2021届高三暑假数学综合练习（一）答案.doc

1、 数学试题 第 1 页（共 5 页） 南京市十三中高三暑假数学综合练习南京市十三中高三暑假数学综合练习 1含答案含答案 班级_学号_姓名_ （20200731） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.已知集合 22 |1Ax xy， 2 |By yx，则AB A.0 1， B.0)， C. 11 ， D.0 1， 2.已知复数(2i)(3i)a在复平面内对应的点在直线yx上，则实数a A.2 B.1 C.1 D.2 3.若log0(0 ab a且1)a ， 2 21 bb ，则 A.11ab, B.011ab,

2、 C.1 01ab, D.01 01ab, 4.我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四 个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻 的仪器，晷长即为所测量影子的长度）.二十四节气及晷长变 化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而 复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一 尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是 A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺 B.春分和秋分两个节气的晷长相同 C.立冬的晷长为一丈五寸 D.立春的晷长比立秋的晷长短 5.有三个筐，一个装着柑子，一个装着苹果，一个装着柑子和苹果，包装封好. 然后做“柑子”“苹果

3、” “混装”三个标签，分别贴到上述三个筐上，由于马虎，结果全贴错了，则 A.从贴有“柑子”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 B.从贴有“苹果”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 C.从贴有“混装”标签的筐里拿出一个水果，就能纠正所有的标签 D.从其中一个筐里拿出一个水果，不可能纠正所有的标签 6.已知向量( 2 2 2)OP ,，将OP绕原点O逆时针旋转45到 OP 的位置，则OP A.(1 3), B.( 3 1) , C.(3 1), D.( 1 3) , 7.已知函数( )f x对任意 x y,R，都有2 ()( ) ( )f xyf x f y，且(1)1f，则 0

4、1 ( ) n i f i 数学试题 第 2 页（共 5 页） A.21 n B. 1 2 2 n C. 1 1 2n D. 1 2 2n 8.已知正四棱柱 1111 ABCDABC D，设直线 1 AB与平面 11 ACC A所成的角为，直线 1 CD与直线 11 AC所成的角为，则 A.2 B.2 C. D. 2 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分. 9.随着我国经济结构调整和方式转变，社会对高质量人才的需求越来越大，因此考研现象在我国不 断升温. 某大学一学院

5、甲、乙两个本科专业，研究生的报考和录取情况如下表，则 A.甲专业比乙专业的录取率高 B.乙专业比甲专业的录取率高 C.男生比女生的录取率高 D.女生比男生的录取率高 10.已知函数( )sin()(0)f xx ,0，将( )yf x的图像上所有点向左平移 6 个单 位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 1 2 ，得到函数( )yg x的图像. 若( )g x为偶函数， 且最小正周期为 2 ，则 A.( )yf x图像关于点(0) 12 ,对称 B.( )f x在 5 (0) 12 ,单调递增 C.( )( ) 2 x f xg在 5 (0) 4 ,有且仅有3个解 D.( )g x在 5 (

6、) 124 ,有且仅有3个极大值点 11.已知抛物线 2 2(0)ypx p上三点 1122 ()(1 2)()A x yBC x y,， ,F为抛物线的焦点，则 A.抛物线的准线方程为1x B.若FAFBFC0，则|FA，|FB，|FC成等差数列 C.若A，F，C三点共线，则 12 1y y D.若|6AC ，则AC的中点到y轴距离的最小值为 2 12.已知函数( )f x的定义域为(0),，导函数为( )fx，若( )( )lnxfxf xxx，且 11 ( )f ee ，则 性别 甲专业报考人数 乙专业报考人数 性别 甲专业录取率 乙专业录取率 男 100 400 男 25% 45% 女

7、 300 100 女 30% 50% 数学试题 第 3 页（共 5 页） A. 1 ( )0f e B.( )f x在 1 x e 处取得极大值 C.0(1)1f D. ( )f x在(0),单调递增 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 5 (2 )()xy xy的展开式中 24 x y的系数为_. 14.已知l是平面，外的直线，给出下列三个论断，l；l. 以其中两个 论断为条件，余下的论断为结论，写出一个正确命题：_.（用序号表示） 15.已知双曲线 22 22 1(00) xy ab ab ,，过左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于P，Q两点， 以P，Q为

8、圆心的两圆与双曲线的同一条渐近线相切，若两圆的半径之和为5a，则双曲线的 离心率为_. 16.我国的西气东输工程把西部的资源优势变为经济优势，实现了气能源需求与供给的东西部衔接， 工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处 峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为27米峡谷拐入宽 为8米的峡谷. 如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点E，F的连线恰好 经过拐角内侧顶点O（点E，O，F在同一水平面内），设EF与较 宽侧峡谷悬崖壁所成角为，则EF的长为_(用表 示). 要使输气管顺利通过拐角，其长度不能超过_ 米. 四、解答题：本大题共

9、 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分） 在ABC中，角A B C, ,的对边分别为a b c, ,，3(cos)sinabCcB. （）求角B； （）若7b ，sin3sinAC，求BC边上的高. 18.（本小题满分 12 分） 从条件21 nn Sna， 1 (2) nnn SSa n ， 2 02 nnnn aaaS,中任选一个， 补充到下面问题中，并给出解答 已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ， _.若 12kk a a S , ,成等比数列， 求k的值. （注： 如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） O

10、 F 8米 27米 E 数学试题 第 4 页（共 5 页） 1 A A B C M N P 1 B 1 C 19.（本小题满分 12 分） 携号转网，也称作号码携带、移机不改号，即无需改变自己的手机号码，就能转换运营商，并 享受其提供的各种服务.2019 年 11 月 27 日，工信部宣布携号转网在全国范围正式启动. 某运营商为 提质量保客户，从运营系统中选出300名客户，对业务水平和服务水平的评价进行统计，其中业务 水平的满意率为13 15 ，服务水平的满意率为 2 3 ，对业务水平和服务水平都满意的客户有180人. （）完成下面2 2列联表，并分析是否有97.5%的把握认为业务水平与服务水

11、平有关； （）为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取2名征求改进意见， 用X表示对业务水平不满意的人数，求X的分布列与期望； （）若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的 客户流失率为5%，只对其中一项不满意的客户流失率为34%，对两项都不满意的客户流失率为 85%，从该运营系统中任选4名客户，则在业务服务协议终止时至少有2名客户流失的概率为多 少？ 20.（本小题满分 12 分） 已知直三棱柱 111 ABCABC， 1 1ABACAA， M N P, ,分别为 1111 AC AB BB,的中点，且APMN. （）求证：MN平面 1

12、1 B BCC； （）求BAC； （）求二面角 1 APNM的余弦值. 21.（本小题满分 12 分） 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 对业务水平不满意人数 合计 附： 2 ()P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 () . ()()()() nadbc Knabcd ab cd ac bd , 数学试题 第 5 页（共 5 页） 已知函数( )(34) x f xxe. （）求证：当0 x时，( )yf x的图像位于直线40 xy上

13、方； （） 设函数 2 ( )( )(35) x h xf xexxa， 若曲线( )yh x在点M处的切线与x轴平行， 且在点( )N t h t,处的切线与直线OM平行（O为坐标原点）. 求证： 1 3 2 ()1ta e . 22.（本小题满分 12 分） 已知( 23)P,是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上一点，以点P及椭圆的左、右焦点 1 F， 2 F 为顶点的三角形面积为2 3. （）求椭圆C的标准方程； （）过 2 F作斜率存在且互相垂直的直线 12 l l ,，M是 1 l与C两交点的中点，N是 2 l与C两交 点的中点，求 2 MNF面积的最大值. 一、单

14、项选择题：（每小题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D C D B D 二、多项选择题：（每小题 5 分，共 20 分） 题号 9 10 11 12 答案 BC AC ABD ACD 三、填空题：（每小题 5 分，共 20 分） 13.15； 14.或（填写一个即可）； 15. 3 2 ； 16. 278 sincos ， 13 13. 三、解答题： 17.（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 解：（）由3(cos)sinabCcB及正弦定理可得 3sin3sincossinsinABCBC， 将sinsin()ABC带入上式，整理得 3co

15、ssinsinsin0BCBC， 解得tan3B ，所以 3 B . ()由sin3sinAC，得3ac， 由余弦定理 222 2cosbacacB得 222 793ccc解得1c. 数学试题 第 6 页（共 5 页） 所以BC边上的高为 3 sin 2 cB . 18.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 若选择若选择 因为2(1) nn Sna=+， * nN，所以 11 2(2) nn Sna + =+， * nN. 两式相减得 11 2(2)(1) nnn anana ，整理得 1 (1) nn nana + =+. 即 1 1 nn aa nn + = + ， * nN 所以 n

16、 a n 为常数列. 1 1 1 n aa n ， 以 n an. （或由 1 1 n n an an ，利用相乘相消法，求得 n an） 22 233 22 kkk kkk ak Sa , 又 12kk a a S , ,成等比数列，所以 2 232kkk， 2 560kk，解得6k 或1k （舍） 所以 6k 若选择若选择 由 1 (2) nnn SSa n 变形得， 11nnnn SSSS ， 111 ()() nnnnnn SSSSSS ， 易知0 n S ，所以 1 1 nn SS n S为等差数列， 而 11 1Sa，所以 n Sn， 2 n Sn， - 1 21 nnn aSSn

17、 ，且1n 时也满足 因为 12kk a a S , ,成等比数列， 22 221kk， - 1 3 3 kk 或,又kN, 3k 若选择若选择 因为 2 2() nnn aaSnN ，所以 2 111 2(2) nnn aaSn . 两式相减得 22 111 222(2) nnnnnnn aaaaSSa n ， 整理得 111 ()()(2) nnnnnn aaaaaan . 因为0 n a ， 1 1 (2) nn aan ，所以 n a是等差数列，所以1 (1) 1 n ann 2 2123 . 211 22 k kkkk Sk 又 12kk a a S , ,成等比数列， 2 232k

18、kk， 6k 1k 或,又kN,6k 19.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 解：（）由题意知对业务满意的有 260 人，对服务满意的有 100 人，得2 2列联表 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 180 80 260 对业务水平不满意人数 20 20 40 数学试题 第 7 页（共 5 页） -2 分 经计算得 2 2 300 (180 2080 20)75 5.775.024 200 100 260 4013 K ， -3 分 所以有97.5%的把握认为业务水平满意与服务水平满意有关. -4 分 （）X的可能值为0 1 2., -5 分 则 02

19、 2080 2 100 316 (0) 495 C C P X C ， 11 2080 2 100 160 (1) 495 C C P X C ， 2 20 2 100 19 (2) 495 C P X C ， X 0 1 2 P 316 495 160 495 19 495 -7 分 316160192 ()012 4954954955 E X . -8 分 （）在业务服务协议终止时， 对业务水平和服务水平都满意的客户流失的概率为 1809 5% 300300 ，只有一项满意的客户流失的概率为 10034 34% 300300 ，对二者都不满意的客 户流失的概率为 2017 85% 3003

20、00 . 所以从运营系统中任选一名客户流失的概率为 9 17341 3005 ， -10 分 故在业务服务协议终止时，从运营系统中任选 4 名客户，至少有 2 名客户流失的概率为 0413 44 441113 1( )( ) 555625 PCC . -12 分 20.（本小题满分本小题满分 12 分分） （）证明：取 11 BC的中点Q，连接MQ NP PQ,， 则有 11 MQAB，且 11 1 2 MQAB， -2 分 因为 11 PNAB且 11 1 2 PNAB， 所以PNMQ，且PNMQ，即PNMQ为平行四边形 -3 分 所以MNPQ 又MN 平面 11 B BCC，PQ 平面 1

21、1 B BCC， 所以MN平面 11 B BCC -4 分 （）解：设AB a，AC b， 1 AA c，BAC， 由已知可得，| | | 1abc且0=a cb c= -5 分 1 2 AP ac， 111 222 MNQP=cba -6 分 合计 200 100 300 数学试题 第 8 页（共 5 页） 因为APMN，所以 111111 ()()cos0 222224 AP MNaccba-7 分 所以 1 cos 2 ，60BAC -8 分 （）解：在平面ABC内过点A做射线l垂直于AB，分别以 1 AB l AA,为x y z, ,轴建立空间直角 坐标系 则 11311 (1 0)(

22、1)(0) 24422 PMN, , , ,， 且 1 (00), 1,n为平面 1 APN的一个法向量 -9 分 则 1311 ()(0 0) 4422 MNPN , , -10 分 设 2 ()x y z, ,n为平面PMN的一个法向量，则有 131 0 442 1 0 2 xyz x ，令1y ，则 2 3 (0 1) 2 ,n -11 分 12 12 7 cos 77 4 ,n n，所以二面角 1 APNM的余弦值为 2 7 7 . -12 分 21.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） （）由题意知，即证当0 x时，(34)40 x exx恒成立 -1 分 令( )(34)4(

23、)(31) 1 ( )(32)0 xxx g xexxg xexg xex, 所以( )g x在(0),上单调递增， -3 分 ( )(0)0( )g xgg x,在(0),上单调递增， -4 分 ( )(0)0g xg ,当0 x时， ( )f x的图象始终在直线40 xy上方 -5 分 （） 22 ( )(1)( )(1) xx h xexah xex,. -6 分 设 00 ()M xy,，则 2 000 ()(1)01 x h xexx ,. -7 分 22 ( 1) OM Maka ee , 2 2 ( )(1) t h te ta e . -8 分 要证 1 3 2 ()1ta e

24、 ， 即证 3 2 (1)ta e ，即证 32 (1)(1) t te t， 即证1 t te -9 分 下面证明1 x ex.令( )1( )1 xx F xexF xe , 所以当0( )00( )0 xF xxF x,， y x z 1 A A B C M N P 1 B 1 C Q 数学试题 第 9 页（共 5 页） 所以( )F x在(0),单调递减，在(0),单调递增， 所以( )(0)0F xF，即1 x ex. -11 分 所以 23 2 (1)(1) t ae tt e ， 1 3 2 ()1ta e . -12 分 22.（本小题满分（本小题满分 12 分）分） 解：（）

25、由点( 23)P,在椭圆上可得 22 23 1 ab ， 整理得 2222 23baa b. -1 分 1 2 1 232 3 2 PF F Sc ，解得2c -2 分 所以 2222 4abcb，带入式整理得 42 120bb -3 分 解得 22 48ba, 所以椭圆的标准方程为 22 1 84 xy -4 分 （）由（）可得 2(2 0) F,，所以设直线 1: 2lxmy, 联立直线与椭圆的方程 22 2 1 84 xmy xy ，整理得 22 (2)480mymy -6 分 所以直线 1 l与椭圆两交点的中点M的纵坐标 12 2 2 22 M yym y m ， 由 12 l l ,

26、互相垂直，可得直线 2 1 :2lxy m ，同理 2 l与椭圆两交点的中点N的纵坐标 2 2 2 2 1 21 2 N m m y m m -8 分 所以 2 2 2 22 242 1112 (1) |11| | 22252 MNFMN mm SMFNFmyy mmm ， 2 222 2 (1) | 2(1) mm mm ， -9 分 将上式分子分母同除 2 (1)mm可得， 2 2 2 2 | 1 2 1 MNF S mm mm -10 分 不妨设0m,令 2 1 2 m t t m ,，则 2 2 1 2 MNF S t t ， 令 1 ( )2f tt t ， 2 2 21 ( ) t f t t ，因为2t ，所以( )0f t， 所以( )f t在2),单调递增， -11 分 数学试题 第 10 页（共 5 页） 所以当2t 时，三角形 2 MNF面积取得最大值 max 24 1 9 4 2 S . -12 分