专题3.5 参数范围与最值不等建解不宜迟高考数学解答题压轴题突破讲义（原卷版）.doc

1、 【题型综述题型综述】 参数范围与最值问题解题策略一般有以下几种： （1）几何法： 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质构造含参数的不等式， 通过解不等式解出参数的范围和最值. (2)代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确 定参数的取值范围； 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； 利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； 利用基本不等式求出参数的取值范围； 利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围学 参数的范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问

2、题的关键是构造含参数的不等式，通过解不 等式求出参数的范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用. 【典例指引】【典例指引】 类型一类型一 参数范围问题参数范围问题 例 1 【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆 22 :1214600M xyxy及其上一点(2,4)A. （1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线6x 上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于,B C两点，且BCOA,求直线l的方程； （3）设点( ,0)T t满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,TATPTQ,求实数t

3、的取值范围。 类型二类型二 方程中参数范围问题方程中参数范围问题 例 2.【2016 高考江苏卷】 （本小题满分 10 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线:20l xy，抛物线 2 :y2(0)Cpx p （1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； （2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q. 求证：线段 PQ 的中点坐标为(2,).pp； 求 p 的取值范围. 【解析】 类型三类型三 斜率范围问题斜率范围问题 例 3【2016 高考天津理数】 （本小题满分 14 分）设椭圆1 3 2 2 2 y a x （3a）的右焦点为F，右顶

4、点为 A，已知 | 3 | 1 | 1 FA e OAOF ，其中O 为原点，e为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程； （2） 设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上） ， 垂直于l的直线与l交于点M， 与y轴交于点H， 若HFBF ，且MOAMAO ，求直线的l斜率的取值范围. 【解析】 类型四类型四 离心率的范围问题离心率的范围问题 例 4.【2016 高考浙江理数】 （本题满分 15 分）如图，设椭圆 2 2 2 1 x y a （a1）. （I）求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用 a、k 表示） ； （II）若任意以点 A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，

5、求椭圆离心率的取值 范围. 【扩展链接】【扩展链接】 1.若椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，半焦距为c，焦点 12 ,0 ,0FcFc，设 过 1 F的直线l 的倾斜角为，交椭圆于 A、B 两点，则有： 22 11 , coscos bb AFBF acac ； 2 cos ab AB ac 若椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，半焦距为c，焦点 12 ,0 ,0FcFc，设 过F 的直线l 的倾斜角为 ，交椭圆于 A、B 两点，则有： 22 , coscos bb AFBF acac ； 2 2 cos ab AB ac 同理可求得焦点在 y 轴上的过

6、焦点弦长为 2 2 sin ab AB ac （a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 2 2 2 cos 2 sin ab x ac AB ab y ac 焦点在 轴上 焦点在 轴上 2.过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 左焦点的焦点弦为AB,则)(2 21 xxeaAB；过右焦 点的弦)(2 21 xxeaAB. 3. 抛物线)0(2 2 ppxy与直线y kxb相交于 1122 ,A x yB xy 且该直线与y轴交于点 3 0,Cy ，则有 123 111 yyy . 4.设AB为过抛物线 2 2(0)ypx p焦点的弦， 1122 ( ,

7、)(,)A x yB xy、，直线AB的倾斜角为，则 . 2 2 1212 ,; 4 p x xy yp . 12 , 21 cos21 cos pppp AFxBFx . 12 2 2 ; sin p ABxxp . 112 |FAFBP ； . 2 3 4 OA OBp ； . 2 11 sin 222sin AOBF p SOA OBAOBOF h ； 【新题展示】【新题展示】 1 【2019 陕西第二次质检】已知、为椭圆（）的左右焦点，点为其上一点， 且 （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线交椭圆 于 、 两点，且原点 在以线段为直径的圆的外部，试求 的取值范围 【思路引导】 （1

8、）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得 a、b，进而得椭圆的标准方程。 （2）设出 A、B 的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入得到关于 k 的 不等式，解不等式即可得 k 的取值范围。 2 【2019 江苏南通基地学 3 月联考】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 ：的 离心率为，且左焦点 F1 到左准线的距离为 4 （1）求椭圆 的方程； （2）若与原点距离为 1 的直线 l1：与椭圆 相交于 A，B 两点，直线 l2 与 l1 平行，且与椭圆 相 切于点 M（O，M 位于直线 l1 的两侧） 记MAB，OAB 的面积分别为 S1，S2，若，求实数 的 取值范围

9、 【思路引导】 （1）根据椭圆的几何性质得到关系，求解得到标准方程； （2）设，根据可知， ，又 与原点距离为 ，即，可把 化简为：，根据 与椭圆相切，联立可得 ，由此代入化简可得的范围，再进一步求解出 的范围 3 【2019 湖北恩施 2 月质检】在直角坐标系中，椭圆 的方程为，左右焦点分别 为， 为短轴的一个端点，且的面积为设过原点的直线 与椭圆 交于两点， 为椭圆 上异于的一点，且直线，的斜率都存在， （1）求的值； （2） 设 为椭圆 上位于 轴上方的一点， 且轴， 、 为曲线 上不同于 的两点， 且， 设直线与 轴交于点，求 的取值范围 【思路引导】 （1）设点 A（x1，y1） 、

10、P（x2，y2） ，则 B（-x1，-y1） ，将点 A、P 的坐标代入椭圆 C 的方程，得出两个等 式，将两等式相减，结合直线 PA、PB 的斜率之积，得出= ，再利用RF1F2的面积为，得出 bc， 联立两个方程，可求出 a、b 的值； （2）设直线 QM 的斜率为 k，结合已知条件得出直线 QN 的斜率为-k，将直线 QM 的方程与椭圆方程联立， 求出点 M 的横坐标，利用-k 代替 k 得出点 N 的横坐标，然后利用斜率公式得出直线 MN 的斜率为 ，于是 得出直线 MN 的方程为 y x+d，将直线 MN 的方程与椭圆 C 的方程联立，由0 并结合点 Q 在直线 MN 的上方可得出

11、d 的取值范围 4 【2019 江苏扬州一模】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为 ，左、右顶点 分别为 、 ，线段的长为 4点 在椭圆上且位于第一象限，过点 ， 分别作，直线 ， 交于点 （1）若点 的横坐标为-1，求点 的坐标； （2）直线 与椭圆的另一交点为 ，且，求 的取值范围 【思路引导】 (1)先求出椭圆的方程，设直线的方程为分别表示出直线与的方程，联立方程组，求出点 的坐标，利用点 的横坐标为，求出，进而可求出点 的坐标；(2 )联立消去 ，整理得 ，求得由，可得 ，结 合即可求出 的取值范围 5 【2019 河北五个一名校联盟一诊】椭圆的离心率是，过点做斜率为 的直线 ， 椭圆

12、 与直线 交于两点，当直线 垂直于 轴时 （）求椭圆 的方程； （）当 变化时，在 轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在求出 的取值 范围，若不存在说明理由 【思路引导】 （）由椭圆的离心率为得到，于是椭圆方程为有根据题意得到椭圆过点，将 坐标代入方程后求得，进而可得椭圆的方程 （）假设存在点，使得是以为底的等腰 三角形，则点为线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点由题意得设出直线的方程，借助二次方程的知识 求得线段的中点 的坐标，进而得到线段的垂直平分线的方程，在求出点的坐标后根据基本不等式可 求出 的取值范围 6 【2019 辽宁沈阳一模】椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，

13、过焦点且 垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 求椭圆 C 的方程； 点为椭圆 C 上一动点， 连接 ， 设的角平分线 PM 交椭圆 C 的长轴于点， 求实数 m 的取值范围 【思路引导】 (1)由题意分别确定 a，b 的值求解椭圆方程即可； (2)利用角平分线到两边的距离相等，结合椭圆方程分类讨论求解实数 m的取值范围即可 7 【2019 广东惠州三调】已知椭圆过点，且左焦点与抛物线的焦点重合。 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于不同的两点、 ，线段的中点记为 ，且线段的垂直平分线 过定点，求 的取值范围。 【思路引导】 （1）由左焦点与抛物线的焦点重合，可以求得

14、 c，再利用椭圆过点求得 、 ，从而求出椭圆方程。 （2）由直线与椭圆交于不同的两点，可以由 得到 k 与 m 的不等关系，再由 AG 直线与 直线垂直，斜 率乘积为-1，得到 k 与 m 的等量关系，将等量关系代入不等关系来限定 k 的取值范围。 8 【2019 陕西彬州一模】已知椭圆经过点，离心率为 （1）求椭圆 的标准方程； （2）若椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ，经过点 的动直线 与椭圆 交于两点，记和的面积分 别为和，求的最大值 【思路引导】 （1）由题意，列出方程组，求的，即可得到椭圆的标准方程； （2）由（1） ，设直线 的方程为，联立方程组，利用根和系数的关系，得到，利 用基本

15、不等式，即可求解。 【同步训练】【同步训练】 1已知椭圆的右焦点为 ，离心率为 . （1）若，求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点 在以为直径的圆 上，且，求 的取值范围. 【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，所以椭圆的方程为. (2) 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 ， 集 合 韦 达 定 理 和 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 法 则 可 得 ， 结 合 离 心 率 的 范 围 可 知则的 取 值 范 围 是 . 【详细解 析】 2.在 中，顶点 所对三边分别是 已知 ,且 成等差数列. (1)求顶点 的轨迹方程； (2)

16、 设顶点 A 的轨迹与直线 相交于不同的两点 ，如果存在过点的直线 ,使得点 关于 对称，求实数 的取值范围 【思路点拨】(1 ) 由 成等差数列，可得 ；结合椭圆的定义可求得 的轨 迹方程为；(2)将 与椭圆方程联立，判别式大于得 .根据点关于直线 对称，得.讨论 ， 两种情况即可求 出 的取值范围. 【详细解析】 3.已知 A，B，C 是椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）上的三点，其中点 A 的坐标为(2，0)，BC 过椭圆的 中心，且 0，|2| (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点(0， t)的直线 l(斜率存在)与椭圆 C 交于 P， Q 两点， 设 D 为椭圆 C

17、 与 y 轴负半轴的交点， 且|， 求实数 t 的取值范围 【思路点拨】 （1）根据点的坐标求出 a，然后根据0,2AB BCBCAC求出 b,即可求出椭圆方程。 （2） 根据题意设出直线方程，与（1）中椭圆方程联立，设 1122 ,P x yQ xy运用违达定理运算，求出 t 的取 值范围。 【详细解析】 4.已知椭圆 1 C的方程是 2 2 1 4 x y，双曲线 2 C的左右焦点分别为 1 C的左右顶点，而 2 C的左右顶点分别是 1 C的左右焦点. （1）求双曲线 2 C的方程； （2）若直线:2l ykx与双曲线 2 C恒有两个不同的交点，且l与 2 C的两个交点 A 和 B 满足

18、6OA OB，求 2 k的取值范围. 【思路点拨】 （1）求出椭圆的焦点即为双曲线的顶点，椭圆的顶点即为双曲线的焦点，即有 a=3，c=2， b=1即可得到双曲线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，消去 y，得到 x 的方程，运用韦达定理和判别式大于 0，再由向量的数 量积的坐标运算，化简和整理得到 k 的不等式，解出求它们的交集即可 【详细解析】 5.已知椭圆 ：（）的短轴长为 2，离心率是 . （1）求椭圆 的方程； （2）点，轨迹 上的点 ， 满足，求实数 的取值范围. 【思路点拨】 （1）由已知即可以解得 a,b,c 的值； （2）先要考虑斜率不存在的情况，斜率存在时， 联立直线与

19、椭圆，韦达定理结合向量的横坐标，得出， ，化简得，结合 解得，从而解出的取值范围.学 【详细解析】 6.已知点 为圆上一动点，轴于点 ，若动点 满足 （其中 为非零常 数） （1）求动点 的轨迹方程； （2）若 是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为 8 的正方形，当时，得到动点 的轨迹为曲线 ，过点的直线 与曲线 相交于两点，当线段的中点落在正方形 内（包括边界）时，求直线 斜 率的取值范围. 【思路点拨】(1)由相关点法得到 Q 点轨迹； （2）求出线段中点坐标，点 在正方形 内（包括边界）的条 件是即，解出来即可； 【详细解析】 7.已知曲线 C 上的点到点 F（0，1）的距离比它到直

20、线 y=-3 的距离小 2 （1）求曲线 C 的方程 （2）过点 F 且斜率为 K 的直线 L 交曲线 C 于 A、B 两点，交圆 F：于 M、N 两点（A、M 两 点相邻）若 ，当 时，求 K 的取值范围 【思路点拨】 （1）由动点 P（x，y）到 F（0，1）的距离比到直线 y=3 的距离小 2，可得动点 P（x，y） 到 F（0，1）的距离等于它到直线 y=3 的距离，利用抛物线的定义，即可求动点 P 的轨迹 W 的方程； （2）由题意知，直线 l 方程为 y=kx+1，代入抛物线得 x24kx4=0，利用条件，结合韦达定理，可得 4k2+2= ，利用函数的单调性，即可求 k 的取值范围

21、； 【详细解析】 8.如图，椭圆 C：=1（ab0）的右顶点为 A（2，0） ，左、右焦点分别为 F1、F2，过点 A 且斜率 为的直线与 y 轴交于点 P，与椭圆交于另一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为点 F1 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 P 且斜率大于的直线与椭圆交于 M，N 两点（|PM|PN|） ，若 SPAM：S PBN =，求实数 的取 值范围 【思路点拨】 （1）利用已知条件列出方程组，求解椭圆的几何量，然后求解椭圆 C 的方程 （2）利用三角形的面积的比值，推出线段的比值，得到设 MN 方程：y=kx1，M（x1，y1） ， N（x2，y2） ，联立

22、方程，利用韦达定理，求出，解出 ，将椭圆方程，然后求解实数 的取值范围 【详细解析】 9.如图，椭圆 E 的左右顶点分别为 A、B，左右焦点分别为 F1、F2，|AB|=4，|F1F2|=2，直线 y=kx+m（k 0）交椭圆于 C、D 两点，与线段 F1F2及椭圆短轴分别交于 M、N 两点（M、N 不重合） ，且|CM|=|DN| （1）求椭圆 E 的离心率； （2）若 m0，设直线 AD、BC 的斜率分别为 k1、k2，求的取值范围 【思路点拨】 （1）由，求出 a，c，然后求解椭圆的离心率 （2） 设 D （x1， y1） ， C （x2，y2） 通过， 结合0 推出 m24k2+1，

23、利用韦达定理|CM|=|DN| 求 出直线的斜率，然后表示出，然后求解它的范围即可学# 【详细解析】 10.在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆右焦点 F 的直线 x+y2=0 交 C 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设过点 F 的直线 l（不与坐标轴垂直）与椭圆交于 D，E 两点，若在线段 OF 上存在点 M（t，0） ，使 得MDE=MED，求 t 的取值范围 【思路点拨】 （1）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，利用平方差法，结合，设 P（x0，y0） ，推出 a2=3b2， 结合 c=2 然后求解椭圆 C 的方

24、程 （2） 设线段 DE的中点为H， 说明MHDE， 设直线 l的方程为 y=k （x2） ， 代入椭圆C 的方程为， 设 D（x3，y3） ，E（x4，y4） ，利用韦达定理求出 H 的坐标，通过 kMHkl=1，求解即可 【详细解析】 11.已知椭圆 C：（ab0）的左右焦点分别为 F1，F2，离心率为，点 A 在椭圆 C 上，|AF1|=2， F1AF2=60 ，过 F2与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点 （）求椭圆 C 的方程； （）若 P，Q 的中点为 N，在线段 OF2上是否存在点 M（m，0） ，使得 MNPQ？若存在，求实数 m 的 取值范围；若不存在，说

25、明理由 【思路点拨】 （1）利用离心率以及椭圆的定义，结合余弦定理，求解椭圆 C 的方程 （2）存在这样的点 M 符合题意设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，N（x0，y0） ，设直线 PQ 的方程为 y=k（x 1） ，邻里中心与椭圆方程，利用韦达定理求出，通过点 N 在直线 PQ 上，求出 N 的坐标，利用 MNPQ，转化求解 m 的范围 【详细解析】 12.已知椭圆 E：mx2+y2=1（m0） （1）若椭圆 E 的右焦点坐标为，求 m 的值； （2）由椭圆 E 上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形若以 B（0，1）为直角顶点的椭圆 E 的内 接等腰直角三角形恰有三个，求 m 的取值范围 【思路点拨】 （1）化椭圆 E 的方程为标准形式，通过焦点在 x 轴上，求出 a，然后求解 m 即可 （2）设椭圆 E 内接等腰直角三角形的两直角边分别为 BA，BC，设 A（x1，y1） ，C（x2，y2） ，BA 与 BC 不与坐标轴平行， 且 kBAkBC=10， 设直线 BA 的方程为 y=kx+1 （k0） ， 则直线 BC 的方程为， 联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，通过数据线的形状，转化求解即可学% 【详细解析】