初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第20讲 直线与圆.pdf

1、1 第二十讲第二十讲 直线与圆直线与圆 直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数来判定，也 可以从圆心到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察 讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判 定、切线长定理、弦切角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着 以下基本图形、基本结论： 注： 点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方 法(距离与半径的比较)，我们称“由数定形” ，勾股定理的逆定理也具有这一特点 【例题求解】【例题求解】 【例 1】 如图，AB 是半圆 O 的直径，CB 切O 于 B

2、，CD 切O 于 D，交 BA 的延长线 于 E，若 EA=1，ED=2，则 BC 的长为 思路点拨思路点拨 从 C 点看，可用切线长定理，从 E 点看，可用切割线定理，而连 OD，则 OD EC，又有相似三角形，先求出O 的半径 注 ： 连结圆心与切点是一条常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证 明与计算中有广泛的应用 【例 2】 如图，AB、AC 与O 相切于 B、C，A=50，点 P 是圆上异于 B、C 的一个动 点，则BPC 的度数是( ) A65 B115 C60和 115 D130和 50 (山西省中考题) 思路点拨思路点拨 略 【例 3】 如图，以等腰ABC 的

3、一腰 AB 为直径的O 交 BC 于 D，过 D 作 DEAC 于 E，可得结论：DE 是O 的切线 问：(1)若点 O 在 AB 上向点 B 移动，以 O 为圆心，OB 为半径的圆的交 BC 于 D，DEAC 的条件不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由； (2)如果 AB=AC=5cm，sinA= 5 3 ，那么圆心 O 在 AB 的什么位置时，O 与 AC 相切? 2 (2001 年黑龙江省中考题) 思路点拨思路点拨 (1)是结论探索题，(2)是条件探索题，从切线的判定方法和性质入手，分别画图， 方能求解 【例 4】 如图，已知 RtABC 中，AC=5，BC=12，ACB=90，P

4、是 AB 边上的动点(与 点 A、B 不重合)，Q 是 BC 边上的动点(与点 B、C 不重合) (1)当 PQAC，且 Q 为 BC 的中点时，求线段 PC 的长； (2)当 PQ 与 AC 不平行时，CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段 CQ 的长 的取值范围；若不可能，请说明理由 (广州市中考题) 思路点拨思路点拨 对于(2)，易发现只有点 P 能作为直角顶点，建立一个研究的模型以 CQ 为 直径的圆与线段 AB 的交点就是符合要求的点 P，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定 CQ 的取值范围 注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有： (1)从直线

5、与圆交点个数入手； (2)利用角证明，即证明半径和直线垂直； (3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径 一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法， 对于分层次设问的问题，需整体考虑； 【例 5】如图，在正方形 ABCD 中，AB=1，是以点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段 AC 弧，点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合） ，过 E 作所在圆的切线，交 AC 边 DC 于点 F，G 为切点 （1）当DEF=45时，求证点 G 为线段 EF 的中点； （2）设 AE=x，FC=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数

6、的定义域； （3）将DEF 沿直线 EF 翻折后得D1EF，如图，当 EF= 6 5 时，讨论AD1D 与ED1F 是 否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由 3 思路点拨思路点拨 图中有多条B 的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的 基础，对于(3)，由(2)求出x的值，确定 E 点位置，这是解题的关键 注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、 切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互 助等思想方法，具有较强的选拔功能 学力训练学力训练 1 如图， AB

7、为O 的直径， P 点在 AB 延长线上， PM 切O 于 M 点， 若 OA=a， FM=a3 ，那么PMB 的周长为 2PA、PB 切O 于 A、B，APB=78，点 C 是O 上异于 A、B 的任意一点，则 ACB= 3 如图， EB、 EC 是O 的两条切线， B、 C 是切点， A、 D 是O 上两点， 如果F=46， DCF=32，则A 的度数是 4如图，以ABC 的边 AB 为直径作O 交 BC 于 D，过点 D 作O 的切线交 AC 于 E， 要使 DEAC，则ABC 的边必须满足的条件是 5 1 l、 2 l表示直线，给出下列四个论断： 1 l 2 l； 1 l切O 于点 A

8、； 2 l切O 于点 B；AB 是O 的直径若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出 一些命题，在这些命题中，正确命题的个数为( ) 1 B2 C3 D4 6如图，圆心 O 在边长为2的正方形 ABCD 的对角线 BD 上，O 过 B 点且与 AD、DC 边均相切，则O 的半径是( ) A) 12(2 B) 12(2 C122 D122 7直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AD+BCDC，若腰 DC 上有一点 P， 使 AP BP，则这样的点( ) 4 A不存在 B只有一个 C只有两个 D有无数个 8如图，圆内接ABC 的外角ACH 的平分线与圆交于 D 点，DPAC

9、 于 P，DHBH 于 H，下列结论：CH=CP；A D=DB；APBH；DH 为圆的切线，其中一定成立 的是( ) A B C D 9如图，O 是ABC 的外接圆，已知ACB=45，ABC=120，O 的半径为 1， (1)求弦 AC、AB 的长； (2)若 P 为 CB 的延长线上一点，试确定 P 点的位置，使 PA 与O 相切，并证明你的结论 10如图，AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，弦 CDAB 于 E，且 PC2=PEPO (1)求证：PC 是O 的切线； (2)若 OE：EA=1：2，且 PA6，求O 的半径； (3)求 sinPCA 的值 11(1)如图 a，已

10、知直线 AB 过圆心 O，交O 于 A、B，直线 AF 交O 于 F(不与 B 重合)， 直线l交O 于 C、 D， 交 AB 于 E 且与 AF 垂直， 垂足为 G， 连 AC、 AD， 求证 ： BAD= CAG；ACAD=AEAF (2)在问题(1)中，当直线l向上平行移动与O 相切时，其他条件不变 请你在图 b 中画出变化后的图形，并对照图 a 标记字母； 问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立，请给出证明；如不成立，请说明理由 12如图，在 RtABC 中，A=90，O 分别与 AB、AC 相切于点 E、F，圆心 O 在 BC 上，若 AB=a，AC=b，则O 的半径等于 13如图

11、，AB 是半圆 O 的直径，点 M 是半径 OA 的中点，点 P 在线段 AM 上运动(不与点 M 重合)，点 Q 在半圆 O 上运动，且总保持 PQ=PO，过点 Q 作O 的切线交 BA 的延长线 于点 C (1)当QPA=60时，请你对QCP 的形状做出猜想，并给予证明 (2)当 QPAB 时，QCP 的形状是 三角形 (3)由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点 P 在线段 AM 上运动到任何位置时，QCP 一定是 三角形 5 14如图，已知 AB 为O 的直径，CB 切O 于 B ，CD 切O 于 D，交 BA 的延长线于 E，若 AB=3，ED=2，则 BC 的长为( ) A2

12、 B3 C35 D4 15如图，PA、PB 是O 的两条切线，A、B 切点，直线 OP 交O 于 C、D，交 AB 于 E， AF 为O 的直径，下列结论：(1)APB=AOP；(2)BC=DF；(3)PCPD=PEPO，其中 正确结论的个数有( ) A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 16如图，已知ABC，过点 A 作外接圆的切线交 BC 的延长线于点 P， 2 2 PA PC ，点 D 在 AC 上，且 2 1 CD AD ，延长 PD 交 AB 于点 E，则 BE AE 的值为( ) A 4 1 B 4 2 C 2 1 D 2 2 17 如图， 已知 AB 为半圆 O 的直径， AP

13、 为过点 A 的半圆的切线 在 AB 上任取一点 C(点 C 与 A、 B 不重合)， 过点 C 作半圆的切线 CD 交 AP 于点 D； 过点 C 作 CEAB， 垂足为 E 连 结 BD，交 CE 于点 F (1)当点 C 为 AB 的中点时(如图 1)，求证：CFEF； (2)当点 C 不是 AB 的中点时(如图 2)， 试判断 CF 与 EF 的相等关系是否保持不变， 并证明你 的结论 18如图，ABC 中，C=90，AC=6，BC=3，点 D 在 AC 边上，以 D 为圆心的D 与 AB 切于点 E (1)求证：ADEABC； 6 (2)设D 与 BC 交于点 F，当 CF=2 时，

14、求 CD 的长； (3)设 CD=a， 试给出一个a值， 使D 与 BC 没有公共点， 并说明你给出a的值符合的要求 19如图，PA、PB 与O 切于 A、B 两点，PC 是任意一条割线，且交O 于点 E、C，交 AB 于点 D求证： BD AD BC AC 2 2 20如图，O与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C、D 两点，圆心 O的坐标是(1， 一 1)，半径是5， (1)求 A、B、C、D 四点的坐标； (2)求经过点 D 的切线的解析式； (3)问过点 A 的切线与过点 D 的切线是否垂直?若垂直，请写出 证明过程；若不垂直，试说明理由 21当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想? 如图，设墙壁上的展品最高 处点 P 距离地面 a 米，最低处点 Q 距离地面 b 米，观赏者的眼睛点 E 距离地面 m 米，当过 P、Q、E 三点的圆与过点 E 的水平线相切于点 E 时，视角PEQ 最大，站在此处观赏最理 想 (1)设点 E 到墙壁的距离为 x 米，求 a、b、m，x 的关系式； (2)当 a=2.5，b=2，m=1.6 时，求： (a)点 E 和墙壁距离 x 米；(b)最大视角PER 的度数(精确到 1 度) 7 参考答案参考答案 8