专题3.8 欲证直线过定点结合特征方程验高考数学解答题压轴题突破讲义（解析版）.doc

1、 专题专题 8 欲证直线过定点，结合特征方程验欲证直线过定点，结合特征方程验 【题型综述题型综述】 直线过定点的解题策略一般有以下几种： （1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特 殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关. （2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式 方程，从而得到定点. （3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方 程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类

2、问题的特 点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 【典例指引】【典例指引】 类型一类型一 椭圆中直线过未知顶点问题椭圆中直线过未知顶点问题 例 1 【2017 课标 1，理 20】已知椭圆 C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点 P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（1， 3 2 ） ， P4（1， 3 2 ）中恰有三点在椭圆 C 上. （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定 点. 类型二类型二 椭圆中直线过已知定点问题椭圆中直线过已知定点

3、问题 例 2. 【2017 课标课标 II，理】，理】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 2 2 1 2 x y上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足 为 N，点 P 满足 2NPNM 。 (1) 求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线3x 上，且1OP PQ，证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。 【解析】(1)设出点 P 的坐标，利用 2NPNM得到点 P 与点,M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为 22 2xy。 （ii）直线l与 y 轴交于点 G，记PFG的面积为 1 S， PDM的面积为 2 S，求 1 2 S S 的最大值及取得最大 值时点

4、P 的坐标. 设),(),(),( 002211 yxDyxByxA，联立方程 2 22 2 41 m ymx xy 得014) 14( 4322 mxmxm， 由0，得 520 m 且 14 4 2 3 21 m m xx， 因此 14 2 2 2 3 21 0 m mxx x, () 已知点 B(1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是 PBQ 的角平分 线, 证明直线 l 过定点. 【扩展链接】【扩展链接】 1. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两条直线，若直线斜率之积为定值，两直线交圆锥曲线于对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两条直线

5、，若直线斜率之积为定值，两直线交圆锥曲线于BA, 两点，则直线两点，则直线AB过定点过定点. 2.已知已知AB为过抛物线为过抛物线 2 y=)0(2ppx的焦点的焦点F的弦，的弦，),(),( 2211 yxByxA，则，则pxxAB 21 |. 3.已知已知AB为过椭圆为过椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦点的焦点F的弦，的弦，),(),( 2211 yxByxA，则，则 |2| 21 xxeaAB. 来源 来源: 4.已知直线已知直线)( 00 xxkyy，当，当k变动时，直线恒过定点变动时，直线恒过定点),( 00 yx. 【新题展示】【新题展示】 1 【2019

6、 福建备考关键问题指导系列适应性练习】设 为坐标原点，动圆 过定点， 且被 轴截得的 弦长是 8 （）求圆心 的轨迹 的方程； （）设是轨迹 上的动点，直线的倾斜角之和为 ，求证：直线过定点 【思路引导】 （）设动圆圆心，由题设条件，利用圆中的特殊三角形，推导出点 P 的轨迹方程； （）设出直线 AB 的方程为，与联立，消元得到，利用韦达定理，最 后得到直线 AB 恒过定点 【解析】 ()设动圆半径为 由动圆被 轴截得的弦长是 8 得 消去 得 故圆心 的轨迹 的方程 () 设直线 ， ， 联立方程得，消去 得， 则， 设直线的倾斜角分别是 ，同理， ，故直线过定点 2 【2019 河南郑州

7、1 月质量预测】设点为圆上的动点，点在 轴上的投影为 ，动点 满足 ，动点 的轨迹为 （）求 的方程； （）设 的左顶点为 ，若直线与曲线 交于两点 ， （ ， 不是左右顶点） ，且满足 ，求证：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标 【思路引导】 （）设 P（x，y） ，M（x0，y0） ，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程； （2）由向量条件结合矩形对角线相等可得 DA，DB 垂直，斜率之积为1，再联立直线与椭圆方程，得根 与系数关系，逐步求解得证 【解析】 （）设点，由题意可知 ， 即， 又点在圆上 代入得 即轨迹 的方程为 （）由（）可知，设， 联立 得 即， 又 即

8、 即 解得，且均满足即 当时， 的方程为，直线恒过，与已知矛盾； 当， 的方程为，直线恒过 所以，直线 过定点，定点坐标为 3 【2019 新疆乌鲁木齐一模】椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过 的长轴，短轴端点的一条直 线方程是 （1）求椭圆 的方程； （2）过点作直线交椭圆 于 ， 两点，若点 关于 轴的对称点为，证明直线过定点 【思路引导】 （1）对于，当时，即，当，即，再写出椭圆的方程； （2）设直线， （） ，设 ， 两点的坐标分别为，则，代入椭 圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线过定点， 【解析】 （1）对于，当时，即，当，即， 椭圆的方程为， （2）证明：设直线，

9、（） ， 设 ， 两点的坐标分别为，则， 联立直线与椭圆得， 得， ，解得 ， ， 直线 ， 令，得 ， 直线过定点 4 【2019 福建漳州下学期第二次质量监测】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：上， 该椭圆的左顶点 A 到直线的距离为 求椭圆 C 的标准方程； 若线段 MN 平行于 y 轴，满足，动点 P 在直线上，满足，证明：过 点 N 且垂直于 OP 的直线过椭圆 C 的右焦点 F 【思路引导】 （1）根据点到直线的距离公式即可求出 a 的值，可得椭圆方程， （2）由题意 M（m，n） ，N（m， ） ， P（2，t） ，根据（2）0，可得 y12n，由2， 可得 2m+2nt

10、6，再根据向量的运算可得 0，即可证明 【解析】 (1)由题意： ， 椭圆 的标准方程为： (2)设 ， ， 则 ， ， 即， 解 ， ， 即：，得 即 直线的方程为： ， 设过点 且垂直于直线为 ， 直线 的方程： ，即直线 过定点，即直线 恒过椭圆 的右焦点 5 【2019 河北衡水十三中学质检】已知抛物线 ：，过其焦点 作斜率为 1 的直线交抛物线 于 ， 两点，且线段的中点的纵坐标为 4 （1）求抛物线 的标准方程； （2）若不过原点 且斜率存在的直线 与抛物线 相交于 、 两点，且求证：直线 过定点，并求出 该定点的坐标 【思路引导】 （1）根据线段的中点的纵坐标为 4，直线的斜率为

11、 1，利用抛物线的方程，求解，即可得到抛物 线的方程； （2） 设直线 ：， 联立方程组， 利用根与系数的关系， 求得， 再由 得，即可得到结论 【解析】 （1）设 ， 两点的坐标分别为， 则，两式相减得 即， 又线段的中点的纵坐标为 4，直线的斜率为 1， 即抛物线 的标准方程为 （2）设直线 ：与抛物线 ：交于点， 则， ， ， 由得，即， 来源:Z.xx.k.Com 直线为， 过定点 6 【2019 黑龙江大庆二模】已知椭圆的离心率为，短轴长为 4 （1）求椭圆 的方程； （2）过点作两条直线，分别交椭圆 于两点（异于 ） ，当直线，的斜率之和为 4 时，直线 恒过定点，求出定点的坐标

12、【思路引导】 （1）首先根据题中所给的条件，得到所满足的等量关系式，求解即可； （2）分直线 AB 的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，写出直线的方程， ，将其与椭圆方 程联立，根据题中的条件，求得，从而求得直线所过的定点为，当直线 AB 斜率不存在时， 验证也过该点，得证 【解析】 （1）由题意知：， 解得，所以椭圆方程为 （2）当直线的斜率存在时，设直线方程为， 由，得， 联立，消去 得，由题意知二次方程有两个不等实根， ， 代入得，整理得 ，所以直线恒过定点 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，其中，由 ，得， 当直线的斜率不存在时，直线也过定点 综上所述，直线恒过定点 7 【2019

13、 福建漳州班第一次质检】已知动圆 过点且与直线相切，圆心 的轨迹为曲线 （1）求曲线 的方程； （2）若是曲线 上的两个点且直线过的外心，其中 为坐标原点，求证：直线过定点 【思路引导】 （1）根据抛物线定义，可知曲线方程为抛物线，进而利用定义求得抛物线的方程。 （2）设出 A、B 坐标，设出 AB方程，联立抛物线，结合韦达定理表示出与，利用垂直关系求得 m的 值，进而求出定点坐标。 【解析】 解法一： （1）由题意可知等于点 到直线的距离， 所以曲线 是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以曲线 的方程为 解法二： （1）设，由题意可知等于点 到直线的距离， 所以， 整理得曲线 的方程为 （

14、2）设直线，代入，得， 设，则， ， 因为直线过的外心，所以， =0 所以，所以或， 因为直线不过点 ，所以，所以， 所以直线，所以直线过定点 8 【2019 湖北十堰元月调研】 设 是圆上的任意一点，是过点 且与 轴垂直的直线， 是直线 与 轴的交点，点 在直线 上，且满足当点 在圆 上运动时，记点 的轨迹为曲线 （1）求曲线 的方程； （2） 已知直线与曲线 交于， 两点， 点关于 轴的对称点为， 证明： 直线过定点 【思路引导】 （1）点 A 在圆 x2+y216上运动，引起点 Q 的运动，可由 4|BQ|3|BA|，得到点 A 和点 Q 坐标之间的关系 式，由点 A的坐标满足圆的方程得

15、到点 Q坐标满足的方程； （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 M（x1， y1） ，将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出直线 MN的方程，即可判断出所过的定点 【解析】 （1）设，因为， 在直线 上， 所以， 因为点 在圆上运动，所以 将式代入式即得曲线 的方程为 （2）设，则， 联立，得， 所以， 因为直线的斜率， 所以为 令，得 ， 所以直线过定点 【同步训练】【同步训练】 1已知椭圆的离心率 e=，左、右焦点分别为 F1、F2，定点，P（2，） ，点 F2在线段 PF1的中垂线上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、

16、N 两点，直线 F2M、F2N 的倾斜角分别为 、 且 +=，求证： 直线 l 过定点，并求该定点的坐标 【思路点拨】 （1）由椭圆的离心率求得 a=c，且丨 F1F2丨=丨 PF2丨，利用勾股定理即可求得 c 及 a 和 b 的值； （2）将直线代入椭圆方程，利用直线的斜率公式求得=，=，由+=0， 结合韦达定理，即可求得 m=2k则直线 MN 过定点，该定点的坐标为（2，0） 且=，= 由已知 +=，得+=0，即+=0，化简，得 2kx1x2+（mk） （x1+x2）2m=0， 2k（mk） （ ）2m整理得 m=2k 直线 MN 的方程为 y=k（x2） ， 直线 MN 过定点，该定点的

17、坐标为（2，0） &网 2.已知焦距为 2的椭圆 C：+=1（ab0）的右顶点为 A，直线 y=与椭圆 C 交于 P、Q 两点（P 在 Q 的左边） ，Q 在 x 轴上的射影为 B，且四边形 ABPQ 是平行四边形 （1）求椭圆 C 的方程； （2）斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 M，N （i）若直线 l 过原点且与坐标轴不重合，E 是直线 3x+3y2=0 上一点，且EMN 是以 E 为直角顶点的等腰 直角三角形，求 k 的值 （ii）若 M 是椭圆的左顶点，D 是直线 MN 上一点，且 DAAM，点 G 是 x 轴上异于点 M 的点，且以 DN 为直径的圆恒过直线 A

18、N 和 DG 的交点，求证：点 G 是定点 【思路点拨】 （1）由题意可得 c=，直线 y=代入椭圆方程，求得 P，Q 的横坐标，可得|AB|，由四边形 ABPQ 是平行四边形， 可得|AB|=|PQ|，解方程可得 b，由 a，b，c 的关系可得 a，进而得到椭圆方程； （2） （i）由直线 y=kx 代入椭圆方程，求得 M 的坐标，由EMN 是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形，可 设 E（m，m） ，求出 E 到直线 kxy=0 的距离 d，由题意可得 OEMN，|OM|=d，解方程可得 k 的值； （ii）由 M（2，0） ，可得直线 MN 的方程为 y=k（x+2） ，代入椭圆方程，可

19、得 x 的方程，运用韦达定理， 可得 N 的坐标，设 G（t，0） ， （t2） ，由题意可得 D（2，4k） ，A（2，0） ，以 DN 为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点，可得 ANDG，运用两直线垂直的条件，可得斜率之积为1，解方程可得 t=0，即可得 到定点 （ii）证明：由 M（2，0） ，可得直线 MN 的方程为 y=k（x+2） ， 代入椭圆方程可得， （1+2k2）x2+8k2x+8k24=0， 可得2+xN=， 来源: 解得 xN=， yN=k（xN+2）=，即 N（，） ， 设 G（t，0） ， （t2） ，由题意可得 D（2，4k） ，A（2，0） ， 以 DN

20、为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点，&网 可得 ANDG， 即有 kANkDG=1， 即为=1， 解得 t=0&网 故点 G 是定点，即为原点（0，0） 3.已知椭圆 E：+=1（ab0）经过点（1，） ，且离心率 e= （1）求椭圆 E 的方程； （2）设椭圆 E 的右顶点为 A，若直线 l：y=kx+m 与椭圆 E 相交于 M、N 两点（异于 A 点） ，且满足 MA NA，试证明直线 l 经过定点，并求出该定点的坐标 【思路点拨】 （1）由题意的离心率公式 e=，求得 a=2c，b2=3c2，将点代入椭圆方程，即可求得 a 和 b 的 值，即可求得椭圆 C 的标准方程； （2）将

21、直线方程代入椭圆方程，由题意可知=0，由向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得 m 和 k 的关系，代入即可求得直线恒过定点 +2+4=0， 化简得，7m2+4k2+16mk=0 解得 m=2k 或 m=且均满足 3+4k2m20 当 m=2k 时，L：y=k（x2） ，直线过定点（2，0）与已知矛盾； 当 m=时，L；y=k（x） ，直线过定点（，0） ， 综上，直线 l 过定点，定点坐标为（，0） 4.已知椭圆的离心率为 ， 左、 右焦点分别为圆 F1、 F2， M 是 C 上一点， |MF1|=2， 且 （1）求椭圆 C 的方程； 来源: （2）当过点 P（4，1）的动直线 l 与椭圆

22、 C 相交于不同两点 A，B 时，线段 AB 上取点 Q，且 Q 满足 ，证明点 Q 总在某定直线上，并求出该定直线 【思路点拨】 （1）由已知得 a=2c，且，由余弦定理求出 c=1由此能求出椭圆 C 的方程 （2）设直线 l 的方程为 y=kx+（14k） ，代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+（8k32k2）x+64k232k8=0， 由此利用韦达定理、向量，结合已知条件能证明点 Q 总在某定直线上，并求出该定直线 5. 已知椭圆 C 的方程为+=1（ab0） ，离心率 e=，点 P（，1）在椭圆 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过 C 的右焦点 F 作两条弦 AB，CD，满足

23、=0，且=2，=2，求证：直线 MN 过定点， 并求出此定点 【思路点拨】 （1）由 a=c，则 b2=a2c2=2c2，将 P 代入椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程 （2）然后分弦 AB，CD 的斜率均存在和弦 AB 或 CD 的斜率不存在两种情况求解当斜率均存在时，写出 直线 AB 的方程， 代入椭圆方程后化简， 利用根与系数关系求得 M 坐标， 同理求得 N 的坐标 进一步分 k1 和 k= 1 求得直线 MN 的方程，从而说明直线 MN 过定点，当弦 AB 或 CD 的斜率不存在时，易知，直线 MN 为 x 轴，也过点（，0） 则 x1+x2= ，x1x2= ， x0

24、= =，y0=k（x01）=， 于是 M（，） CDAB，将点 M 坐标中的 k 换为， 即得点 N（，） 当 k1 时，直线 MN 的方程为 y=（x） 令 y=0，得 x=，则直线 MN 过定点（，0） ； 当 k= 1 时，易得直线 MN 的方程 x=，也过点（，0） 当弦 AB 或 CD 的斜率不存在时，易知，直线 MN 为 x 轴，也过点（，0） 综上，直线 MN 必过定点（，0） &网 6.已知椭圆 C：x2+4y2=4 （1）求椭圆 C 的离心率； （2）椭圆 C 的长轴的两个端点分别为 A，B，点 P 在直线 x=1 上运动，直线 PA，PB 分别与椭圆 C 相交于 M，N 两

25、个不同的点，求证：直线 MN 与 x 轴的交点为定点 【思路点拨】 （1）求得椭圆的标准方程，则 a=2，b=1，则 c=，利用椭圆的离心率公式，即可求得椭圆 C 的离心率； （2）设 P（1，t） ，由已知条件分别求出 M，N 的坐标，设定点为 Q，再由 kMQ=kNQ，能证明直线 MN 经过 一定点 Q（4，0） 7.在直角坐标系 xOy 中，F，A，B 分别为椭圆 的右焦点、右顶点和上顶点，若 （1）求 a 的值； （2）过点 P（0，2）作直线 l 交椭圆于 M，N 两点，过 M 作平行于 x 轴的直线交椭圆于另外一点 Q，连 接 NQ，求证：直线 NQ 经过一个定点 【思路点拨】 （

26、1）由题意得：，解得 a； （2） 设 M （x1， y1） ， N （x2， y2） ， 直线 l 的方程为 y=kx+2， 将 y=kx+2 代入椭圆方程得 （3+4k2） x2+16kx+4=0， ， 直线 NQ 的方程， 由对称性可知， 若过定点， 则必在 y 轴上，令 x=0，即可 8.已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的一个焦点为 3,0F，其左顶点在圆 22 :12O xy上 （1）求椭圆C的方程； （2） 直线:30l xmym交椭圆C于,M N两点， 设点N关于x轴的对称点为 1 N （点 1 N与点M不 重合） ，证明：直线 1 N M过 x轴上的一定点，并

27、求出定点坐标 【思路点拨】 （1）利用点在椭圆上和几何要素间的关系求其标准方程； （2）联立直线和椭圆的标准方程，得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到直线的点斜式方 程，再利用赋值法进行求解. 【详细解析】 （1）椭圆的左顶点A在圆 22 12xy上， 又椭圆的一个焦点为， 椭圆的方程为 9.已知动圆 M 恒过点（0，1） ，且与直线 y=1 相切 （1）求圆心 M 的轨迹方程； （2）动直线 l 过点 P（0，2） ，且与点 M 的轨迹交于 A、B 两点，点 C 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直 线 AC 恒过定点 【思路点拨】 （1）由题意可知圆心 M 的轨迹为以 （0，1

28、）为焦点，直线 y=1 为准线的抛物线，根据抛 物线的方程即可求得圆心 M 的轨迹方程； （2）由题意可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为：y=kx2，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 C（x2， y2） 代入抛物线方，由韦达定理及直线直线 AC 的方程为：yy2=（x+x2） ，把根与系数的关系 代入可得 4y=（x2x1）x+8，令 x=0，即可得出直线恒过定点 【详细解析】 （1）动点 M 到直线 y=1 的距离等于到定点 C（0，1）的距离， 动点 M 的轨迹为抛物线，且=1，解得：p=2， 动点 M 的轨迹方程为 x2=4y； （2）证明：由题意可知直线 l 的斜

29、率存在， 设直线 l 的方程为：y=kx2，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 C（x2，y2） 联立，化为 x24kx+8=0， 10.已知 F 是抛物线 C：x2=4y 的焦点，A（x1，y1） ，B（x2，y2）为抛物线 C 上不同的两点，l1，l2分别是抛 物线 C 在点 A、点 B 处的切线，P（x0，y0）是 l1，l2的交点 （1）当直线 AB 经过焦点 F 时，求证：点 P 在定直线上； （2）若|PF|=2，求|AF|BF|的值 【思路点拨】 （1）当直线 AB 经过焦点 F 时，求出切线 PA，PB 的方程，可得 P 的坐标，即可证明：点 P 在定直线 上； （2）

30、设直线 AB 的方程为 y=kx+m，代入 C：x2=4y 得 x24kx4m=0，求出 P 的坐标，利用韦达定理，即 可求|AF|BF|的值 【详细解析】 （1）证明：抛物线，则， 切线 PA 的方程为，即， 同理切线 PB 的方程为， 联立得点 P， 设直线 AB 的方程为 y=kx+1，代入 C：x2=4y 得 x24kx4=0所以 x1x2=4 所以点 P 在直线 y=1 上； （2）证明：设直线 AB 的方程为 y=kx+m， 代 入C ： x2=4y得x2 4kx 4m=0 x1+x2=4k ， x1x2= 4m ， 所 以P （ 2k ， m ）， ， =4mk2+4k2（m+1

31、）+44k2=4 11.已知动点 C 到点 F（1，0）的距离比到直线 x=2 的距离小 1，动点 C 的轨迹为 E （1）求曲线 E 的方程； （2）若直线 l：y=kx+m（km0）与曲线 E 相交于 A，B 两个不同点，且，证明：直线 l 经过一 个定点 【思路点拨】 （1）根据抛物线的定义，即可求得曲线 E 的方程； （2）设直线 l 的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得 m=5k，即可求得 直线 l 的方程，则直线 l 必经过定点（5，0） 12.已知动点,M x y满足： 22 22 112 2xyxy . （1）求动点M的轨迹E的方程； （2） 设过点1,0N 的直线l与曲线E交于,A B两点， 点A关于x轴的对称点为C（点C与点B不重合） ， 证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标. 【思路点拨】 （1）动点M到点1 , 0P ， 1 , 0Q的距离之和为2 2，且2 2PQ ，所以动点M 的轨迹为椭圆， 从而可求动点M的轨迹E的方程； （2） 直线l的方程为： 1yk x， 由 2 2 1 1 2 yk x x y 得 2222 124220kxk xk， ，根据韦达定理可得 1221 21 2 x yx y xx ，直线BC的方程为 21 21 2 yy yx xx ，即可证明其过定点.