2020最新 初升高数学衔接教材.docx
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1、 1 初升高数学衔接教材 第第 1 课课 集合的概念集合的概念 一、集合与元数 1、集合的概念 (1) 集合:某些指定对象集在一起就形成一个集合(简称集) (2) 元素:集合中每一个对象叫做这个集合的元素; (3) 集合通常用大写的拉丁字母表示,如 A,B,C,P,Q 元素通常用小写的拉丁字母表示,如 a,b,c,p,q 2、集合中的元素有四个特性:_、_、_、 _。 3、集合与元素的关系 属于:如果 a 是 A 的元素,就说 a_集合 A,记作_; 不属于:如果 a 是 A 的元素,就说 a_集合 A,记作_; 4、集合的表示法: 列举法:把集合的元素_,并用_表示集合的方法。 描述法:用集
2、合所含元素的_表示集合的方法,具体表示是: _。 venn 图:用平面上封闭曲线的内部代表集合。 5、几个常用数集及其记号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 6、区间的概念 设 a,b 是两个实数,而且 aa 的所有实数表示为, a 满足xa的所有实数表示为,a,满足 x0 BxR,x2x10 CxR,x2x10 Dx0R,x20 x010 答案:答案:C 4已知命题已知命题 p:x24x30,q:xZ,且且“pq”与与“ q”同时为假命题同时为假命题,则则 x _. 解析:解析:若若 p 为真为真,则则 x1 或或 x3, 因为因为“ q”为假为假,则则 q 为真为真
3、,即即 xZ, 又因为又因为“pq”为假为假, 所以所以 p 为假为假, 故故3xy,则则xy,则则 x2y2.在命题在命题pq;p q;p( q);( p)q 中中,真命题是真命题是( ) A B C D 3.给定命题给定命题 p:对任意实数:对任意实数 x 都有都有 ax2ax10 成立;成立;q:关于:关于 x 的方程的方程 x2xa0 有实数根如果有实数根如果 pq 为真命题为真命题,pq 为假命题为假命题,求实数求实数 a 的取值范围的取值范围 4已知已知 p:x0R,mx2010,q:xR,x2mx10,若若 pq 为假命题为假命题, 则实数则实数 m 的取值范围是的取值范围是(
4、) A2,) B(,2 C(,22,) D2,2 5已知函数已知函数 f(x)x2mx1,若命题若命题“x00,f(x0)0”为真为真,则则 m 的取值范围是的取值范围是 _ 6命题命题“x00,x200”的否定是的否定是( ) Ax0,x20,x200 Dx03”是是“x29”的充要条件的充要条件,命题命题 q:“a2b2”是是“ab”的充要条件的充要条件, 则则( ) Apq 为真为真 Bpq 为真为真 Cp 真真 q 假假 Dpq 为假为假 9若命题若命题“x0R,x20(a1)x01n BnN*,f(n) N*或或 f(n)n Cn0N*,f(n0) N*且且 f(n0)n0 Dn0N
5、*,f(n0) N*或或 f(n0)n0 11已知命题已知命题 p:x0,x4 x 4;命题命题 q:x0(0,),2x01 2.则下列判断正 则下列判断正 确的是确的是( ) Ap 是假命题是假命题 Bq 是真命题是真命题 Cp( q)是真命题是真命题 D p)q 是真命题是真命题 12(2017 南昌模拟南昌模拟)下列说法错误的是下列说法错误的是( ) A 命题命题“若若x25x60, 则则 x2”的逆否命题是的逆否命题是“若若x2, 则则x25x60” B若命题若命题 p:存在:存在 x0R,x20 x010”的否定为假命题的否定为假命题,则实数则实数 a 的取值范围是的取值范围是 _
6、15已知命题已知命题 p:“存在存在 a0,使函数使函数 f(x)ax24x 在在(,2上单调递减上单调递减”,命题命题 q:“存在存在 aR,使使xR,16x216(a1)x10”若命题若命题“pq”为真命题为真命题, 求实数求实数 a 的取值范围的取值范围 16已知命题已知命题 p:x0R,ex0mx00,q:xR,x2mx10,若若 p( q) 为假命题为假命题,则实数则实数 m 的取值范围是的取值范围是( ) A(,0)(2,) B0,2 CR D 17设设 p:实数:实数 x 满足满足 x25ax4a20),q:实数实数 x 满足满足 2b0,0cd ab cd ; 0axb或或 a
7、xbb0,m0,则 ;0 bbm bbm bm aam aam ; ;0 aam aam bm bbm bbm 题型一 基本性质 例1、对于任意实数 a,b,c,d,下列五个命题中: (1) 若 ab,0c ,则 acbc; (2)若 ab, 则 22 acbc; (3)若 22 acbc, 则 ab; (4)若 ab, 则 11 ab ;(5)若 ab0,cd,则 acbd,其中真命题的个数是( ) A,1 B,2 C,3 D,4 变式题: 1、已知 a,b,c,d 为实数,且 cd 则“ab”是“a-cb-d”的( ) A,充分而不必要条件 B,必要而不充分条件 C,充要条件 D,既不充分
8、也不必要 条件 2、 “a+cb+d”是“ab 且 cd”的( ) A,充分而不必要条件 B,必要而不充分条件 C,充要条件 D,既不充分也不必要 条件 3、已知 a0,-1b0,那么下列不等式成立的是( ) A, 2 aabab B, 2 ababa C, 2 abaab D, 2 ababa 4、已知 a,b 为非零实数,且 ab,则下列命题成立的是( ) A, 22 ab B, 22 aba b C, 22 11 aba b D, ba ab 题型二 取倒数法的应用 例1、给出下面 3 个命题,其中正确的命题个数是_。 (1) 11 00ab ab ;(2) 11 00ab ab ;(3
9、) 11 00ab ab 变式题: 1、如果 a0,那么,下列不等式中正确的是( ) A, 11 1ab B,ab C, 22 ab D,ab 2、若 11 0 ab ,则下列不等式中正确的有_个。 (1) abab ;(2)ab;(3)ab;(4)0 ba ab 3、若, ,a b cR ab,则下列不等式中成立的是( ) A, 11 ab B, 22 ab C, 22 11 ab cc D,a cb c 4、如果 ab0,那么下列不等式中成立的是( ) A, 11 ab B, 2 abb C, 2 aba D, 11 ab 题型三 不等式性质的应用 例1、已知11,15,xyxy 则3xy
10、的取值范围是_。1,11 变式题: 1、已知1,354,xyxy则57xy的取值范围是_。 2、 设 2 f xa xb x, 且 11 2 , 21 4 ,ff则2f 的取值范围是_。 3、已知13,ab 且 2a-bb,且 cd,则 a+cb+d; (2)若 a,b,c,d 为实数,且 ab,cd, 则 a-cb-d; (3)若 22 acbc,则ab; (4)若0, 10,ab 则 2 ababa; (5)若, a b为非零实数,且ab,则 22 11 aba b ;(6)若2,2ab,则 22 4ab; (7)若,0,ab c则acbc; (8)若ab,则 22 acbc。 其中真命题
11、的有_。 2. 已知, a b为实数,则“0a且 b0”是“0ab且0ab”的( ) A,充分而不必要条件 B,必要而不充分条件 C,充要条件 D,既不充分也不必要 条件 3. 若 xy,mn,下列不等式正确的是( ) A,xmyn B,xmyn C, xy nm D,mynx 4. 若, a bR,则“ab”是“ 22 ab”的( ) A,充分而不必要条件 B,必要而不充分条件 C,充要条件 D,既不充分也不必要 条件 5. 下面四个条件中,使得ab成立的充分而不必要条件是( ) A,1ab B,1ab C, 22 ab D, 33 ab 6. 若,0, 2 ,分别求, 22 的取值范围。
12、7. 已知3220,322 ,xyzxzy求 y x 的取值范围。 8.己知0,xyzxyz求 z x 的取值范围。 9.已知在ABC中,三边 a,b,c 满足,bcaa cabb 求 b a 的取值范围。 10. 若 22 ,则的取值范围为_。 11. (1)若 22 31,21,f xxxg xxx 则 ,f xg x的大小关系是( ) A, f xg x B, f xg x C, f xg x D,随 x 的值的变化而变化 (2) 已知0ab,则ab与ab的大小关系是_。 17 12.已知, a b是正实数,求证: ab ab ba 13.ABC中,a,b,c 是其三边,求证:2 abc
13、 bcacab 14. 已知ABC三边长为, ,a b c,且0m,求证: abc ambmcm 15. 已知,a bR且1ab,求证: 113 112ab 16.已知,a bR求证: 111 abab abab 。 第第 7 课:基本不等式课:基本不等式 1、基本不等式: 2 ab ab (1) 基本不等式成立的条件:a0,b0;(2)等号成立的条件:当且仅当ab时取等号; (3)口诀:一正二定三相当“一正”指正数; “二定”指应用基本不等式求最值时,和 或积为定值; “三相等”指满足等号成立的条件。 1、几个重要不等式 (1) 22 2,abab a bR; (2) 2( , ba a b
14、 ab 同号); (3) 2 , 2 ab aba bR (4) 2 22 , 22 abab a bR (5) 22 22,ababa bR以上不等式中等号成立的条件均为 a=b。 (6) 222 abcabbcca等号成立的条件为 a=b=c 2、算术平均数与几何平均数 设0,0ab,则 a,b 的算术平均数为 2 ab ,几何平均数为ab,基本不等式可叙术 为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2、利用基本不等式求最值问题 已知 x0,y0,则 (1) 如果 xy 是定值为 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值2 p,(简记:积定和最 小) 18 (2) 如果和 x+
15、y 是定值 q,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值 2 4 q ,(简记:和定积最大) 题型一:利用基本不等式求最值 【例 1】(1)已知0 xy ,求 22 22 2 xyxy xy x y 的最小值; (2)已知 22 12,ab 求2ab的最小值; (3)已知, a bR,0ab,求 44 41ab ab 的最小值; (4)设 2 2 0,0,1, 2 y xyx求xy的最大值。 1. 设已知1xy,求xy的取值范围; 2. , x y为实数,若 22 41xyxy,求2xy的最大值; 3.已知0,0 xy,228xyxy,则2xy的最小值; 4.实数, x y满足 22 1xyx
16、y,求xy的最大值; 5.已知0,0 xy,26xyxy,求 4 22 xy的最小值; 6.实数, x y满足 22 4545xxyy,设 22 +ySx, maxmin ,SS分别表示 22 +ySx的最大 值和最小值,则 maxmin 11 SS _。 【例 2】(1)设 22 0,0,1,abab求ab的取值范围; (2)已知, a b为正数,满足21ab ,求 22 44abab的最大值; 变式: 1.设 x0,y0,x+y=1,求 xy 的最大值; 2.设 x0,y0,x+2y=1,求 xy 的最大值; 3.设 x0,y0,且满足1 34 xy ,则 xy 的最大值; 题型二:双勾函
17、数型 形如函数0 k yxk x 称为双勾函数 (1) 图象怎样画? (2) 函数的性质怎么样呢? (3) 最值怎么求?此时 x 为多少? 【例 3】已知,a bR且1ab,求 11 ab ab 的最小值; 变式: 1. 已知,a bR且21ab,求 22 1 4ab ab 的最小值; 2. 已知,a bR且1ab,当 1 42 4 yab ab 取最小值时,求, a b的值; 3.已知,a bR且21ab ,求 22 24Sabab的最大值; 题型三:证明不等式 【例 1】已知, ,a b cR,求证:(1) 22 1ababab ;(2) 222 abcabbcca 变式: 1. 已知,
18、,a b cR,且a+b+c1,求证: 19 (1) 222 1 +b 3 ac; (2) 1 3 abbcca; (3) 222 1 abc bca 【例 2】若 + , a bR,求证: 22 2 11 22 abab ab ab 变式: 1. 若,a bR且0ab,则下列不等式中:(1)2abab;(2) 112 abab ;(3) 2 ba ab ;(4) 22 22 abab ;(5) 2ab ab ab ,恒成立的是_。 2. 若 + , a bR,求证: 11 4ab ab 。 【例 3】已知, ,a b c是不全相等的正实数,求证:abcabbcac 变式: 1. 已知, ,a
19、 b cR,求证:abcabbcac 2.已知 n 为正整数,求证: 2 1 22 3.1 2 n n n n 。 【例 4】已知, ,a b cR,且1abc ,求证: 111 1118 abc 。 变式: 1. 已知, ,a b cR,且1abc,求证:1118abc; 2. 已知, ,a b cR,且1abc,求证: 111 1118 abc ; 【例 5】已知, ,a b cR,求证: bccaab abc abc 变式: 1. 已知0,0,0,0abxy,求证: 2 22 xyxy abab 20 2.已知0,0ab,且1ab,求证: 11 119 ab 3.已知, , ,a b c
20、 d都是正数,求证:4abcdacbdabcd 【课后练习】 1. 已知, ,a b c为正实数,且满足320abc,则 2 b ac 的最小值; 2. 设 a0,b0, 且不等式 11 0 k abab 恒成立, 则实数 k 的最小值为_。 3.若实数4x,则函数 9 4 yx x 的最小值为_。 4.已知实数, a b满足4ab,则 11 13ab 的最小值为_。 5.已知正数, x y满足23xy,则 1y xy 的最小值为_。 6.若对任意实数 2 0, 31 x xa xx 恒成立,则实数 a 的取值范围是_。 7.当 1 0 2 m时,若 2 12 2 1 2 kk mm 恒成立,
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