初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起.pdf

1、1 第二十一讲第二十一讲 从三角形的内切圆谈起从三角形的内切圆谈起 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆， 这个多边形叫做圆的外切多边形 三 角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心， 圆外切三角形、 圆外切四边形有下列重要性质 ： 1三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等； 2圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要 方法 当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形： 注：设 RtABC 的各边长分别为 a、b、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其 内切圆半径的不同表示式： (1) 2 cba

2、r ； (2) cba ab r 请读者给出证 【例题求解】【例题求解】 【例 1】 如图，在 RtABC 中，C=90，BC=5，O 与 RtABC 的三边 AB、BC、 AC 分相切于点 D、E、F，若O 的半径 r2，则 RtABC 的周长为 思路点拨思路点拨 AF=AD，BE=BD，连 OE、OF，则 OECF 为正方形，只需求出 AF(或 AD)即可 【例 2】 如图，以定线段 AB 为直径作半圆 O，P 为半圆上任意一点(异于 A、B)，过点 P 作半圆 O 的切线分别交过 A、B 两点的切线于 D、C，AC、BD 相交于 N 点，连结 ON， NP，下列结论：四边形 ANPD 是

3、梯形；ON=NP：DPP C 为定值；FA 为NPD 的平分线，其中一定成立的是( ) A B C D 思路点拨思路点拨 本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识， 注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出 NPADBC 是解本例的关 键 2 【例 3】 如图，已知ACP=CDE=90，点 B 在 CE 上，CA=CB=CD，过 A、C、D 三 点的圆交 AB 于 F，求证：F 为CDE 的内心 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨思路点拨 连 CF、DF，即需证 F 为CDE 角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将 问题转化为角相等问题的证明 【例

4、4】 如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，AB=BC=1，以 AB 为直径作 半圆 O 切 CD 于 E，连结 OE，并延长交 AD 的延长线于 F (1)问BOZ 能否为 120，并简要说明理由； (2)证明AOFEDF，且 2 1 OA DE OF DF ； (3)求 DF 的长 思路点拨思路点拨 分解出基本图形，作出基本辅助线(1)若BOZ=120，看能否推出矛盾；(2) 把计算与推理融合；(3)把相应线段用 DF 的代数式表示，利用勾股定理建立关于 DF 的一元 二次方程 注： 如图，在直角梯形 ABCD 中，若 AD+BC=CD，则可得到应用广泛的两个性质： (1)以

5、边 AB 为直径的圆与边 CD 相切； (2)以边 CD 为直径的圆与边 AB 相切 类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫 三角形的垂心外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置 上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用 【例 5】 如图，已知 RtABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，O、O1、O2分别是ABC； ACD、BCD 的角平分线的交点，求证：(1) O1OC O2；(2)OC= O1O2 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨思路点拨 在直角三角形中， 斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似， 得对 应角相等，所以

6、通过证交角为 90的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明两线段相 等 3 学力训练学力训练 1如图，已知圆外切等腰梯形 ABCD 的中位线 EF=15cm，那么等腰梯形 ABCD 的周长等 于= cm 2如图，在直角，坐标系中 A、B 的坐标分别为(3，0)、(0，4)，则 RtABO 内心的坐标 是 3如图，梯形 ABCD 中，ADBC， DCBC，AB=8，BC=5，若以 AB 为直径的O 与 DC 相切于 E，则 DC= 4如图，O 为ABC 的内切圆，C=90，AO 的延长线交 BC 于点 D，AC=4，CD=1， 则O 的半径等于( ) A 5 4 B 4 5 C 4 3 D 6 5

7、 5如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BCD=90，以 CD 为直径的半圆 O 切 AB 于点 E，这个梯形的面积为 21cm2，周长为 20cm，那么半圆 O 的半径为( ) A3cm B7cm C 3cm 或 7cm D 2cm 6如图，ABC 中，内切圆 O 和边 B、CA、AB 分别相切于点 D、EF，则以下四个结论 中，错误的结论是( ) A点 O 是DEF 的外心 BAFE= 2 1 (B+C) CBOC=90+ 2 1 A DDFE=90一 2 1 B 7如图，BC 是O 的直径，AB、AD 是O 的切线，切点分别为 B、P，过 C 点的切线与 AD 交于点 D，连结 AO、

8、DO (1)求证：ABOOCD； (2)若 AB、CD 是关于 x 的方程0) 1() 1( 2 5 22 mxmx的两个实数根，且 SABO+ S OCD=20，求 m 的值 4 8如图，已知 AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，OC 与O 相交于点 D，连结 AD 并 延长，BC 相交于点 E (1)若 BC=3，CD=1，求O 的半径； (2)取 BE 的中点 F，连结 DF，求证：DF 是O 的切线； (3)过 D 点作 DGBC 于 G，OG 与 DG 相交于点 M，求证：DMGM 9如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm

9、， AB 为O 的直径，动点 P 沿 AD 方向从点 A 开始向点 D 以 1cm秒的速度运动，动点 Q 沿 CB 方向从点 C 开始向点 B 以 2cm秒的速度运动， 点 P、 Q 分别从 A、 C 两点同时出发， 当其中一点停止时，另一点也随之停止运动 (1)求O 的直径； (2)求四边形 PQCD 的面积 y 关于 P、Q 运动时间 t 的函数关系式，并求当四边形 PQCD 为等腰梯形时，四边形 PQCP 的面积； (3)是否存在某时刻 t，使直线 PQ 与O 相切，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说 明理由 (2002 年烟台市中考题) 10已知在ABC 中，C=90，AC=4，B

10、C=3，CD 为 AB 上的高，Ol、O2分别为 ACD、BCD 的内心，则 OlO2= 11如图，在ABC 中，C=90，A 和B 的平分线相交于 P 点，又 PEAB 于点 E， 若 BC=2，AC=3，则 AEEB= 12如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的 ( ) A内心 B外心 C圆心 D重心 13如图，AD 是ABC 的角平分线，O 过点 AB 和 BC 相切于点 P，和 AB、AC 分别交 于点 E，F，若 BD=AE，且 BE=a，CF=b，则 AF 的长为( ) Aa 2 51 Ba 2 31 Cb 2 51 Db 2 31 14如图，在矩

11、形 ABCD 中，连结 AC，如果 O 为ABC 的内心，过 O 作 OEAD 于 E， 作 OFCD 于 F，则矩形 OFDE 的面积与矩形 ABCD 的面积的比值为( ) A 2 1 B 3 2 C 4 3 D不能确定 (学习报公开赛试题) 15如图，AB 是半圆的直径，AC 为半圆的切线，AC=AB在半圆上任取一点 D，作 DE CD，交直线 AB 于点 F，BFAB，交线段 AD 的延长线于点 F (1)设 AD 是 x的弧，并要使点 E 在线段 BA 的延长线上，则 x 的取值范围是 ； (2)不论 D 点取在半圆什么位置，图中除 AB=AC 外，还有两条线段一定相等，指出这两 条相

12、等的线段，并予证明 5 16如图，ABC 的三边满足关系 BC= 2 1 (AB+AC)，O、I 分别为ABC 的外心、内心， BAC 的外角平分线交O 于 E，AI 的延长线交O 于 D，DE 交 BC 于 H 求证：(1)AI=BD；(2)OI= 2 1 AE 17如图，已知 AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，OC 平行于弦 AD，过点 D 作 DE AB 于点 E，连结 AC，与 DE 交于点 F，问 EP 与 PD 是否相等?证明你的结论 18如图，已知点 P 在半径为 6，圆心角为 90的扇形 OAB 的 AB(不含端点)上运动，PH OA 于 H，OPH 的重心为 G (1)当点 P 在 AB 上运动时，线段 GO、GP、GH 中有无长度保持不变的线段?如果有， 请指出并求出其相应的长度； (2)设 PH= x，GP=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并指出自变量 x 的取值范围； (3)如果PGH 为等腰三角形，试求出线段 PH 的长 6 参考答案参考答案 7