? 2)( ，当 042 ? aa ，即 40 ?a 时， )(xf 是单调增加的，不存在极值点，故 B错误 4已知函数 xexxxf )2()( 3 ? ，则 x fxfx ? ? )1()1(lim 0的值为（ D ） A e? B 1 C e D 0 解析： )1()1()1(lim0 fx fxfx ? ?5 若曲线 1sin)( ? xxxf

3、在点 )12,2( ? 处的切线与直线 012 ? yax 互相垂直，则实数 ?a（ A） A 2 B 2 C 1 D 1 解析： 12c o s22s in)2( ? ?f ，所以， 12)2( ?af ? ，得 2?a 6.如图，一个树形图依据下列规律不断生长： 1个空心圆点到下一行 仅 生长出 1个实心圆点， 1个实心圆点到下一行生长出 1个实心圆点和 1个空2 心圆点 .第 12行的实心圆点的个数为（ B ） . A. 88 B. 89 C.90 D.91 解析：第 n 行实心圆点有 na 个，空心圆点有 nb 个，由树形图的生长规律可得? ?111nnnnn baa ab ， 21

4、? ? nnn aaa （即斐波那契数列），可得数列 na 为 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89， 即 8912?a 7.设 )( xf 是函数 )(xf 的导函数， )( xfy? 的图象如图所示，则 )(xfy? 的图象最有可能的是（ C ）8某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。甲：我不会证明。乙：丙会证明。丙：丁会证明。丁：我不会证明。根据以上条件，可以判定会证明此题的人是（ A） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析：若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意

5、；以此类推。易得出答案： A 9.已知定义在 R 上的函数 131)( 23 ? axxaxxf 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是（ D ） A ),1()1,( ? ? B 1,0()0,1 ? C )1,1(? D )1,0()0,1( ? 解析： axaxxf ? 2)( 2 ，由题意得：? ? 042022 aa ，解得： )1,0()0,1( ?a 10.若 2( 1) ( 1)z a a i? ? ? ?为纯虚数，其中 aR? ， 则 aiia?12 等于（ B ） A i? B i C 1 D 1 或 i 解析：由 2( 1) ( 1)z a a i? ? ? ?为

6、纯虚数，得 1?a ，所以 iiiaiia ? 111 2 3 2?a11.已知：函数 1ln)( 2 ? xxxf ， P 、 Q 为其图像上任意两点，则直线 PQ 的斜率的最小值为（ B ） A.0 B. 232?e C. 2?e D. 212?e 解析： xxxxf ? ln2)( ，而 3ln2)( ? xxf ，易得， )( xf 在 ),0( 23?e 上单调减少，在 ),( 23 ?e上单调增加，故 23min 2)( ? exf 12.定义在 (0, )2? 上的函数 ()fx， )(xf? 是它的导函数，且恒有 ( ) ( ) tanf x f x x? 成立 .则有（ D

7、） A )3()4(2 ? ff ? B )1(1cos2)6(3 ff ? C 2 ( ) 6 ( )46ff? D 3 ( ) ( )63ff? 解析：由 ( ) ( ) tanf x f x x? 得， 0s in)(c o s)( ? xxfxxf ，即 0cos)( ?xxf ，亦即函数xxfxF cos)()( ? 在 (0, )2? 上是单调增加的。故 )3()6( ? FF ? 二 .填空题： 13.? ?11 22 )1 dxxx（_. 232 ? 解析： 2321)1 1111 2211 22 ? ? ? ? ? dxxdxxdxxx（14.已知： )32(sin2)( 2

8、 ? xxf ，则 )(f =_. 32 解析： )324c o s (1)32(s in2)( 2 ? ? xxxf ,所以 )324sin(4)( ? xxf ，得 32)3( ?f 15.若函数 21 )0()1()( xxfefxf x ? ?，则 ? )1(f _ e2 解析： xfefxf x 2)0()1()( 1 ? ?，则 2)0()1()1( ? fff ，所以， 2)0( ?f ； 故 21 2)1()( xxefxf x ? ?，则有 1)1()0( ? eff ，得， ef 2)1( ? 16.平面几何中有如下结论：正三角形 ABC 的内切圆面积为 1S ，外接圆面积

9、为 2S ，则 .4121 ?SS推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体 ABCP? 的内切球体积为 1V ，外接球的体积为 2V ，则?21VV .271 高为 332?h，解析：把正四面体放置在棱长为 1的正方体中，易知正四面体的棱长为4 内切球半径 63411 ? hr ，外接球半径 232?r ，则 271)( 32121 ? rrVV三 .解答题： 17 题， 12分。 22题， 10分。答题卡上的分值有误，请以题卷和评分标准为准。 17.（本小题满分 12分） 用数学归纳法证明：对于任意的 *Nn? ， 241121.312111 ? nnnn 证明：（ 1）当 1?n 时，左边

10、 = 2411241221 ? =右边，命题成立； 2分 （ 2）假设当 kn? （ *Nk? ）命题成立，即 241121.312111 ? kkkk ；4 分 当 1?kn 时 左边 = 22 112 121.413121 ? kkkkkk 6分 = 1122 112 1)21.312111( ? kkkkkkk 8分 2411)22)(12( 12411 ? kk即，当 1?kn 时，命题成立。 11分 综上所述，对于任意的 *Nn? ， 241121.312111 ? nnnn 12分 18.（本小题满分 12分） 已知函数 32( ) 2 3f x ax x?，其中 0?a （ 1）

11、 求证：函数 )(xf 在区间 ( ,0)? 上是 单调 函数； （ 2）求 函数 xxfxfxg 6)()()( ? 的极小值。 （ 1） 证明： )1(666)( 2 ? axxxaxxf 2分 因为 0?a 且 0?x ，所以 0)( ? xf 所以函数 )(xf 在区间 ? ?0,? 上是增函数 4分 5 （ 2）解：由题意 xxaaxx 12362)(g 23 ? ）（ ， 则 )1)(2(6)(g ? axxx . 令 0)( ?xg ，得 axx 12 ? 或 , ）（ 0?a 6分 当 2?x 时， 0)( ?xg , 则函数 )(gx 在区间 ? ?2- ，? 上是单调递增函

12、数； 当 ax 12 ? 时， 0)( ?xg , 则函数 )(gx 在区间 ），（ a12- 上是单调递减函数； 当 ax 1? 时， 0)( ?xg , 则函数 )(gx 在区间 ),1( ?a 上是单调递增函数； 9分 所以，函数 )(xg 的极小值点为 ax 1? ， 10 分 故函数 )(xg 的极小值是22 1661)1()( aaaaagxg ?极小值 12 分 19.（本小题满分 12分） 用长为 18 m的钢条围成一个 长方体 形状的框架，要求长方体的长与宽之比 为 2： 1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是 多少？ 解析：设长方体的宽为 xm，则长为

13、 2xm，高 ? 230( m )35.44 1218 xxxh. 2分 故长方体的体积为 ).230)(m69)35.4(2)( 3322 xxxxxxV ? 5分从而 2( ) 1 8 1 8 1 8 (1 ).V x x x x x? ? ? ? ? 令 0)( ?xV ，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1. 7分 当 0 x 1时， 0)( ?xV ；当 1 x 32 时， 0)( ?xV ， 故在 x=1处 V（ x）取得极大值，并且这个极大值就是 V（ x）的最大值 . 10分 从而最大体积 V 3（ m3），此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m. 答：当长方体的长

14、为 2 m时，宽为 1 m，高为 1.5 m时，体积最大，最 大体积为 3m3 . 12分 20.（本小题满分 12 分） 已知 mxxxxf ? ln)( ， 3)( 2 ? axxxg （ 1）若函数 )(xf 在 ),1(? 上为单调函数，求实数 m 的取值范围； 6 （ 2）若当 0?m 时，对任意 )()(2),0( xgxfx ? 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 解：（ 1） )(xf 定义域为 ? ?,0 ， )1(ln)( mxxf ? ， 2分 因为 )(xf 在 ),1(? 上 为单调函数，则方程 0)1(ln ? mx 在 ),1(? 上无实根。 4分 故 01 ?m

15、 ，则 1?m 6分 （ 2） 3ln2 2 ? axxxx ，则 xxxa 3ln2 ? ，对一切 ? ? ,0x 恒成立 . 7分 设 )0(3ln2)( ? xxxxxh ，则2 )1)(3()( x xxxh ?， 当 )(,0)(),1,0( xhxhx ? 单调递减， 当 )(,0)(),1( xhxhx ? 单调递增 . 10 分 )(xh 在 ),0( ? 上，有唯一极小值 )1(h ，即为最小值 . 所以 4)1()( min ? hxh ，因为对 任意 )()(2),0( xgxfx ? 恒成成立， 故 4?a 12 分 21.（本小题满分 12分） 已知函数 ,cossi

16、n)( xaxxxf ? 且 )(xf 在 3?x 处的切线的斜率为 6? . （ 1）求 a 的值，并讨论 )(xf 在 ? 2,2 ?上的单调性； （ 2）设 ，0,0,11)1l n ()( ? mxxxmxxg 若对任意 ? ? ,01x ,总存在 ，? 2,02 ?x使得)()( 21 xfxg ? 成立，求 m 的取值范围 . 解： (1） ?函数 ,cossin)( xaxxxf ? 且 )(xf 在 3?x 处的切线的斜率为 6?， ,6)3( ? ?f 解得：1?a; 2分此时， xxxf cos)( ? ，当 )0,2( ?x 时， 0)( ?xf ，当 )2,0( ?x 时， 0)( ?xf ， ?函数 )(xf 在 ? 0,2?上单调递减，在 ? 2,0?上单调递增 . 6分7 (2）当 ? 2,0?x时， )(xf 单调递增， ,1)0()( min ? fxf 则只需 1)( ?xg 在 ? ? ,0x 上恒成立即可