安徽省淮北市2016-2017学年高二数学下学期期中试题[理科](有答案，word版).doc

1、 1 安徽省淮北市 2016-2017学年高二数学下学期期中试题 理 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷相应的位置。 2、全部答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3、本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 第 卷 一、 选择题： (本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题只有一项是符合题目要求的 .) 1.设集合 M=x x x Z x | x x ，则 M N =( ) A. 0， 1 B. 0, 2 C. 1, 2 D. 1， 2 2.已知复数 z 满足 z i i ，则复数 z 在复平面内的对应点所在象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第

2、三象限 D第四象限 3已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点， A， B 是该抛物线上的两点， |AF|+|BF|=3，则线段 AB 的中 点到 y 轴的距离为（ ） A 3 B 1 C 5 D 7 4 4 4 2 x), x , f f (log2 12) ( ) 4设函数 f (x) , x 2x A 3 B 6 C 9 D 12 5一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则 截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( ) A 1 B 1 C 1 D 1 5 7 6 8 6若 mR ，则 “log6m= 1” 是 “ 直线 l1： x+2my 1=0 与 l2：（ 3m 1）

3、x my 1=0 平行 ” 的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 cos 2 x 7. 04 dx = （ ） cos x sin x 1 2 A 2( 2 B C 2 2 2 x y 3 x 2 y 8. 若变量 x、 y 满足约束条件 x y ，则 z= 的最小值为（ ） x y 1 A 0B 2 C 1 D 3 9在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够 自由交谈，事先了解到的情况如下： 甲是中国人，还会说英语 乙是法国人，还会说日语 丙是英国人，还会说法语 丁是日本人，还会说汉语 戊是法国人，还会说德语

4、 则这五位代表的座位顺序应为 （ ） A甲丙丁戊乙 B甲丁丙乙戊 C甲乙丙丁戊 D甲丙戊乙丁 10如图，在 ABC 中 , AN 1 NC , P 是 BN 上的一点 , 3 若 AP m AB 2 AC ,则实数 m 的值为 ( ) 9 B 1 C 1 A 1 D 3 9 3 11 .函数 f(x) sin(2x ) |0” 的否定是 14已知数列 an 的前 n 项和 Sn n ，则数列 an 的通项公式为 _. 3 15已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ?ABM 为等腰三角 形，且顶角为 120 ， 则 E 的离心率为 2 4 1 2 x2 1 16.已知

5、函数 f x （ x ）满足 f ，且 f x 的导数 f x 2 ，则不等式 f x 2 2 的解集为 三、 解答题（本大题共 6 小题， 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17（本小题满分 10 分）已知 ABC 是等边三角形， D 在 BC 的延长线上，且 CD=2， S ABD 3 （ ）求 AB 的长； （ ）求 sinCAD 的值 18.（本小题满分 12 分）已知数列 an 满足 a1 =1， an an （ ）证明 an 12 是等比数列，并求 an 的通项公式； 1 1 1 3 (1 1 ) 的大小，并证明你的结论。 （ ）猜测 与 2 a a 2 a

6、n 3n 1 19. （本小题满分 12 分）设函数 f (x a 2 ln x x2 ax, (a .（ 注： e 为自然对数的底数 ） （ I）求 f (x) 的单调区间 （ II）求所有实数 a ，使 e f (x e2 对 x e 恒成立。 20（本小题满分 12 分）如图 1，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， E 是边 AB 的中点将 ADE 沿 DE 折起使得平面 ADE 平面 BCDE，如图 2， F 是折叠后 AC 的中点 （ ）求证： BF 平面 ADE；（ ）求二面角 E AB D 的平面角的余 弦值 5 3 6 21. （本小题满分 12 分）已知直线 l:y=x+

7、1,圆 O: x2 y2 32 ,直线 l 被圆截得的弦长与椭圆 C: x2 y2 a b 的短轴长相等 ,椭圆的离心率 e = 2 . a2 b2 2 () 求椭圆 C 的方程； () 过点 13) 的动直线 l0 交椭圆 C 于 A. B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T， 使得无论 l0 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过定点 T?若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请 说明理由。 22.已知函数 f x x g x 12 x2 x . （ ）求过点 且与曲线 y f x 相切的直线方程； （ ）设 h x af x g x ，其中 a 为非零实数， y h x 有两个极值

8、点 x1 , x2 ，且 x1 x2 ， 求 a 的取值范围 ; （ III）在（ ）的条件下，求证： 2h x2 x1 4 7 高二年级 2016-2017学年度第二学期期中考试试卷 理科数学参考答案 一、 选择题： (本大题共 12小题，每小题 5 分 .) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D D C C A A C B D B A D 二、 填空 题： (本大题共 4小题，每小题 5 分 .) 13. 20 , 3 0x R x x? ? ? ? ? 1415122n n na n? ? ? ?15. 2e?16. 11? ? ?（ ， ） （ ， ） 三、解答题

9、17 （本小题满分 10 分） 【解 答 】： （ ）设 AB=x因为 ABC是等边三角形，所以 3ABC ?因为1 s in2ABDS A B B D A B C? ? ? ?，所以 136 3 ( 2 )22xx? ? ? ?即 x2+2x24=0所以 x=4， x= 6（舍）所以 AB=4 （ ）因为 AD2=AB2+BD2 2AB?BDcos ABC，所以 2 11 6 3 6 2 4 6 2 82AD ? ? ? ? ? ? ? 所以 27AD? 在 ACD中，因为 sin sinC D A DC A D A C D?，所以 32s in 2 12s in1427C D A C DC

10、 A DAD? ? ? ? 18 （本小题满分 12 分） 【解 答 】： （ 1） 11n1111 , 3 1. n N * .1 1 1a 3 1 3 ( ) .2 2 21 3 1a = 0 02 2 21 1 3 , 32 2 2nnnnnna a aaaaaa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又 及 传 递 性 知是 首 项 为 公 比 为 的 等 比 数 列 。(2)结论：12 31 1 1 1(1 )23 nna a a? ? ? ? +8 1-11 2 - 11 2 31 2 31 3 3 -1 1 2(1 ) , .2 2 2 3 -11( ) 1

11、 ,1 2 12.3 -1 311-1 1 1 1 1 1 1 3 131 1 -13 3 3 2 31-31 1 1 1 3 11 - * .23nnnn nnnnnnnnnnnaaaanaa a a anNa a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?法 1 ： 由 知 ， ，n=1 时() 当 时（ ）所 以 ， （ ） ， （ 证 毕 ）1 2 3121 2 311 2 3 11 1 1 1 3 11 - *231 3 3 -1 1 2(1 ) , .2 2 2 3 -11 1 1 1( ) 1 2431 1 1 1 3 11-

12、231 1 1 1 1 3 11-231nnnnnn nnkkkkknNa a a aaaanaaa a a aa a a a aa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?法 2 ： 猜 测 ： （ ） ，下 用 数 学 归 纳 法 证 明由 知 ， ，n=1 时 满 足 ， 时() 假 设 n=k (k 2) 时 （ ）则 n=k+1 时 只 需 证 （ ）又11 2 3 11111 2 31 1 1 1 3 1 21 - + ,2 3 3 13 1 2 3 11 - + 1 -2 3 3 1 2 3211,3 1 31 1 1 1 3

13、11 - * .23kkkkk k kkkknna a a anNa a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ ）只 需 证 （ ） （ ）即 证 ， 即 证 3 显 然 成 立 。n=k+1 时 命 题 成 立（ ） ， （ 证 毕 ）19.（本小题满分 12分） 【解 答 】： （）因为 22( ) lnf x a x x ax? ? ?，其中 0x? ， 所以 2 ( ) ( 2 )( ) -2a x a x af x x axx? ? ? ?。 由于 0a? ，所以 ()fx的增区间为（ 0， a） ,减区间为（ a,+） （）证明：由题意得， (1) 1 1f a

14、e? ? ? ?，即 ae? 由（）知 ()fx在 1,e恒成立， 要使 21 ( )e f x e? ? ? 对 1, xe? 恒成立， 9 只要2 2 2(1) 1 1()f a ef e a e ae e? ? ? ? ? ? ? ?解得 ae? 。 20.（本小题满分 12分） 【解 答 】： （ ） 证明：取 AD 中点 G，连结 EG， FG， F为 AC中点， ， ， 四边形 EBFG是平行四边形 BF EG，又 BF?平面 ADE， EG?平面 ADE， EG 平面 ADE （ ） 如图示以 E为坐标原点， 建立空间直角坐标系 则由已知得 A ， B（ 1， 0， 0）， D（

15、 1， 2， 0） 设平面 EAB的法向量为 则 解得一个法向量为 设平面 ABD的法向量为 则 解得一个法向量为 ， 二面角 E AB D的平面角的余弦值 ? （ 15 分） 21 （本小题满分 12 分） 【解 答 】： ( )则由题设可知 b=1, 10 又 e= 22 , 22 112aa? ?, a2=2 所以椭圆 C 的方程是 2 2 12x y?. ( )若直线 0l 与 y轴重合 ,则以 AB为直径的圆是 x2+y2=1 若直线 0l 垂 直于 y轴 ,则以 AB 为直径的圆是 221 16()39xy? ? ? ,由 解得 01xy? ?. 由此可知所求点 T如果存在 ,只能

16、是 (0,1) 事实上点 T(0,1)就是所求的点。 下面证明 当直线 0l 的斜率存在 且不为 0时 T(0,1)也符合要求。 设 0l 的 方程为 13y kx?,代入椭圆方程 ,并整理 ,得 (18k2+9)x2?12kx?16=0 设点 A. B的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则12 21218 9kxx k? ?,12 21618 9xx k? ? 1, 1( 1)TA x y?, 2, 2( 1)TB x y? 2 2 221 2 1 2 1 2 1 2 24 1 6 1 6 1 6 1 6 3 2 1 6( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 03 9 1

17、8 9k k kT A T B x x y y k x x x x k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? TA TB? 即以 AB为直径的圆恒过定点 T(0,1) 综上可知 ,在坐标平面上存在一个定点 T(0,1)满足条件 22.（本小题满分 12分） 【解 答 】： （ ） ? ? 11fx x? ? ?设切点 为 ? ?00,xy ，则切线的斜率为011k x? ? 点 ? ?00,xy 在 ? ? ? ?ln 1f x x?上， ? ?00ln 1yx? ? ? ? ?000ln 1 111xxx?， 解得 0 1xe? ?切线 的斜率为 1e ， ?切线方程为 10x ey? ? ? （） ? ? ? ? ? ? ? ? 21ln 1 2h x a f x g x a x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 11 , 111xaah x x xxx ? ? ? ? ? ? ? 当 10a? 时 ，即 1a? 时， ? ? ? ?0,h x h x? ? 在 ? ?1,? ? 上单调递增； 当 01a?时 ，由 ? ? 0hx? ? 得， 121 , 1x a x a? ? ? ? ?， 故 ?hx在 ? ?1, 1 a? ? ? 上 单调递增 ，在 ? ?1 , 1aa? ? ? 上单调递减，在 ? ?1,a? ? 上单调递增；