专题3.10 判断点在圆内外向量应用最厉害高考数学解答题压轴题突破讲义（解析版）.doc

1、 【题型综述题型综述】 点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到 点的距离并和半径比较得解；向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知AB是圆 的直径，G是平面内一点， 则0GA GB点G在圆内；0GA GB点G在圆外；0GA GB 点G在 圆 上 方 程 法 ， 已 知 圆 的 方 程 222 )()( :rbyaxM， 点N),( 00 yx， 则 22 0 2 0 )()(rbyax点N在 圆M内 ； 22 0 2 0 )()(rbyax点N在 圆M上 ； 22 0 2 0 )()(rbyax点N在圆M外. 四点共圆问题的解题

2、策略：利用四点构成的四边形的对角互补；利用待定系数法求出过其中三点的圆 的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程. 【典例指引】【典例指引】 类型一类型一 向量法判定点与圆的位置关系向量法判定点与圆的位置关系 例 1 【2015 高考福建，理 18】已知椭圆 E： 22 22 1(a0) xy b ab +=过点(0, 2），且离心率为 2 2 ()求椭圆 E 的方程； ()设直线1xmymR=-?，()交椭圆 E 于 A，B 两点， 判断点 G 9 ( 4 -,0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由 【解析】解法一：()由已知得 222 2, 2 , 2 , b c a abc

3、= = =+ 解得 2 2 2 a b c = = = ， 所以椭圆 E 的方程为 22 1 42 xy += ()设点 1122 (y ),B(,y ),A xxAB 中点为 00 H(,y )x 由 22 22 1 (m2)y230, 1 42 xmy my xy =- +-= += 得（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为 22 22 4a b ab ;（3） OPQ S的最小值是 22 22 a b ab . 2.若椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，半焦距为c，焦点 12 ,0 ,0FcFc，设 过 1 F的直线l 的倾斜角为，交椭圆于 A、B 两点，则有： 22

4、 11 , coscos bb AFBF acac ； 2 cos ab AB ac 若椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，半焦距为c，焦点 12 ,0 ,0FcFc，设 过F 的直线l 的倾斜角为 ，交椭圆于 A、B 两点，则有： 22 , coscos bb AFBF acac ； 2 2 cos ab AB ac 同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为 2 2 sin ab AB ac （a 为长半轴，b 为短半轴，c 为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 2 2 2 cos 2 sin ab x ac AB ab y ac 焦点在 轴上 焦点在 轴上 3.设AB为

5、过抛物线 2 2(0)ypx p焦点的弦， 1122 ( ,)(,)A x yB xy、，直线AB的倾斜角为，则 . 2 2 1212 ,; 4 p x xy yp . 12 , 21 cos21 cos pppp AFxBFx . 12 2 2 ; sin p ABxxp . 112 |FAFBP ； . 2 3 4 OA OBp ； . 2 11 sin 222sin AOBF p SOA OBAOBOF h ； 【新题展示】【新题展示】 1 【2019 陕西第二次质检】已知、为椭圆（）的左右焦点，点为其上一点， 且 （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线交椭圆 于 、 两点，且原点 在

6、以线段为直径的圆的外部，试求 的取值范围 【思路引导】 （1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代入椭圆方程可求得 a、b，进而得椭圆的标准方程。 （2）设出 A、B 的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入得到关于 k 的 不等式，解不等式即可得 k 的取值范围。 【解析】 （1）由题可知，解得， 所以椭圆的标准方程为： （2）设，由，得 ， 由韦达定理得：， 由 得或 又因为原点 在线段为直径的圆外部，则， ， 即， 综上所述：实数 的取值范围为 2 【2019 山西吕梁一模】设椭圆 ：的左顶点为 ，上顶点为 ，已知直线的斜率为 ， （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 ：与椭圆

7、交于不同的两点、 ，且点 在以为直径的圆外（其中 为坐标原点） ， 求 的取值范围 【思路引导】 (1)由已知条件列出关于的二元一次方程组，求出的值，得到椭圆方程 (2)由题意中点 在以为直径的圆外转化为为锐角， 即， 设出点 、 的坐标代入求出 的 取值范围 【解析】 （1）由已知得：， 结合已知有， 可得， 则椭圆的方程为 （2）设，由得 故， 由题意得为锐角， ， 又 ，解得 的取值范围为 3 【2019 陕西汉中第一次质检】已知椭圆的右焦点 F 与抛物线焦点重合，且 椭圆的离心率为，过 轴正半轴一点 且斜率为的直线 交椭圆于两点 （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在实数使以线段为直

8、径的圆经过点 ，若存在，求出实数的值；若不存在说明理由 【思路引导】 （1）根据抛物线焦点可得 ，又根据离心率可求 ，利用，即可写出椭圆的方程 （2）由题意可设直线 的方程为，联立方程组，消元得一元二次方程，写出， 利用根与系数的关系可求存在 m 【解析】 （1）抛物线的焦点是 ，又椭圆的离心率为，即 ，则 故椭圆的方程为 （2）由题意得直线 的方程为 由消去 得 由，解得 又， 设，则， ， 若存在使以线段为直径的圆经过点 ，则必有，即， 解得又， 即存在使以线段为直径的圆经过点 4 【2019 四川成都高新区一诊】已知抛物线，过点的直线与抛物线 相切，设第一象限的切点 为 （1）求点 的坐

9、标； （2）若过点的直线 与抛物线 相交于两点，圆是以线段为直径的圆过点 ，求直线 的方程 【思路引导】 （1）根据题意由点斜式设出直线方程，联立后根据相切可知，再由切点在第一象限可求得 P 点坐标。 （2）设出直线方程，联立抛物线，根据两个交点可得；根据韦达定理用 m表示出、； 根据圆是以线段为直径的圆过点 ，可知，代入坐标可解得或，则直线方程可得。 【解析】 （1）由题意知可设过点的直线方程为 联立得：， 又因为直线与抛物线相切，则，即 当时，直线方程为，则联立得点 坐标为 （2）设直线 的方程为：， 联立得：，则恒成立， ， 则， 由于圆是以线段为直径的圆过点 ，则， 来源: ，则或 则

10、直线 的方程为或 【同步训练】【同步训练】 1 已知椭圆的离心率，过点 A（0，b）和 B（a，0）的直线与原点的距 离为 （1）求椭圆的方程； （2）已知定点 E（1，0） ，若直线 y=kx+2（k0）与椭圆交于 C、D 两点，问：是否存在k 的值，使以 CD 为直径的圆过 E 点？请说明理由 【思路点拨】 （1）直线 AB 方程为 bxayab=0，依题意可得：，由此能求出椭圆的方程 （2）假设存在这样的值，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，再由根的判别式和根与系数的关系 进行求解 （2）假设存在这样的值 ， 得（1+3k2）x2+12kx+9=0， =（12k）236（1+3k2

11、）0， 设 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，则 来源:163文库 而 y1y2=（kx1+2） （kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4， 要使以 CD 为直径的圆过点 E（1，0） ， 当且仅当 CEDE 时，&网 则 y1y2+（x1+1） （x2+1）=0， （k2+1）x1x2+（2k+1） （x1+x2）+5=0 将代入整理得 k=，&网 经验证 k=使得成立综上可知，存在 k=使得以 CD 为直径的圆过点 E 2.已知椭圆的右焦点为 ，离心率为 . （1）若，求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于两点，分别为线段的中点，若坐标原点 在以为直径的圆 上，且，求

12、的取值范围. 【思路点拨】(1)结合所给的数据计算可得，所以椭圆的方程为. (2) 联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程 ， 集 合 韦 达 定 理 和 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 法 则 可 得 ， 结 合 离 心 率 的范 围 可 知则的 取 值 范 围 是 . 因为，所以，. 所以，即.&网 3.已知椭圆 ： 过点，且离心率 （）求椭圆 的方程； （）椭圆 长轴两端点分别为，点 为椭圆上异于的动点，直线 ：与直线分别交于两 点，又点，过三点的圆是否过 轴上不同于点 的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请 说明理由 【思路点拨】 （1）运用椭圆的离心率公式和点代入

13、椭圆方程，由 a，b，c的关系，即可得到椭圆方程； （2）设，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算 即可得证 4.已知椭圆 1 E： 22 2 1 6 xy a 的焦点 1 F、 2 F在x轴上，且椭圆 1 E经过, 2 (0)P mm，过点P的直线 l与 1 E交于点Q，与抛物线 2 E： 2 4yx交于A、B两点，当直线l过 2 F时 1 PFQ的周长为20 3 （）求m的值和 1 E的方程； （）以线段AB为直径的圆是否经过 2 E上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由。 【思路点拨】 （1）由 1 PFQ的周长为20 3求得 a,再根据椭圆 1 E经过, 2

14、P m 求得 m. （2）设直线l方程:52xn y ，与抛物线方程联立方程组，消 x 得关于 y 的一元二次方程，结合韦 达定理，化简以线段AB为直径的圆方程，按参数 n 整理，根据恒等式成立条件求出定点坐标 5.已知抛物线C顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线C上一点,2Q a到焦点的距离为 3，线段AB的两端 点 11 ,A x y， 22 ,B xy在抛物线C上. （1）求抛物线C的方程； （2）若y轴上存在一点0,(0)Mmm ，使线段AB经过点M时，以AB为直径的圆经过原点，求m的 值； （3）在抛物线C上存在点 33 ,D xy，满足 312 xxx，若ABD是以角A为直角的等腰直角

15、三角形， 求ABD面积的最小值. 【思路点拨】 （1）根据抛物线的定义，丨 QF 丨=丨 QQ1丨，即可求得 p 的值，即可求得抛物线方程； （2）设 AB 的方程，代入椭圆方程，由0OA OB，根据向量数量积的坐标运算及韦达定理，即可求得 m 的值； （3）设 2 1 1, 4 x A x ， 2 2 2, 4 x B x ， 2 3 3, 4 x C x ，根据抛物线关于y轴对称，取 1 0 x ，记 1AB kk， 2AD kk，则有 21 1 4 xx k ， 31 2 4 xx k ，所以 211 4xkx， 321 4xkx， 12 1k k ，由 ABAD， 即 22 12123

16、1 11kxxkxx， 进 而 化 简 求 出 1 x， 得 ： 3 1 1 2 11 44 22 k x kk ， 2 2 22 1 1 2 11 4411 |1 22 ABD k SABk kk ，即可求得ABD 面积的最小值 （3）如图所示， 设 2 1 1, 4 x A x ， 2 2 2, 4 x B x ， 2 3 3, 4 x C x ， 根据抛物线关于y轴对称， 取 1 0 x ， 记 1AB kk， 2AD kk， 则有 21 1 4 xx k ， 31 2 4 xx k ，所以 211 4xkx， 321 4xkx， 12 1k k ，&网 又因为ABD是以A为顶点的等腰直

17、角三角形，所以ABAD， 即 22 121231 11kxxkxx，将 23 ,x x代入得： 6.已知椭圆C： 22 22 1 xy ab （0ab）经过点 2 1, 2 P ，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等 腰直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）动直线l： 1 0 3 mxnyn（m， nR）交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存 在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T.若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 【思路点拨】 （1）由题设知 a= 2b，所以 22 22 1 2 xy bb ，椭圆经过点 P（1， 2 2 ） ，代入可得 b=1， a=2，由此

18、可知所求椭圆方程. （2）首先求出动直线过（0， 1 3 ）点当 l 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程：x2+（y+ 1 3 ）2=16 9 ； 当 l 与 y 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程：x2+y2=1由 22 116 22 39 1 xy xy （） 由此入手可求出点 T 的坐标 （2）首先求出动直线过 1 0, 3 点. 当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程： 22 2 14 33 xy 当L与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程： 22 1xy 由 22 2 22 14 33 1 xy xy 解得 0 1 x y &网 即两圆相切于点0,1，因此，所求的点T如果

19、存在，只能是0,1，事实上，点0,1T就是所求的点. 证明如下： 当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点0,1T 当直线L不垂直于x轴，可设直线L： 1 3 ykx 由 2 2 1 3 1 2 ykx x y 消去y得： 22 18912160kxkx来源:Z_xx_k.Com 7.如图， 曲线C由上半椭圆 1 C： 22 22 1 yx ab （0ab， 0y ） 和部分抛物线C： 2 1yx （0y ） 连接而成， 1 C与 2 C的公共点为A， B，其中 1 C的离心率为 3 2 （1）求a， b的值； （2）过点B的直线l与 1 C， 2 C分别交于点P， Q（均异于点A， B）

20、，是否存在直线l，使得以PQ为 直径的圆恰好过A点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 （1）在 1 C， 2 C的方程中，令0y ，可得1b ，且1,0A ， 1,0B是上半椭圆 1 C的左、 右顶点，设 1 C半焦距为c，由 3 2 c a 及 222 1acb，联立解得a； （2）由（1）知，上半椭圆 1 C的 方程为 2 2 10 4 y xy，由题意知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为1yk x（0k ） ， 代入 1 C的方程，整理得： 222 4240kxkxk，设点P的坐标为, PP xy，由根公式，得点P的 坐标为 2 22 48 , 44 k

21、k kk ，同理，得点Q的坐标为 2 1,2kkk 由 1 0AP AQ，即可得出k的值， 从而求得直线方程. 8.已知过点0,1A的椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 FF、， B为椭圆上的任意一 点，且 1122 3, 3BFFFBF成等差数列. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线:2l yk x交椭圆于,P Q两点，若点A始终在以PQ为直径的圆外，求实数k的取值范围. 【思路点拨】 （1）由题意，利用等差数列和椭圆的定义求出, a c的关系，再根据椭圆C过点A，求出, a b的 值，即可写出椭圆的标准方程； （2）设 1122 ,P x yQ xy，

22、根据题意知 1 2,0 xy ，联立方程组，由方 程的根与系数的关系求解 22 ,xy，再由点A在以PQ为直径的圆外，得PAQ为锐角， 0AP AQ，由此列出不等式求出k的取 值范围. （2）设 11 ,P x y， 22 ,Q xy，联立方程 2 2 2 1 4 yk x x y ，消去y得： 2222 14161640kxk xk； 依题意直线:2l yk x恒过点2,0，此点为椭圆的左顶点， 1 2x ， 1 0y ， 由方程的根与系数关系可得， 2 12 2 16 14 k xx k ； 可得 1212 22yyk xk x 12 4k xxk； 由，解得 2 2 2 28 14 k

23、x k ， 2 2 4 14 k y k ； 由点A在以PQ为直径的圆外，得PAQ为锐角，即0AP AQ； 由2, 1AP ， 22 ,1AQxy， 22 210AP AQxy ；即 2 22 4 164 10 1414 kk kk ， 整理得， 2 20430kk，解得： 3 10 k 或 1 2 k . 实数k的取值范围是 3 10 k 或 1 2 k . 9.已知动点 M 到点 N（1，0）和直线 l：x=1 的距离相等 （1）求动点 M 的轨迹 E 的方程； （2）已知不与 l 垂直的直线 l与曲线 E 有唯一公共点 A，且与直线 l 的交点为 P，以 AP 为直径作圆 C判 断点 N

24、 和圆 C 的位置关系，并证明你的结论 【思路点拨】 （1）利用抛物线的定义，即可求动点 M 的轨迹 E 的方程； （2）由题意可设直线 l：x=my+n，由可得 y24my4n=0，求出 A，P 的坐标，利用向量的数量 积，即可得出结论来源:163文库 所以 NANP， 所以点 N 在以 PA 为直径的圆 C 上 10.已知抛物线 C1：y2=2px（p0）的焦点为 F，抛物线上存在一点 G 到焦点的距离为 3，且点 G 在圆 C： x2+y2=9 上 （）求抛物线 C1的方程； （）已知椭圆 C2：=1（mn0）的一个焦点与抛物线 C1的焦点重合，且离心率为直线 l： y=kx4 交椭圆

25、C2于 A、B 两个不同的点，若原点 O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求 k 的取值范围 【思路点拨】 （1）设点 G 的坐标为（x0，y0） ，列出关于 x0，y0，p 的方程组，即可求解抛物线方程 （2）利用已知条件推出 m、n 的关系，设（x1，y1） 、B（x2，y2） ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以 及判别式大于 0，求出 K 的范围，通过原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部，推出0，然后求解 k 的范围即可 由0，即（32k）24 16（4k2+3）0，k或 k（10 分） 原点 O 在以线段 AB 为直径的圆的外部，则0， =x1x2+y1y2=x1x2+（kx1

26、4）（kx24）=（k2+1）x1x24k（x1+x2）+16 =（k2+1）4k+16 =0，解得：k 由、得实数 k 的范围是k或k， k 的取值范围（，）（，） （12 分） 11.已知双曲线 22 22 10 xy ba ab 渐近线方程为3yx ， O为坐标原点，点 3, 3M 在双曲 线上 （）求双曲线的方程； （）已知,P Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求 22 11 OPOQ 的值 【思路点拨】 （1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点 M 的坐标求得参数即可； （2）由条件可得OPOQ，可设出直线,OP OQ的方程，代入双曲线方程求得点,P Q的

27、坐标可求得 22 111 3 OPOQ 。来源: 12.已知点 P 是圆 F1： （x1）2+y2=8上任意一点，点 F2与点 F1关于原点对称，线段 PF2的垂直平分线分别 与 PF1，PF2交于 M，N 两点 （1）求点 M 的轨迹 C 的方程； （2）过点 G（0， 1 3 ）的动直线 l 与点的轨迹 C 交于 A，B两点，在 y 轴上是否存在定点 Q，使以 AB 为直 径的圆恒过这个点？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 （1）由圆的方程求出 F1、F2的坐标，结合题意可得点 M 的轨迹 C 为以 F1，F2为焦点的椭圆， 并求得 a，c 的值，再由隐含条件

28、求得 b，则椭圆方程可求； （2）直线 l 的方程可设为 1 3 ykx ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立直线方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程， 利用根与系数的关系求出 A， B 横坐标的和与积， 假设在 y 轴上是否存在定点 Q （0， m） ， 使以 AB 为直径的圆恒过这个点， 可得AQBQ ， 即0AQ BQ 利用向量的坐标运算即可求得 m 值， 即定点 Q 得坐标 【详细解析】 （1）由圆 F1： （x1）2+y2=8，得 F1（1，0） ，则 F2（1，0） ， 由题意得 121112 2 2| 2MFMFMFMPFPFF ， 点 M 的轨迹 C 为以 F1，F2为焦点的椭圆， 22 2,22ac 点 M 的轨迹 C 的方程为 2 2 1 2 x y；