专题3.10 判断点在圆内外向量应用最厉害高考数学解答题压轴题突破讲义（原卷版）.doc

1、 专题专题 10 判断点在圆内外，向量应用最厉害判断点在圆内外，向量应用最厉害 【题型综述题型综述】 点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到 点的距离并和半径比较得解；向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知AB是 圆的直径，G是平面内一点， 则0GA GB点G在圆内；0GA GB点G在圆外；0GA GB 点G在 圆 上 方 程 法 ， 已 知 圆 的 方 程 222 )()( :rbyaxM， 点N),( 00 yx， 则 22 0 2 0 )()(rbyax点N在 圆M内 ； 22 0 2 0 )()(rbyax点N在 圆M

2、上 ； 22 0 2 0 )()(rbyax点N在圆M外. 四点共圆问题的解题策略：利用四点构成的四边形的对角互补；利用待定系数法求出过其中三 点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程. 【典例指引】【典例指引】 类型一类型一 向量法判定点与圆的位置关系向量法判定点与圆的位置关系来源来源:163文库 例 1 【2015 高考福建，理 18】已知椭圆 E： 22 22 1(a0) xy b ab +=过点(0, 2），且离心率为 2 2 ()求椭圆 E 的方程； ()设直线1xmymR=-?，()交椭圆 E 于 A，B 两点， 判断点 G 9 ( 4 -,0)与以线段 AB 为直径的圆的位置

3、关系，并说明理由 【解析】 类型二类型二 四点共圆应用问题四点共圆应用问题 例 2. （2014 全国大纲 21）已知抛物线 C： 2 2(0)ypx p的焦点为 F，直线4y 与 y 轴的交点为 P， 与 C 的交点为 Q，且 5 | 4 QFPQ. （I）求 C 的方程； （II）过 F 的直线l与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l 与 C 相较于 M，N 两点，且 A，M，B， N 四点在同一圆上，求l的方程. 【解析】 类型三类型三 动圆过定点问题动圆过定点问题来源来源:163文库 例 3 (2012 福建理 19)如图，椭圆)0( 1: 2 2 2 2 ba b

4、y a x E的左焦点为 1 F，右焦点为 2 F，离心率 2 1 e。 过 1 F的直线交椭圆于BA,两点，且 2 ABF的周长为 8。 （）求椭圆E的方程。 （）设动直线mkxyl:与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线4x相交于点Q。试探究： 在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若 不存在，说明理由。 【解析】 类型四类型四 证明四点共圆证明四点共圆 例 4.已知 O 为坐标原点，F 为椭圆 2 2 :1 2 y C x 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F 且斜率为- 2的直线l与 C 交与 A、B 两点，点 P 满足0.OAOBOP ()证明

5、：点 P 在 C 上； （）设点 P 关于点 O 的对称点为 Q，证明：A、P、B、Q 四点在同一圆上. 【解析】 【扩展链接】【扩展链接】来源来源:Z+xx+k.Com 1.O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（1） 2222 1111 |OPOQab ;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为 22 22 4a b ab ;（3） OPQ S的最小值是 22 22 a b ab . 2.若椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，半焦距为c，焦点 12 ,0 ,0FcFc，设 过 1 F的直线l 的倾斜角为，交椭圆于 A、B 两点，则有： 22 11 , cos

6、cos bb AFBF acac ； 2 cos ab AB ac 若椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，半焦距为c，焦点 12 ,0 ,0FcFc，设 过F 的直线l 的倾斜角为 ，交椭圆于 A、B 两点，则有： 22 , coscos bb AFBF acac ； 2 2 cos ab AB ac 同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 2 2 sin ab AB ac （a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 2 2 2 cos 2 sin ab x ac AB ab y ac 焦点在 轴上 焦点在 轴上 3.设AB为过抛物线 2 2(

7、0)ypx p焦点的弦， 1122 ( ,)(,)A x yB xy、，直线AB的倾斜角为，则 . 2 2 1212 ,; 4 p x xy yp . 12 , 21 cos21 cos pppp AFxBFx . 12 2 2 ; sin p ABxxp . 112 |FAFBP ； . 2 3 4 OA OBp ； . 2 11 sin 222sin AOBF p SOA OBAOBOF h ； 【新题展示】【新题展示】 1 【2019 陕西第二次质检】已知、为椭圆（）的左右焦点，点为其上一点， 且 （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线交椭圆 于 、 两点，且原点 在以线段为直径的圆的

8、外部，试求 的取值范围 【思路引导】 （1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得 a、b，进而得椭圆的标准方程。 （2）设出 A、B 的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入得到关于 k 的 不等式，解不等式即可得 k 的取值范围。 2 【2019 山西吕梁一模】设椭圆 ：的左顶点为 ，上顶点为 ，已知直线的斜率为 ， （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 ：与椭圆 交于不同的两点、 ，且点 在以为直径的圆外（其中 为坐标原点） ， 求 的取值范围 【思路引导】 (1)由已知条件列出关于的二元一次方程组，求出的值，得到椭圆方程 (2)由题意中点 在以为直径的圆外转化为为

9、锐角， 即， 设出点 、 的坐标代入求出 的 取值范围 3 【2019 陕西汉中第一次质检】已知椭圆的右焦点 F 与抛物线焦点重合，且 椭圆的离心率为，过 轴正半轴一点 且斜率为的直线 交椭圆于两点 （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在实数使以线段为直径的圆经过点 ，若存在，求出实数的值；若不存在说明理由 【思路引导】 （1）根据抛物线焦点可得 ，又根据离心率可求 ，利用，即可写出椭圆的方程 （2）由题意可设直线 的方程为，联立方程组，消元得一元二次方程，写出， 利用根与系数的关系可求存在 m 4 【2019 四川成都高新区一诊】已知抛物线，过点的直线与抛物线 相切，设第一象限的切点 为

10、（1）求点 的坐标； （2）若过点的直线 与抛物线 相交于两点，圆是以线段为直径的圆过点 ，求直线 的方程 【思路引导】 （1）根据题意由点斜式设出直线方程，联立后根据相切可知，再由切点在第一象限可求得 P 点坐标。 （2）设出直线方程，联立抛物线，根据两个交点可得；根据韦达定理用 m表示出、； 根据圆是以线段为直径的圆过点 ，可知，代入坐标可解得或，则直线方程可得。 【同步训练】【同步训练】 1 已知椭圆的离心率，过点 A（0，b）和 B（a，0）的直线与原点的距 离为 （1）求椭圆的方程； （2）已知定点 E（1，0） ，若直线 y=kx+2（k0）与椭圆交于 C、D 两点，问：是否存在

11、k 的值，使以 CD 为直径的圆过 E 点？请说明理由 【思路点拨】 （1）直线 AB 方程为 bxayab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程 （2）假设存在这样的值，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系 进行求解 【详细解析】 2.已知椭圆的右焦点为 ，离心率为 . （1）若，求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点 在以为直径的圆 上，且，求 的取值范围. 【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，所以椭圆的方程为. (2) 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 ， 集 合 韦 达 定 理 和 平 面 向 量 数

12、量 积 的 坐 标 运 算 法 则 可 得 ， 结 合 离 心 率 的 范 围 可 知则的 取 值 范 围 是 . 【详细解析】 3.已知椭圆 ： 过点，且离心率 来源: （）求椭圆 的方程； （）椭圆 长轴两端点分别为，点 为椭圆上异于的动点，直线 ：与直线分别交于两 点，又点，过三点的圆是否过 轴上不同于点 的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请 说明理由 【思路点拨】 （1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由 a，b，c的关系，即可得到椭圆方程； （2）设，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得证 【详细解析】 4.已知椭圆 1 E： 22 2 1 6 x

13、y a 的焦点 1 F、 2 F在x轴上，且椭圆 1 E经过, 2 (0)P mm，过点P的直线l 与 1 E交于点Q，与抛物线 2 E： 2 4yx交于A、B两点，当直线l过 2 F时 1 PFQ的周长为20 3 （）求m的值和 1 E的方程； （）以线段AB为直径的圆是否经过 2 E上一 定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由。 【思路点拨】 （1）由 1 PFQ的周长为20 3求得 a,再根据椭圆 1 E经过, 2P m 求得 m. （2）设直线l方程:52xn y ，与抛物线方程联立方程组，消 x 得关于 y 的一元二次方程，结合韦 达定理，化简以线段AB为直径的圆方程，按参数

14、n 整理，根据恒等式成立条件求出定点坐标 【详细解析】 5.已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点,2Q a到焦点的距离为 3，线段AB的两端 点 11 ,A x y， 22 ,B xy在抛物线C上. （1）求抛物线C的方程； （2）若y轴上存在一点0,(0)Mmm ，使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的 值； （3）在抛物线C上存在点 33 ,D xy，满足 312 xxx，若ABD是以角A为直角的等腰直角三角形， 求ABD面积的最小值. 【思路点拨】 （1）根据抛物线的定义，丨 QF 丨=丨 QQ1丨，即可求得 p 的值，即可求得抛物线方程； （2）设 AB

15、 的方程，代入椭圆方程，由0OA OB，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得 m 的值； （3）设 2 1 1, 4 x A x ， 2 2 2, 4 x B x ， 2 3 3, 4 x C x ，根据抛物线关于y轴对称，取 1 0 x ，记 1AB kk， 2AD kk，则有 21 1 4 xx k ， 31 2 4 xx k ，所以 211 4xkx， 321 4xkx， 12 1k k ，由 ABAD， 即 22 121231 11kxxkxx， 进 而 化 简 求 出 1 x， 得 ： 3 1 1 2 11 44 22 k x kk ， 2 2 22 1 1 2 11 441

16、1 |1 22 ABD k SABk kk ，即可求得ABD 面积的最小值 【详细解析】 6.已知椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）经过点 2 1, 2 P ，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等 腰直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）动直线l： 1 0 3 mxnyn（m， nR）交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存 在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T.若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 【思路点拨】 （1）由题设知 a= 2b，所以 22 22 1 2 xy bb ，椭圆经过点 P（1， 2 2 ） ，代入可得 b=1， a=2，由此可知所

17、求椭圆方程. （2）首先求出动直线过（0， 1 3 ）点当 l 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程：x2+（y+ 1 3 ）2=16 9 ； 当 l 与 y 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程：x2+y2=1由 22 116 22 39 1 xy xy （） 由此入手可求出点 T 的坐标 【详细解析】 7.如图， 曲线C由上半椭圆 1 C： 22 22 1 yx ab （0ab， 0y ） 和部分抛物线C： 2 1yx （0y ） 连接而成， 1 C与 2 C的公共点为A， B，其中 1 C的离心率为 3 2 （1）求a， b的值； （2）过点B的直线l与 1 C， 2 C分别交于

18、点P， Q（均异于点A， B） ，是否存在直线l，使得以PQ为 直径的圆恰好过A点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 （1）在 1 C， 2 C的方程中，令0y ，可得1b ，且1,0A ， 1,0B是上半椭圆 1 C的 左、右顶点，设 1 C半焦距为c，由 3 2 c a 及 222 1acb，联立解得a； （2）由（1）知，上半椭圆 1 C 的方程为 2 2 10 4 y xy， 由题意知， 直线l与x轴不重合也不垂直， 设其方程为1yk x（0k ） ， 代入 1 C的方程，整理得： 222 4240kxkxk，设点P的坐标为, PP xy，由根公式， 得点P

19、的 坐标为 2 22 48 , 44 kk kk ，同理，得点Q的坐标为 2 1,2kkk 由 1 0AP AQ，即可得出k的值， 从而求得直线方程. 【详细解析】 8.已知过点0,1A的椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 FF、， B为椭圆上的任意一点， 且 1122 3, 3BFFFBF成等差数列. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线:2l yk x交椭圆于,P Q两点，若点A始终在以PQ为直径的圆外，求实数k的取值范围. 【思路点拨】 （1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出, a c的关系，再根据椭圆C过点A，求出, a b的 值，即可写出椭圆的

20、标准方程； （2） 设 1122 ,P x yQ xy， 根据题意知 1 2,0 xy ， 联立方程组， 由方程的根与系数的关系求解 22 ,xy， 再由点A在以PQ为直径的圆外，得PAQ为锐角， 0AP AQ，由此列出不等式求出k的取值范围. 【详细解析】 9.已知动点 M 到点 N（1，0）和直线 l：x=1 的距离相等 （1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （2）已知不与 l 垂直的直线 l与曲线 E 有唯一公共点 A，且与直线 l 的交点为 P，以 AP 为直径作圆 C判 断点 N 和圆 C 的位置关系，并证明你的结论 【思路点拨】 （1）利用抛物线的定义，即可求动点 M 的轨迹 E

21、 的方程； （2）由题意可设直线 l：x=my+n，由可得 y24my4n=0，求出 A，P 的坐标，利用向量的数量 积，即可得出结论 【详细解析】 10.已知抛物线 C1：y2=2px（p0）的焦点为 F，抛物线上存在一点 G 到焦点的距离为 3，且点 G 在圆 C： x2+y2=9 上 （）求抛物线 C1的方程； （）已知椭圆 C2：=1（mn0）的一个焦点与抛物线 C1的焦点重合，且离心率为直线 l： y=kx4 交椭圆 C2于 A、B 两个不同的点，若原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部，求 k 的取值范围 【思路点拨】 （1）设点 G 的坐标为（x0，y0） ，列出关于 x0，

22、y0，p 的方程组，即可求解抛物线方程 （2）利用已知条件推出 m、n 的关系，设（x1，y1） 、B（x2，y2） ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以 及判别式大于 0，求出 K 的范围，通过原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部，推出0，然后求解 k 的范围即可 【详细解析】 11.已知双曲线 22 22 10 xy ba ab 渐近线方程为3yx ， O为坐标原点，点 3, 3M 在双曲 线上 （）求双曲线的方程； （）已知,P Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求 22 11 OPOQ 的值 【思路点拨】 （1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点 M 的

23、坐标求得参数即可； （2）由条件可得OPOQ，可设出直线,OP OQ的方程，代入双曲线方程求得点,P Q的坐标可求得 22 111 3 OPOQ 。 【详细解析】 12.已知点 P 是圆 F1： （x1）2+y2=8 上任意一点，点 F2与点 F1关于原点对称，线段 PF2的垂直平分线分别 与 PF1，PF2交于 M，N 两点 （1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （2）过点 G（0， 1 3 ）的动直线 l 与点的轨迹 C 交于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在定点 Q，使以 AB 为直 径的圆恒过这个点？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 （1）由圆的方程求出 F1、F2的坐标，结合题意可得点 M 的轨迹 C 为以 F1，F2为焦点的椭圆， 并求得 a，c 的值，再由隐含条件求得 b，则椭圆方程可求； （2）直线 l 的方程可设为 1 3 ykx ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程， 利用根与系数的关系求出 A， B 横坐标的和与积， 假设在 y 轴上是否存在定点 Q （0， m） ， 使以 AB 为直径的圆恒过这个点， 可得AQBQ ， 即0AQ BQ 利用向量的坐标运算即可求得 m 值， 即定点 Q 得坐标 【详细解析】来源:163文库