高中数学圆锥曲线系统讲解第23讲《最值问题》练习及答案.pdf

1、 1 第第 23 讲讲 最值问题最值问题 知识与方法知识与方法 求最值（范围）问题解题的一般步骤是：（1）设直线的方程为ykxb=+或xmyt=+、点的坐标；（2）将直线的方程代入圆锥曲线中，计算弦长、点到直线的距离等中间量；（3）将求范围的目标量表示成直线中引入的参数的函数关系式；（4）运用函数、均值不等式等基本方法求出最值（范围）.典型例题典型例题 1.（）已知点()0,2A，椭圆()2222:10 xyEabab+=的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线 AF的斜率为2 33，O 为坐标原点.（1）求 E 的方程；（2）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P、Q 两点，当OPQ的面积

2、最大时，求 l 的方程.【解析】（1）若 F 为左焦点，则直线 AF 的斜率为负数，不合题意，所以 F 为右焦点，故可设(),0F c，则202 303AFkc=，解得：3c=，又椭圆E的离心率32cea=，所以2a=，从而2221bac=，所以椭圆 E 的方程为2214xy+=.（2）解法 1：当直线 l 斜率存在时，O、P、Q 才能构成三角形，故可设直线 l 的方程为2ykx=，设()11,P x y，()22,Q xy，联 立22214ykxxy=+=消 去y整 理 得：()221416120kxkx+=，判别式()()()222164 141216 430kkk=+=，所以32k 或3

3、2k，2221224 431114kPQkxxkk=+=+，原点 O 到直线 l 的距离221dk=+所以 22222222214 434344414214434443434343OPQkkSPQ dkkkkkk=+当且仅当2244343kk=时取等号，即72k=，满足0 所以当OPQ的面积最大时，直线 l 的方程为722yx=.解法 2：当直线 l 斜率存在时，O、P、Q 才能构成三角形，故可设直线 l 的方程为2ykx=，2 设()11,P x y，()22,Q xy，联立22214ykxxy=+=消去 y 整理得：()221416120kxkx+=，判别式()()()222164 141

4、216 430kkk=+=，所以32k 或32k，从而()2212122216 4314 4321414OPQkkSOAxxxxkk=+，下同解法 1.2.（）平面直角坐标系xOy中，过椭圆()2222M:10 xyabab+=右焦点的直线30 xy+=交 M 于A、B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为12.（1）求 M 的方程；（2）C、D 为 M 上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值.【解析】（1）联立030yxy=+=解得：3x=，由题意，椭圆 M 的右焦点为()3,0F,设()11,A x y，()22,B xy，则2211222222

5、2211xyabxyab+=+=，两式作差得：22221212220 xxyyab+=整理得：2121221212yyyybxxxxa+=+，即()22112OPABbkka=，又223ab=+，解得：26a=，23b=，故椭圆 M 的方程为22163xy+=.（2）因为CDAB，故可设直线 CD 的方程为yxm=+，设()33,C x y，()44,D xy，联立22163yxmxy=+=消去 y 整理得：2234260 xmxm+=判别式()()222443 267280mmm=，所以33m，3 从而234728223mCDxx=联立2230163xyxy+=+=消去 y 整理得：234

6、30 xx=，解得：4 33x=或 0，所以124 33xx=，故124 623ABxx=所以2211 4 67284 3272822339ACBDmSABCDm=，故当0m=时，四边形ACBD的面积取最大值8 63.3.（）设圆222150 xyx+=的圆心为 A，直线 l 过点()1,0B且与 x 轴不重合，1 交圆 A 于 C、D两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（1）证明EAEB+为定值，并写出点 E 的轨迹方程；（2）设点 E 的轨迹为曲线1C，直线 l 交1C于 M、N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A交于 P、Q 两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

7、【解析】（1）将圆 A 化为标准方程得：()22116xy+=，故()1,0A，半径4r=，如图 1，由题意，BEAC，所以EBDACD=，又4ACAD=，所以ACDADC=从而EBDADC=，故EBED=，所以4EAEBEAED+=+=为定值，故点 E 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆，其方程为22143xy+=，又 l 不与 x 轴重合，所以2x .（2）如图 2，可设直线 l 的方程为1xmy=+，则直线 PQ 的方程为()1ym x=，设()11,M x y，()22,N xy 联立221143xmyxy=+=消去 x 得：()2234690mymy+=，判别式()214410m=+，

8、4 所以()()22221222144112 1113434mmMNmyymmm+=+=+=+点 A 到直线 PQ 的距离221mdm=+，所以222432 1641mPQdm+=+四边形MPNQ面积()222222212 1114333148 38 31223413434mmmSMNPQmmmm+=+因为2344m+，所以2110344m+，从而23111434m+，所以128 3S 即四边形MPNQ的面积 S 的取值范围为)12,8 3【反思】第 1 问为什么要附加2x?这是怎么得出的?4.（）已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成

9、正三角形.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线3x=上任意一点，过 F 作TF的垂线与椭圆交于点 P、Q（i）证明：OT 平分线段PQ（其中 O 为坐标原点）；（ii）当TFPQ最小时，求点 T 的坐标.【解析】（1）由题意，椭圆 C 的焦距24c=，故2c=椭圆 C 的短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形，所以322ba=结合222abc=+可得：6a=，2b=，所以椭圆 C 的标准方程为22162xy+=（2）解法 1：（i）由（1）知()2,0F，设()03,Ty，则直线 OT 的方程为03yyx=，0TFky=，直线 PQ 的方程为02xy

10、 y=，设()11,P x y，()22,Q xy，5 联立0222162xy yxy=+=消去 x 整理得：()22003420yyy y+=，判别式()()()()22200044 322410yyy=+=+，所以0122043yyyy+=+，故()12012201243xxyyyy+=+=+从而 PQ 中点为0220026,33yMyy+，显然点 M 在直线 OT 上，结论成立.（ii）由（i）知，()()220022012022002412 6 11133yyPQyyyyyy+=+=+=+，201TFy=+，所以 222200002222000031211212312132 62 62

11、 62 61111TFyyyyPQyyyy+=+=+当且仅当2020211yy+=+，即01y=时取等号，此时()3,1T 或()3,1，所以当TFPQ最小时，点 T 的坐标为()3,1或()3,1.解法 2：（i）由题意，直线 PQ 不与 y 轴垂直，可设其方程为2xmy=，则直线 TF 的方程为()2ym x=+，设()11,P x y，()22,Q xy，联立221622xyxmy=+=消去 x 整理得：()223420mymy+=判别式()()()()22244322410mmm=+=+，所以12243myym+=+故()121221243xxm yym+=+=+，所以 PQ 中点为2

12、262,33mMmm+，联立()32ym xx=+解得：ym=，所以()3,Tm，故直线 OT 的方程为3myx=显然点 M 的坐标满足直线 OT 的方程，所以点 M 在直线 OT 上，即 OT 平分线段 PQ.（ii）由（i）知，()221222 6113mPQmyym+=+=+，21TFm=+，故()22222231212312132 62 62 6111mTFmmPQmmm+=+=+当且仅当22211mm+=+，即1m=时等号成立，所以当TFPQ最小时，点T的坐标为()3,1或()3,1.6 5.（2022全国甲卷理20）设抛物线2:2C ypx=()0p 的焦点为 F，点(),0D p

13、，过 F 的直线交 C 于 M、N 两点，当直线 MD 垂直于 x 轴时，3MF=.（1）求 C 的方程；（2）设直线 MD、ND 与 C 的另一个交点分别为 A、B，记直线 MN、AB 的倾斜角分别为、，当取得最大值时，求直线 AB 的方程.【解析】（1）当MDx时，点 M 的横坐标为 p，所以322ppMFp=+=由题意，此时3MF=，所以332p=，解得：2p=，所以 C 的方程为24yx=.（2）由（1）可得()1,0F，()2,0D，显然直线 MN 不与 y 轴垂直，故可设其方程为1xmy=+，设211,4yMy，222,4yNy，233,4yAy，244,4yBy 联立214xmy

14、yx=+=消去 x 整理得：2440ymy=，易得判别式0，124yym+=，124y y=，当0m=时，由对称性易得2=，所以0=；当0m 时，直线 MN 的斜率为122212124144yyyyyym=+，所以1tanm=，同理，344tanyy=+，因为 A、M、D 三点共线，所以DA与DM共线，而2332,4yDAy=，2112,4yDMy=，所以2231132244yyyy=，整理得：()()131380y yyy+=显然13yy，所以130yy，从而1380y y+=，故318yy=，同理428yy=7 所以()123412124441tan88282y yyyyymmyy=+故(

15、)211tantan2tan111tantan2112mmmmmm=+当0m 时，0tantan，所以02，从而02 且()2112tan1214122 2mmmmmm=+，当且仅当12mm=时等号成立，此时22m=，所以()tan的最大值为24，此时也最大；当0m时，tantan0，所以2，故0；综上所述，当取得最大值时，22m=，此时直线 AB 的斜率为1222m=，()()()()2222221212122234342222221212128288 168111 646482448816yyy yyymyyyyyyy yy y+=+=+=()()123412124118842 222yy

16、yymyyy y+=，所以 AB 中点为()8,2 2，故直线 AB 的方程为()22 282yx=，整理得：240 xy=.【反思】得出22m=后，也可先写出直线 AB 的方程为2333444yyyxyy=+，进一步化简可得()343440 xyyyy y+=，求出34yy+和34y y即可得到直线 AB 的方程.6.（）设抛物线22ypx=()0p 的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于1AF.（1）求 p 的值；8 （2）若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过点 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，AN与 x 轴交于点 M，求 M 的横坐标的取

17、值范围.【解析】（1）由题意，12AApxx=+，解得：2p=.（2）解法 1：由（1）知()1,0F，设()211,2A yy，()222,2B yy，显然直线 AB 不与坐标轴垂直，故11y 且10y，因为 A、F、B 三点共线，所以1222122211yyyy=，化简得：121y y=，所以211yy=直线 AF 的斜率为12121yy，而FNAF，所以直线 FN 的斜率为21112yy，故其方程为()211112yyxy=，而直线 BN 的方程为22yy=，又211yy=，所以直线 BN 的方程为12yy=，联立()21111122yyxyyy=解得：2114112xyyy=+=，所以

18、211421,1Nyy+显然直线 AN 不与 y 轴垂直，故其方程为()21221111141222yyxyyyyy=+，即()()()211211213221yyxyyyy=，令0y=可得：212121yxy=，即点 M 的横坐标212121Myxy=注意到2211222111222222111yyyyy+=+，因为11y 且10y，所以()()2111,00,y +，故()()211,10,1y +，从而()(),02,Mx+，即点 M 的横坐标的取值范围为()(),02,+解法 2：设()11,A x y，()22,B xy，由（1）可得()1,0F，9 显然直线 AB 不与坐标轴垂直，

19、故可设其方程为1xmy=+(0)m,联立214xmyyx=+=消去 x 整理得：2440ymy=，易得判别式0，故124yym+=，124y y=，直线 FN 的方程为()1ym x=，联立()21yyym x=解得：21yxm=，所以221,yNym，直线 AN 的方程为()2111121yxmxxyyyy+=，即()211112ymymxxyyyy+=，令0y=得：211112ymyymxxyy+=，即点 M 的横坐标211112Mymyymxxyy+=而222212111112112111121212121111yyy ymyymyymy ymymy ymymmmmxmyyyyyyyyy

20、+=+=+=所以点 M 的横坐标121211Mmy ymxyy+=因为()()22212121241616yyyyy ym=+=+，所以21241yym=+故2221411111141Mmmmxmmm+=+，由于()2111,m+，所以()()211,11,m+即()()2111,02,Mxm=+，所以点 M 横坐标的取值范围为()(),02,+7.（）设点()2,0A，()2,0B，动点(),M x y满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为12，记 M 的轨迹为曲线 C.（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交 C 于 P、Q 两点，点 P 在第一象限，PEx轴

21、，垂足为 E，连结QE并延长交 C 于点 G.（i）证明：PQG是直角三角形；（ii）求PQG面积的最大值.【解析】（1）由题意，1222yyxx=+，整理得：()221242xyx+=，即 C 的方程为()221242xyx+=，它表示焦点在 x 轴上的椭圆，不含左、右顶点.（2）（i）证法 1：设()11,P x y，()22,G xy，则()11,Qx y，()1,0E x，10 由22112222142142xyxy+=+=，两式作差整理得：1212121212yyyyxxxx+=+，所以1212121212yyxxxxyy+=+，由 G、E、Q 三点共线知QEGEkk=，故12121

22、2yyxxx=，整理得：12112120 x yx yx y+=，要证PQG是直角三角形，只需证PQPG，即证1PQPGkk=，也即1211211yyyxxx=将式代入知只需证112112112yxxxyy+=+，即证12112120 x yx yx y+=由式知上式成立，所以PQG是直角三角形.证法 2：设()11,P x y，()22,G xy，则()11,Qx y，()1,0E x，记直线 PQ、PG、GQ 的斜率分别为1k、2k、3k，则222121212322212121yyyyyyk kxxxxxx+=+，又点 P 在曲线 C 上，所以2211142xy+=，故221122xy=同

23、理，222222xy=，所以()2222212112yyxx=，从而2312k k=,而111ykx=，1312ykx=，所以132kk=，代入式可得12122kk=，所以121k k=，从而PQPG，所以POG为直角三角形.（ii）由题意，可设直线 PQ 的方程为ykx=()0k，联立22142ykxxy=+=解得:2212xk=+所以2222,1212kPkk+，且22222224 11121212kPQkkkk+=+=+由（i）知直线 PG 的斜率为1k，其方程为222121212kyxkkk=+，即()222112kxkyk+=+，联立()22222112142kxkykxy+=+=消

24、去 x 整理得：()()242222414201212k kkkyykk+=+11 判别式()()222422222161416420121212kkkkkkkk+=+=+所以()2222212222164112112212kkkkPGkyykkkk+=+=+=+故()()()()222222228111 4 141222 1212212POGk kkkkSPQPGkkkkk+=+（接下来提供两种求最值的方法），法 1：2222111188882211152212522POGkkkkkkkkSkkkkkkkkkk+=+令1ukk=+，由0k 知2u 且2881122POGuSuuu=+，易得函

25、数()12uuu=+在)2,+上单调递增，故当2u=时，()u取得最小值92，从而POG面积的最大值为169，此时1k=.法 2：令()()()()222812 12k kf kkk+=+()0k，则()()3428252kkf kkk+=+，()()()()()()()()242336424242312528108 228252252kkkkkkkkkkfkkkkk+=+设2tk=，则()()()()()()642323222222222232213211 232kkktttttttttttttt+=+=+=+=+所以()()()()()()()()2422222424281 232811

26、232252252kkkkkkkfkkkkk+=+从而()001fkk，()01fkk，所以()f k在()0,1上单调递增，在()1,+上单调递减，故()()max1619f kf=，所以POG面积的最大值为169【反思】本题最后的求面积的最值，凑均值不等式技巧性较强，求导对计算能力要求很高，平常训练时得两手抓，考场上才能立于不败.8.（）12 平面直角坐标系xOy中，椭圆()2222:10 xyCabab+=的离心率是32，抛物线2:2E xy=的焦点 F 是 C 的一个顶点.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在 P 处的切线 l 与 C 交于不

27、同的两点 A、B，线段AB的中点为 D，直线OD与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.（i）求证：点 M 在定直线上；（ii）直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG的面积为1S，PDM的面积为2S，求12SS的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.【解析】（1）由题意，抛物线 E 的焦点为10,2F，且 F 是椭圆 C 的一个顶点，所以12b=又椭圆 C 的离心率2232abea=，所以1a=，故椭圆 C 的方程为2241xy+=.（2）（i）设()2,02mP mm，()11,A x y，()22,B xy，由22xy=可得22xy=，所以yx=，从而直线 l 的方程为()22mym

28、xm=，即22mymx=,将22mymx=代入2241xy+=消去 y 整理得：()223414410mxm xm+=判别式()()()232444 1410mmm=+，所以2025m+，由韦达定理，3122414mxxm+=+，所以()221212214myym xxmm+=+=+，从而32222,1428mmDmm+，直线 OD 的方程为14yxm=，联立14yxmxm=解得：14y=，故点 M 在定直线14y=上.（ii）由（i）知20,2mG，10,2F，所以2211222mmFG+=，故()211124mmSFG m+=，又22121244mmPM+=，13 点 D 到直线 PM 的

29、距离()23221221414mmmdmmm+=+所以()()()2222222122111 21224148 14mmmmmSPMdmm+=+故()()()()22422124242222218 142 45112 12 1144414412144mmmmmSmSmmmmmmmm+=+=+22192 1412 44mm+=+，当且仅当2214mm=，即22m=时等号成立，所以12SS的最大值为94，且此时点 P 的坐标为2 1,24【反思】二次二次的结构如何求最值?结合这道题求12SS的过程总结一下吧.9.（）如下图所示，已知抛物线2xy=，点1 1,2 4A，3 9,2 4B，抛物线上的点

30、(),P x y1322x.过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q.（1）求直线 AP 斜率的取值范围；（2）求PAPQ的最大值.【解析】（1）由题意，21114411222APyxkxxx=+，因为1322x，所以1112x，即直线 AP 的斜率的取值范围为()1,1.（2）思路 1：第 2 问容易想到的计算方法是设 AP 的斜率为 k，于是写出直线 AP 的方程，14 并把它与抛物线联立解出点 P 的坐标；另一方面直线 BQ 的斜率是1k，也可以写出直线BQ 方程，与直线 AP 联立解出点 Q 的坐标，用两点间的距离公式来把PAPQ表示成关于 k 的式子，但这一做法由于 P、Q 两点的

31、坐标都较为复杂，用两点间距离公式来算PAPQ计算量过大，于是考虑采用公式21APAPkxx=+来算AP，这样就只需用到点 P 横坐标，计算大大简化，PQ 的计算用同样的处理方法.解法 1：设 AP 的斜率为 k，则直线 AP 的方程为1142yk x=，即124kykx=+将124kykx=+代入2yx=消去 y 整理得：21024kxkx=，由韦达定理，11224ApPkx xx=，故12Pxk=+，所以22111APPAkxxkk=+=+，因为BQAP，所以直线BQ的方程为3924xk y=，联立1243924kykxxk y=+=解得：()224321kkxk=+，所以()224321Q

32、kkxk=+，从而()222214311221PQkkPQkxxkkk=+=+故()()22222214313111112222221kkkPAPQkkkkkkkkk=+=+()()()()33221111111kkkkkkkkkk=+=+=+，由（1）知()1,1k，所以()()311PAPQkk=+（接下来提供两种求最值的方法）法 1：令()()()311f kkk=+，11k，则()()()2211 2fkkk=+，所以()1012fkk ，()1012fkk，故()f k在11,2上单调递增，在1,12上单调递减，所以()max127216f kf=，从而PAPQ的最大值为2716。法

33、 2：()()()()()()()()4111331127111 3333416kkkkPAPQkkkk+=+=15 当且仅当13 3kk+=，即12k=时等号成立，所以PAPQ的最大值为2716.思路 2：从向量的角度来看，本题中由于 P、A、Q 三点共线，故PAPQPA PQ=，不过若直接求PA PQ，由于点 Q 的坐标较为复杂，那么又会遇到和解法 1 相同的困难.事实上，()PA PQPAPBBQPA PB=+=，这样就回避了计算点 Q 的坐标，降低了计算量.解法 2：()PAPQPA PQPAPBBQPA PBPA BQPA PB=+=+=而211,24PAxx=，239,24PBxx

34、=所以22222244131933993322444221644216xxxxxPA PBxxxxxxxx=+=+=令()24331321622xf xxxx=，则()()()()()233431411 21fxxxxxxxx=+=+，()3012fxx，()1012fxx，故()f x在1,12上单调递减，在31,2上单调递增，易求得13022ff=，()27116f=，所以()()maxmax2716PAPQfx=.思路 3：从几何的角度看，由于AQBQ，所以点 Q 在以 AB 为直径的圆上，连接点 P 和圆心与圆交于另外两点 C、S，根据相交弦定理，可将PAPQ转化后计算.解法 3：如图

35、，因为AQBQ，所以点 Q 在以 AB 为直径的圆 M 上，设直线 PM 交圆 M于 C、S 两点，根据相交弦定理，PAPQPCPS=设圆 M 半径为 r，则122rAB=，由图可知PCrPMPSrPM=+=，故()()2222PAPQPCPSrPMrPMrPMPM=+=，故当2PM取最小值时，PAPQ取得最大值，易得1 5,2 4M，故222224242151525329244216216PMxxxxxxxxx=+=+=+令()423291321622f xxxxx=+则()()()()()233431411 21fxxxxxxxx=+=+，()3012fxx，()1012fxx，故()f

36、x在1,12上单调递减，在31,2上 16 单调递增，所以()()min5116fxf=，即()()maxmax2716PAPQfx=.【反思】（相交弦定理）如图，设圆的任意两条弦 AB、CD 交于点 P，则PAPBPCPD=强化训练强化训练 10.（）已知椭圆()222:103xyMaa+=的一个焦点为()1,0F，左、右顶点分别为 A、B，经过点 F的直线 l 与椭圆 M 交于 C、D 两点.（1）求椭圆 M 的方程；（2）记ABD与ABC的面积分别为1S和2S，求12SS的最大值.【解析】（1）由题意，231a=，故2a=，即椭圆 M 的方程为22143xy+=（2）由题意，直线 l 不

37、与 y 轴垂直，故可设其方程为1xmy=，设()11,C x y，()22,D xy 联立221143xmyxy=+=消去 x 整理得：()2234690mymy+=因为()1,0F 在椭圆内部，故判别式0 恒成立，由韦达定理，122634myym+=+，1229034y ym=+，122122SAByy=，211122SAByy=，故12122SSyy=因为120y y，所以1y、2y异号，故1212122122234mSSyyyym=+=+当0m=时，120SS=17 当0m 时，1221212123434432 3mSSmmmmm=+，当且仅当2 33m=时等号成立，从而12SS的最大值

38、为3.11.（）已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的左右焦点分别为1F、2F，左顶点为 A，离心率为22，点 B 是椭圆 C 上的动点，1ABF面积的最大值为212.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设经过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M、N，线段MN的中垂线为l，若直线l与 l 相交于点 P，与直线2x=相交于点 Q，求PQMN的最小值.【解析】（1）设椭圆 C 的半焦距为 c，由题意，22ca=，即222ac=易得1ABF面积的最大值为2122acb=，结合222abc=+可解得：2a=，1bc=，所以椭圆 C 的方程为2212xy+=（2）由（1）知()11

39、,0F，显然直线 l 不与 y 轴垂直，可设其方程为1xmy=，设()11,M x y，()22,N xy，联 立22112xmyxy=+=消 去 x 整 理 得：()222210mymy+=，判 别 式()2810m=+，由韦达定理，12222myym+=+，故()12122422xxm yym+=+=+，即222,22mPmm+，所以()()22221222812 211122mmMNmyymmm+=+=+=+()222222226112122PQmPQmxxmmmm+=+=+=+所以2222222322221212222111PQmmmMNmmm+=+=+当且仅当22211mm+=+，即

40、1m=时等号成立，从而PQMN的最小值为 2.18 【反思】弦长的计算是解析几何大题最常见的基本运算单元之一，一定要能够根据实际情况选择合适的弦长公式计算弦长，请结合本题计算MN和PQ的过程总结弦长的常用计算方法吧.12.（）已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为32，求AOB面积的最大值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为 c，由题意，633caa=，解得：3a=，1b=，2c=，所以椭圆 C 的方程为2213xy+=.（2）设()

41、11,A x y，()22,B xy，当ABx轴时，其方程为32x=代入2213xy+=可解得：32y=，所以3AB=当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为ykxm=+，由题意，2321mk=+，故()22431mk=+，联立2213ykxmxy=+=消去 y 整理得：()222316330kxkmxm+=，判别式()()222222364 31 33361212k mkmkm=+=+，将式代入可得满足0，22221223612121131kmABkxxkk+=+=+将式代入整理得：()()()222242231 9112396131kkkABkkk+=+，当0k=时，3AB=1

42、9 当0k 时，2222121233211962 96ABkkkk=+=+，当且仅当2219kk=，即33k=时等号成立，综上所述，AB的最大值为 2，而133224AOBSABAB=，所以当AB最大时，AOB的面积也最大，从而AOB的面积的最大值为33242=.【反思】“设二消一”是解析几何问题中常用的解题方法.例如本题设直线 AB 的方程时，引入了 k 和 m 两个参数，通过已知的原点到直线 l 的距离为32建立 k 和 m 的关系式，并将这一关系式代入AB的表达式中，消元转化为单变量的最值问题求解.13.（）已知抛物线()2:20E ypx p=，点1,4Qm为 E 上一点，且 Q 到

43、E 的准线的距离等于到坐标原点 O 的距离.（1）求 E 的方程；（2）设 AB 为圆()2224xy+=的一条不垂直于 y 轴的直径，分别延长AO、BO交 E 于C、D 两点，求四边形ABCD的面积 S 的最小值.【解析】设抛物线 E 的焦点为,02pF，由题意，QOQF=，所以 Q 在线段 OF 的中垂线上，从而144p=，解得:1p=，故抛物线 E 的方程为22yx=（2）如图，由题意，直线 AC 的斜率存在且不为 0，设直线 AC 的方程为()0ykx k=，联立()2224ykxxy=+=消去 y 整理得：()22140kxx+=，解得：0 x=或241k+，所以241Axk=+，联

44、立22ykxyx=，解得：0 x=或22k，所以22Cxk=，故222222242621111ACkACkxxkkkkk+=+=+=+因为 AB 是圆()2224xy+=的直径，所以ACBD，故直线 BD 的方程为1yxk=20 在中用1k代换 k 可得()22621kkBDk+=+所以四边形ABCD的面积()()()()22222222622 313116222111kkkkkSACBDkkkkk+=+()()2422233 3102 310311kkkkkkkk+=+，设1tkk=+，则122tkk=，当且仅当1kk=，即1k=时取等号，且22212tkk=+，所以22212ktk+=，故()()222 32102 3486ttStttt+=+，设()86f ttt=+()2t，则()2860ftt=，所 以()f t在)2,+上 单 调 递 增，故()()min216f tf=，所以四边形ABCD的面积 S 的最小值为 16