江西省南昌市2016-2017学年高二数学下学期期中试题[理科](有答案解析，word版).doc

1、 1 2016 2017 学年度下学期期中考试 高二数学（理）试卷 一、选择题（每小题 5 分，满分 60 分） 1. 复数 是虚数单位 )，则 的共轭复数为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 复数 ，则 的共轭复数 ， 故选 A. 2. 给出下列命题，其中正确的命题为 （ ） A. 若直线 和 共面，直线 和 共面，则 和 共面 B. 直线 与平面 不垂直，则 与平面 内的所有的直线都不垂直 C. 直线 与平面 不平行，则 与平面 内的所有的直线都不平行 D. 异 面直线 不垂直，则过 的任何平面与 都不垂直 【答案】 D 【解析】试题分析： A：直线共面不具有传递性，

2、故 A 错误； B：根据线面垂直的判定可知 B错误； C：若直线 ，满足直线 与平面 不平行，故 C 错误； D：假设存在过 的平面与 垂直，则可知 ， 假设不成立，故 D 正确，故选 D 考点：空间中点、线、面的位置关系及其判定 3. 已知直线 ，平面 ，则 的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ,则 与平面平行或在平面内 ， 不正确 ； ，则 与平面平行或 在平面内 ， 不正确 ； ， 则 与平面平行或在平面内 ， 不正确 ； 由线面平行的判定定理知，正确，故选 D. 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行的性质及线面垂直的性质，属于中档题

3、 .空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价 . 4. 设 ，向量 且 ，则 （ ） 2 A. B. C. 3 D. 4 【答案】 D 5. 已知 三点， ，则以 为方向向量的直线与平面系是（ ） A. 垂直 B. 不垂直 C. 平行 D. 以上都有可能 【答案】 A 【解析】 由题意， ， ， 所以以 为方向向量的直线与平面 垂直 ， 故选 A. 6. 若 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基

4、底的一组向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 共面，故不能作为基底 ， 故错误；共面，故不能作为基底 ， 故错误； 不共面，故可以作为基底 ， 故正确 ； 共面，故不能作为基底 ， 故错误 ， 故选 C. 7. 已知正四棱柱 的底面是边长为 1 的正方形，若平面 内有且仅有 1个点到顶点 的距离为 1，则异面直线 所成的角为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 3 【解析】 由题意可知，只有点 到 距离为 ，即高为 ， 所以该几何体是个正方体，异面直线 所成的角是 ，故选 B. 8. 一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的矩形， 俯视图为正方形，则

5、该几何体的体积为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 【答案】 B 【解析】 由三视图可知几何体为正四棱柱中挖去一个四棱锥得到的几何体 ， 故选 B. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题 .三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点 .观察三视图并将其 “ 翻译 ” 成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素 “ 高平齐，长对正，宽相等 ” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响 . 9. 已知四棱锥 的底面是边长为 2 的正方形， ，则四棱锥的外接球的表面积 为（ ） A. B. C. D.

6、【答案】 C 【解析】 由题意，将四棱锥 扩充为正方体，体对角线长为 ， 所以四棱锥外接球的直径为 ，半径为 ， 所以四棱锥外接球的表面积为 ， 故选 C. 10. 在四棱锥 中， 平面 ，底面 为矩形， 若 边上有4 且只有一个点 ，使得 ，求此时二面角 的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 因为在四棱锥 中， 平面 ，底面 为矩形，由 边上有且只有一个点 ，使得 ， 可得 边上有且只有一个点 ，使得 ， 则以 为直径的圆与直线 相切，设 中点为 ，则 ， 可得 平面 ， 作 于 ，连接 ， 则 是二面角 的平面角，设 ,则 ，直角三角形 中，可得 ， ， 二面角

7、的余弦值为 ，故选 A. 11. 如图在 中， 是斜边 的中点，将 沿直线 翻折，若折中存在某个位置，使得 ，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：取 中点 ，翻折前在如图 1 中，连接 、 ，则 ，又，所以 ；翻折后在 如图 2 中，若 ，又 ，则平面 ，所以 ，又 为 中点，所以 ， ，那么在 中应有 ， ， ，解得 ；翻着后如图 3 中，当与 在一个平面上， 与 交于 ，且 ， ，5 ，又 ，所以， ，所以 则 ，综上可得 ，故选 . 考点： 1.空间异面直线位置关系； 2. 空间想象能力 . 12. 棱长为 的正方体 在空间直角坐标系中移动，

8、但保持点 分别在轴、 轴上移动，则点 到原点 的最远距离为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试 题分析：根据题意，由于棱长为 2 的正方体 在空间直角坐标系中移动，但保持点 A、 B 分别在 x 轴、 y 轴上移动，则可知设 A(X,0)b(0,y)，可知 ,那么可以设 ,那么可知 借助于三角函数的性质可知 CO 的最大值为 ，那么可知点 到原点 O 的最远距离为 4，选 D. 考点：展开图，正方体 点评：求解空间一点到坐标原点的距离的最值问题，转化为求点在平面内的射影到原点的距离的最大值即可，属于中档题，考查分析问题的能力。 二、填空题（每小题 5 分，满分 20 分）

9、 13. 在复平面内，复数 对应的点坐标为 _. 【答案】 【解析】试题分析：因为 ，所以复数 对应的点的坐标为 . 考点：复数的运算 14. 在三棱锥 中， , 为 的重心，过点 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线 和 ，则该截面的周长为 _. 【答案】 8 【解析】试题分析：过点 G 作 交 PA、 PC 于点 E、 F，过 E、 F 分别作 、6 分别交 AB、 BC 于点 N、 M，连结 MN，所以 EFMN 是平行四边形， ，即 ，即 ，所以截面的周长 . 考点：以三棱锥为几何载体考查了线线平行、截面的周长 . 15. 如图，已知边长为 1 的正 的顶点 在平面 内，顶点 在平面

10、外的同一侧，点分别为 在平面 内的投影，设 ，直线 与平面 所成的角为 .若是以角 为直角的直角三角形，则 的最小值 _. 【答案】 【解析】 . 16. 已知正四棱柱 的底面边长 ，侧棱长 ，它的外接球的球心为 ，点 是 的中点，点 是球 上任意一点，有以下判断： 的长的最大值是 9； 存在过点 的平面，截球 的截面面积是 ； 三棱锥 的体积的最大值是 20； 过点 的平面截球 所得截面面积最大时， 垂直该截面 . 其中判断正确的序号是 _ 【答案】 【解析】 由题意可知球心在体对角线的中点，直径为 ： ， 半径是 ， 的长的最大值是 ， 正确 ； 球的大圆面积是 ， 过 与球心连线垂直7

11、的平面是小圆 ， 面积为 ，因而 是错误的 ; 三棱锥 体积的最大值是最大是半径）正确 ； 过点 的平面截球 所得截面面积最大时该平面就是平面 ， 由长方体的性质可知 不与该截面垂直 ， 错误 ，故答案为 . 三、解答题 : 17. 如图所示，已知空间四边形 的每条边和对角线都等于 1，点 分别是的中点，设 , 为空间向量的一组基底，计算： （ 1） ; (2) . 【答案】 (1)；（ 2） . 【解析】 试题分析： (1） 根据 的模与夹角 ， 利用数量积公式先求 的值，在根据 可得结果； （ 2）由 先平方，再开平方即可 . 试题解析： (1） ，则 ， （ 2） . 18. 正方体 棱

12、长为 1， 为棱 的中点，求： （ 1）求三棱锥 的表面积； （ 2）求三棱锥 的体积 8 【答案】 (1) ；（ 2） . 【解析】 试题分析： (1)根据长方体的性质，求出三棱锥 的各表面三角形的面积求和即可； （ 2）利用等级变换 ， 利用棱锥的体积公式求解即可 . 试题解析：（ 1） . （ 2）如图，取 的四等分点 ，则 ，故 ， 19. 如图，四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为梯 形， ， , .且 与 均为正三角形 , 为 的中点， 为 重心 . 9 (1)求证： 平面 ； (2)求异面直线 与 的夹角的余弦值 . 【答案】 (1)证明见解析；（ 2） . 【解析】 试题分析：

13、（ 1）连接 交 于 ， 连接 ， 由重心性质推导出 ， 根据线面平行的判定定理可得 平面 ；（ 2） 取线段 上一点 ，使得 ， 可证 即是异面直线 与 的夹角 ， 由余弦定理可得结果 . 试题解析：（ 1）方法一：连 交 于 ,连接 . 由梯形 ， 且 ，知 又 为 的中点， 为 的重心， ，在 中， ,故 / . 又平面 , 平面 , /平面 . 方法二：过 作 交 于 ,过 作 交 于 ,连接 , 为 的重心， , , 又 为梯形， , , , 又由所作， 得 / ， 为平行四边形 . , 面 (2) 取线段 上一点 ，使得 ，连 ,则 , 10 , ,在 中 ，则异面直线 与 的夹角

14、的余弦值为 . 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点 . 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题 .证明线面平行的常用方法： 利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行 . 利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面 . 本题（ 1）是就是利用方法 证明的 . 20. 如图，在矩形 中，已知 ，点 分别在 上，且 ，将四边形 沿 折起，使点 在平面 上的射影 在直线 上 . (1)求证 : ; (2)求点 到平面 的距离； (3)求直线 与平面 所成角的正弦值 . 【答案】 (1)证明见解析；（ 2） ；（ 3） . 【解析】 试题分析： (1)由折叠关系可得 平面 ， (2)利于题意结合勾股定理列方程组，求解可得点 到平面 的距离为 2； (3)做出直线与平面所成的角，结合 (1)(2)的结论可得直线 与平面 所成的正弦值为. 试题解析： 解：（ 1）由于 平面 ， ，又由于 ， ， 平面 ，