初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第23讲 圆与圆.pdf

1、1 第二十三讲第二十三讲 圆与圆圆与圆 圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有 如下三种方法： 1通过两圆交点的个数确定； 2通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定； 3通过两圆的公切线的条数确定 为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以 及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线 熟悉以下基本图形、基本结论： 【例题求解】【例题求解】 【例 1】 如图，Ol与半径为 4 的O2内切于点 A，Ol经过圆心 O2，作O2的直径 BC 交Ol于点 D，EF 为过点 A 的公切线，若 O2D=22，那么B

2、AF= 度 思路点拨思路点拨 直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连 O2Ol必过 A 点，先求 出D O2A 的度数 注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使 弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通同时，又是生成圆幂定理的重要因 素 (2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形， 将分散的条件集中，通过解直角三角形求解 【例 2】 如图，Ol与O2外切于点 A，两圆的一条外公切线与O1相切于点 B，若 AB 与两圆的另一条外公切线平行，则Ol 与O2的半径之比为( ) A2：5 B1：2 C1

3、：3 D2：3 思路点拨思路点拨 添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出COlO2 (或DO2Ol)的度数， 为此需寻求CO1B、CO1A、BO1A 的关系 2 【例 3】 如图， 已知Ol与O2相交于 A、 B 两点， P 是Ol上一点， PB 的延长线交O2 于点 C，PA 交O2于点 D，CD 的延长线交Ol于点 N (1)过点 A 作 AECN 交Oll 于点 E，求证：PA=PE； (2)连结 PN，若 PB=4，BC=2，求 PN 的长 思路点拨思路点拨 (1)连 AB，充分运用与圆相关的角，证明PAE=PEA；(2)PBPC=PDPA， 探寻 PN、PD、PA 对应三角形的

4、联系 【例 4】 如图，两个同心圆的圆心是 O，AB 是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点 D， 连结 OD 并延长交大圆于点 E，连结 BE 交 AC 于点 F，已知 AC=24，大、小两圆半径差 为 2 (1)求大圆半径长； (2)求线段 BF 的长； (3)求证：EC 与过 B、F、C 三点的圆相切 思路点拨思路点拨 (1)设大圆半径为 R，则小圆半径为 R-2，建立 R 的方程；(2)证明EBC ECF；(3)过 B、F、C 三点的圆的圆心 O，必在 BF 上，连 OC，证明OCE=90 注 ： 本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股 定理、 相似

5、三角形等丰富的知识 作出圆中基本辅助线、 运用与圆相关的角是解本例的关键 3 【例 5】 如图，AOB 是半径为 1 的单位圆的四分之一，半圆 O1的圆心 O1在 OA 上，并与 弧 AB 内切于点 A， 半圆 O2的圆心 O2在 OB 上， 并与弧 AB 内切于点 B， 半圆 O1与半圆 O2 相切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y (1)试建立以x为自变量的函数y的解析式； (2)求函数y的最小值 思路点拨思路点拨 设两圆半径分别为 R、r，对于(1)，)( 2 1 22 rRy，通过变形把 R2+r2用“x =R+r”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x=R+r，故是在约束

6、条件下求y的最 小值，解题的关键是求出 R+r 的取值范围 注 ： 如图，半径分别为 r、R 的Ol 、O2外切于 C，AB，CM 分别为两圆的公切线，OlO2 与 AB 交于 P 点，则： (1)AB=2rR； (2) ACB=Ol M O2=90； (3)PC2=PAPB； (4)sinP= rR rR ； (5)设 C 到 AB 的距离为 d，则 dRr 211 学力训练学力训练 1已知：Ol和O2交于 A、B 两点，且Ol经过点 O2，若AOlB=90，则A O2B 的 度数是 2矩形 ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以 A、C 为圆心的两圆相切，点 D 在圆 C 内， 点

7、 B 在圆 C 外，那么圆 A 的半径 r 的取值范围 (2003 年上海市中考题) 3如图；Ol 、O2相交于点 A、B，现给出 4 个命题： (1)若 AC 是O2的切线且交Ol于点 C，AD 是Ol的切线且交O2于点 D，则 4 AB2=BCBD； (2)连结 AB、OlO2，若 OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，则 OlO2=25cm； (3)若 CA 是Ol的直径，DA 是O2 的一条非直径的弦，且点 D、B 不重合，则 C、B、 D 三点不在同一条直线上， (4)若过点 A 作Ol的切线交O2于点 D，直线 DB 交Ol于点 C，直线 CA 交O2于点 E，连结

8、DE，则 DE2=DBDC，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题 的序号) 4如图，半圆 O 的直径 AB=4，与半圆 O 内切的动圆 Ol与 AB 切于点 M，设Ol的半径 为y，AM 的长为x，则y与x的函数关系是 ，自变量x的取值范围是 5如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是 1 米的水泥管两两相切摞在一起，则其 最高点到地面的距离是( ) A2 B 2 2 1 C 2 31 D 2 3 1 6如图，已知Ol、O2相交于 A、B 两点，且点 Ol在O2上，过 A 作Oll 的切线 AC 交 B Ol的延长线于点 P，交O2于点 C，BP 交Ol于点 D，若 PD=1，PA=5，则

9、 AC 的长为( ) A5 B52 C52 D53 7如图，Ol和O2外切于 A，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B、C 是切点 PB=AB；PBA=PAB；PABOlAB；PBPC=OlAO2A 上述结论，正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 8两圆的半径分别是和 r (Rr)，圆心距为 d，若关于x的方程0)(2 22 dRrxx有两个 5 相等的实数根，则两圆的位置关系是( ) A一定内切 B一定外切 C相交 D内切或外切 9 如图， Ol和O2内切于点 P， 过点 P 的直线交Ol于点 D， 交O2于点 E， DA 与O2 相切，切点为 C （1）求证：PC 平分APD；

10、 (2)求证：PDPA=PC2+ACDC； (3)若 PE=3，PA=6，求 PC 的长 10如图，已知Ol和O2外切于 A，BC 是Ol和O2的公切线，切点为 B、C，连结 BA 并延长交Ol于 D，过 D 点作 CB 的平行线交O2于 E、F，求证：(1)CD 是Ol的直径； (2)试判断线段 BC、BE、BF 的大小关系，并证明你的结论 11如图，已知 A 是Ol、O2的一个交点，点 M 是 OlO2的中点，过点 A 的直线 BC 垂 直于 MA，分别交Ol、O2于 B、C (1)求证：AB=AC； (2)若 Ol A 切O2于点 A，弦 AB、AC 的弦心距分别为 dl、d2，求证：d

11、l+d2=O1O2； (3)在(2)的条件下，若 dld2=1，设Ol、O2的半径分别为 R、r，求证：R2+r2= R2r2 12已知半径分别为 1 和 2 的两个圆外切于点 P，则点 P 到两圆外公切线的距离为 13如图，7 根圆形筷子的横截面圆半径为 r，则捆扎这 7 根筷子一周的绳子的长度 为 14如图，Ol和O2内切于点 P，O2的弦 AB 经过Ol的圆心 Ol，交Ol于 C、D， 若 AC：CD：DB=3：4：2，则Ol与O2的直径之比为( ) A2：7 B2：5 C2：3 D 1：3 6 15如图，Ol与O2相交，P 是Ol上的一点，过 P 点作两圆的切线，则切线的条数可 能是(

12、 ) A1，2 B1，3 C1，2，3 D1，2，3，4 16如图，相等两圆交于 A、B 两点，过 B 任作一直线交两圆于 M、N，过 M、N 各引所在 圆的切线相交于 C，则四边形 AMCN 有下面关系成立( ) A有内切圆无外接圆 B 有外接圆无内切圆 C既有内切圆，也有外接圆 D以上情况都不对 17已知 ： 如图，O 与相交于 A，B 两点，点 P 在O 上，O 的弦 AC 切P 于点 A，CP 及其延长线交P P 于点 D，E，过点 E 作 EFCE 交 CB 的延长线于 F （1）求证：BC 是P 的切线； (2)若 CD=2，CB=22，求 EF 的长； (3)若 k=PE：CE，

13、是否存在实数 k，使PBD 恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若 不存在，请说明理由 18如图，A 和B 是外离两圆，A 的半径长为 2，B 的半径长为 1，AB=4，P 为连 接两圆圆心的线段 AB 上的一点，PC 切A 于点 C，PD 切B 于点 D (1)若 PC=PD，求 PB 的长； (2)试问线段 AB 上是否存在一点 P，使 PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的 P 点有几个?并 求出 PB 的值；如果不存在，说明理由； (3)当点 F 在线段 AB 上运动到某处，使 PCPD 时，就有APCPBD 请问：除上述情况外，当点 P 在线段 AB 上运动到何处(说明 PB 的

14、长为多少，或 PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线 CP 与 OB 的位置关系，证明你 的结论 19如图，D、E 是ABC 边 BC 上的两点，F 是 BA 延长线上一点，DAE=CAF (1)判断ABD 的外接圆与AEC 的外接圆的位置关系，并证明你的结论； (2)若ABD 的外接圆半径是AEC 的外接圆半径的 2 倍，BC=6，AB=4，求 BE 的长 7 20问题：要将一块直径为 2cm 的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底 面 操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方 案(要求，画示意图) 方案二 ； 在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案 (要求：画示意图)； ， 探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径； (2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径； (3)设方案二中半圆圆心为 O，圆柱两个底面的圆心为 O1、O2，圆锥底面的圆心为 O3， 试判断以 O1、O2、O3、O 为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明 8 参考答案参考答案 9 10