广东省揭阳市汕尾普宁华美实验学校2017-2018学年高二数学下学期期中试题[理科](有答案，word版).doc

1、 1 广东省揭阳市汕尾普宁华美实验学校 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 理 考试时间： 120分钟；满分： 150分； 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 一、 选择题（ 本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .请将正确答案 填涂 在答题 卷 上 ） 1 设为虚数单位，则复数 （ ） A. 0 B. 2 C. D. 2 命题 “ 若 a b，则 a c b c” 的否命题是 ( ) A. 若 a b，则 a c b c B. 若 a c b c，则 a b C. 若 a

2、 c b c，则 a b D. 若 a b，则 a c b c 3 方程 421414 ? xx CC 的解集为 ( ) A. 4 B. 14 C. 14,2 D. 4,6 4 在 ABC中 ,内角 A,B,C 的对边分别为 ,若 ,则 ABC的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5 从 5名志愿者中选派 4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的 选派方法共有（ ） A. 60 种 B. 48种 C. 30 种 D. 10 种 6 ABC? 中，角 ,ABC 成等差数列，则 2 2 2s in s in s ins in s inA C BAC? ?（ ） A.

3、 12 B. 1 C. 32D. 3 7 已知函数 ? ?21, 1 0 1 , 0 1xxfxxx? ? ? ? ? ?，则 ?11 )( dxxf的值为（ ） A. 1 2? B. 124? C. 1 4? D. 122? 8 已知圆 1C ： ? ?2 251xy? ? ?， 2C ： ? ?2 25 225xy? ? ?，动圆 C 满足与 1C 外切且 2C 与内切，若 M 为 1C 上的动点，且 1 0CM CM?，则 CM 的最小值为（ ） 2 A. 22 B. 23 C. 4 D. 25 9 某学校计划在周一至周四的艺术节上展演雷雨茶馆天籁马蹄声碎四部话剧，每天一部，受多种因素影

4、响，话剧雷雨不能在周一和周四上演，茶馆不能在周一和周三上演，天籁不能在周三和周四上演，马蹄声碎不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是（ ） A. 雷雨只能在周二上演 B. 茶馆 可能在周二或周四上演 C. 周三可能上演雷雨或马蹄声碎 D. 四部话剧都有可能在周二上演 10 用数学归纳法证明 ? ? 1112fn nn? 1 253 1 24n? ? ? ?nN? 过程中：假设? ?n k k N?时，不等式 ? ? 2524fk? 成立，则需证当 1nk?时， ? ? 251 24fk? 也成立，则? ? ? ?1f k f k? ? ?（ ） A. 134k? B. 113 4 1kk?

5、 C. 1 1 23 2 3 4 3 3k k k? ? ? D. 1113 2 3 3 3 4k k k? ? ? 11 己知曲线 ? ? 3211 332f x x x ax? ? ? ?上存在两条斜率为 3的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数 a 的取值范围为 （ ） A. 133,4?B. 1334（ ， C. 134?（ ， D. 134?（ ， ） 12 已知表面积为 100 的球内接一个圆锥，则该圆锥体积的 最大值为 A. B. C. D. 二、填空题（ 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 ） 13 已知 O 为坐标原点， ? ? ? ?3, 2 , 4 , 0 ,

6、5 , 1AB?，若 23OC AB? ，则 C 的坐标 是 _ 14 设 ,xy满足 10 2 3 2 0 20xyxyy? ? ? ? ?，则 34z x y? ? 的最大值是 _. 15 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活 3 动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 _. 16 设函数 ? ? ? ?2 2 21 ,xe x e xf x g xxe?，对任意的 ? ?12, 0,xx? ? ，不等式 ? ? ? ?121g x f xkk? ?恒成立，则正数 k 的取值范围是 _ 三、解答题（ 本大题共 6小题，共

7、70分，解答应写出文字说明或演算步骤 .） 17 （ 10分） 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为 （ 1）求曲线 的极坐标方程； （ 2）设直线与曲线 相交于 两点，求 的值 18 （ 12分） 已知 是数列 的前 项和， . （ ）求数列 的通项公式； （ ）已知 = ，求数列 的前 项和 . 19 （ 12分） 已知函数 ? ? 214 ln 52f x x x x? ? ? ?1 求 ?fx的极值； ?2 若 ?fx在区间 ? ?21mm?， 上单 调递减，求实数 m的取值范围 4 20 （ 12分）

8、 如图，在四棱锥 P ABCD? 中， PA? 底面 ABCD ， AD AB? ， DC AB ， 1PA? ， 2 , 2AB PD BC? ? ? （ 1）求证：平面 PAD ? 平面 PCD ; （ 2）若棱 PB 上存在一点 E ，使得二 面角 E AC P?的余弦值为 33， 求 AE 与平面 ABCD 所成角的正弦值 21 （ 12分） 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 12 ，且经过点 31,2M? （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）是否存在过点 ? ?2,1P 的直线 l 与 C 相交于不同的两点 ,AB，满足 2PA PB PM? ？ 若存在，求出直线

9、 l 的方程；若不存在，请说明理由 22 已知函数 ? ? ? ?1lnf x a x a Rx? ? ?. （ 1）讨论 ?fx的单调性； （ 2）若 ? ? ? ?0, , 0x e f x?恒成立，求实数 a 的取值范围 . 5 参考答案 1 C 2 A 3 D 4 A5 C 6 B7 B8 A9 C10 C11 A 12 B 8. 【 解 析 】 圆 1C ： ? ?2 251xy? ? ? ，圆 2C ： ? ?2 25 225xy? ? ?， 动圆 C 满足与 1C 外切且 2C 与内切，设圆 C 的半径为 r ， 由题意得 12 1 1 5 1 6C C C C r r? ? ?

10、 ? ? ?（ ） （ ） ， 则 C 的轨迹是以（ ? ? ? ?0 5,0? ， ， 为焦点，长轴长为 16 的椭圆， 其方程为 221,64 39xy?因为 1 0CM CM?，即 CM 为圆 1C 的切线，要 CM 的最小，只要 1CC最小，设 ?00,M x y ，则 ? ? 22 22 2 2 01 0 0 0 01 5 1 1 0 2 5 3 9 1 164xC M C C x y x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 200025 1 0 6 4 1 , 8 8 ,64 x xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2m in2 5 8 1 0 8 6 4 1

11、 2 2 .64CM ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，选 A. 12【解析】 设球的半径为 ，内接圆锥的底面半径为，高为 ，由题意知， ，解得 =5，则球心到圆锥底面的距离为 ，所以 ，所以该圆锥的体积为，设 ，则 = ( )，所以 = = ，当 时， 0，6 当 时， 0，所以当 时， = ，故选 B 13 14 102, ,33?14 5 15 18 16 1k? 【解析】 当 0x? 时 ， ? ? 22 221 1 122exf x e x e x ex x x? ? ? ? ? ?， ? ?1 0,x? ? ? 时，函数? ?1fx有最小值 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2

12、2 2 12 , , xxx x xe e x e exexe g x g xe e e? ? ? ? ?，当 1x? 时 ， ? ?0gx? ，则函数 ?gx在 ? ?0,1 上单调递增；当 1x? 时 ， ? ?0gx? ， 则函数 ?gx在 ? ?1,? 上单调递减 ， 1x?时 ， 函数 ?gx有最大值 ?1ge? ， 则有 ? ?12, 0,xx? ? ， ? ? ? ?12m i n m a x2f x e g x e? ? ?， ? ? ? ?121g x f xkk? ?恒成立且 0k? ， 2 ,11eekkk? ? ? ， 故答案为 1k? . 17（ 1） （ 2） 【解

13、析】 （ 1）将方程 消去参数 得 ， 曲线 的普通方程为 ， 将 代入上式可得 ， 曲线 的极坐标方程为： （ 2）设 两点的极坐标方程分别为 , 由 消去 得 ， 根据题意可得 是方程 的两根， ， 18 （ ） ；（ ） . 7 （ ） ， 当 时， ，解得 =1， ?2 分 当 时， ， ， ?4 分 数列 是首项为 1，公比为 3的等比数列， .?6 分 （ ）由（ ）知， = ， ?7 分 = ， = ， ?9 分 得， = = = ?11 分 .?12 分 19 （ 1） 极大值为 92? ，极小值为 8ln2 12? ；（ 2） 112?，. ? ? ? ? ? ? ? ?14

14、41 5 xxf x xxx? ? ? ?， 1 和 4别是 ? ?0fx? 的两根， 根据单调性可知极大值为 ? ? 9f1 2? ，极小值为 ? ?f 4 8ln2 12?. ?2 由上得 ? ? ? ? ? ?144 5 ( 0 )xxf x x xxx ? ? ? ? ?， 由 ? ? 0 1 4f x x? ? ? ? 故 ?fx的单调递减区间为 ? ?14， ， 212 1 14mmmm? ? ?， 8 解得： m 的取值范围： 112?， 20 （ 1）见解析（ 2） 55【解析】 （ 1）证明 ： ,AD AB CD? AB DC AD? PA? 平面 ABCD , DC? 平

15、面 ABCD DC PA? AD PA A? DC?平面 PAD DC? 平面 PCD ?平面 PAD ? 平面 PCD （ 2）解 : 以 A 为坐标原点，以 AD ， AB ， AP 所在射线分别为 ,xyz 轴建立空间直角坐标系A xyz? 如图所示，则 22 1AD PD PA? ? ?,由点 C向 AB作垂线 CH, 则 22 1BH BC AD? ? ?, 1D C A H A B B H? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 2 , 0 , 1 , 1 , 0A P B C 设 ? ?,E x y z . E 在棱 P

16、B 上， PE PB? （ 01?） ? ?0,2 ,1E ? 设平面 PAC 的法向量 ? ?1 1 1,u x y z? , 9 0 0uAPuAC?, ? ? ? ? ? ? ?1 1 1 11 1 1 11, , ? 0 , 0 , 1 0 0 , , , ? 1 , 1 , 0 0 0x y z zx y z xy? ? ?，取 1 1x? ，则 1 1y? ，则 ? ?1, ,0u? . 设平面 EAC 的法向量 ? ?2 2 2,v x y z? , 0 0v AEv AC?， ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 222 2 2 22, , ? 0 , 2 , 1 0

17、2 1 0 , , , ? 1 , 1 , 0 0 0x y z yzx y z xy? ? ? ? ? ?， 取 2 1,x? 则22 221 , ( 0 )11yz ? ? ? ?. 21, 1,1v ? 3cos3 uvuv? ?， ? ?221 , 1 , 0 ? 1 , 1 ,31322 1 1 1? ? ? ? ?， 解得 12? . 10,1,2E?， 10,1, 2AE ?易 知 平 面 ABCD 的 法 向 量 ? ?0,0,1m? ， 所 以 AE 与 平 面 ABCD 所 成 角 的 正 弦 值5sin 5m AEm AE?. 21 (1) 22143xy?;(2) 20xy?. 【解析】 （ ）设椭圆 C 的方程为 22 1 (