专题2.9 函数图象高与低差值正负恒成立高考数学解答题压轴题突破讲义(解析版)(01).doc
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1、 【题型综述题型综述】 数形结合好方法:数形结合好方法: 对于函数( )f x与( )g x的函数值大小问题,常常转化为函数 ( ) yf x=的图象在 ( ) yg x= 上方(或下 方)的问题解决,而函数值的大小论证则常以构造函数( )( )yf xg x=-,即利用作差法,转化为论证恒成 立问题. 【典例指引】【典例指引】 例 1设函数 ( ) ()() 1ln 1f xmxx=-+. (1)若当01x琪 桫 . 【思路引导】 (1)将问题转化为不等式( )() 1ln 1mxxx-+在01x恒成立时m的取值范围即可。 (2)先证明对于任意的正整数n,不等式 2 5 1 1 n e n
2、+ 骣 琪+ 琪 桫 恒成立,即 21 ln 110 5 n n 骣骣 琪琪+- 琪琪 桫桫 恒成立,也 即 211 1ln 10 5nnn 骣骣 琪琪+- 琪琪 桫桫 恒成立,结合(1)的结论,当 2 5 m =-, 0 1 2 x =时 ( )() 2 1ln 10 5 F xxxx 骣 琪=+- 琪 桫 在 1 0, 2 x 纟 棼 上成立,然后令 () 1 2xn n =?可得 21 ln 110 5 n n 骣骣 琪琪+- 琪琪 桫桫 成立,再令1000n=即可得不等式成立。 当0m时 , 有 ( ) h x () 2 21 0 1 mxm x + =- + , 于 是 ( ) Fx
3、 在 () 0,1x上 单 调 递 减 , 从 而 ( )( ) 00FxF =, 因此 ( ) F x在 () 0,1x上单调递减,所以 ( )( ) 00F xF=,不合题意; 当 1 0 2 m-时,令 0 21 min 1, m x m 禳 +镲 =-睚 镲 铪 ,则当 (0 0,xx时, ( ) h x () 2 21 0 1 mxm x + =- + ,于是 ( ) Fx 在 (0 0,xx上单调递减,从而 ( )( ) 00FxF =, 因此 ( ) F x在 (0 0,xx上单调递减,所以 ( )( ) 00F xF=,而且仅有 ( ) 00F=,不合题意. 综上所求实数m的取
4、值范围是 1 , 2 纟 -? 棼 .学* (2)对要证明的不等式等价变形如下: 对于任意的正整数n,不等式 2 5 1 1 n e n + 骣 琪+ 琪 桫 恒成立, 即 21 ln 110 5 n n 骣骣 琪琪+- 琪琪 桫桫 恒成立,变形为 211 1ln 10 5nnn 骣骣 琪琪+- 琪琪 桫桫 恒成立, 在(1)中,令 2 5 m =-, 0 1 2 x =,则得 ( )() 2 1ln 1 5 F xxxx 骣 琪=+- 琪 桫 在 1 0, 2 x 纟 棼 上单调递减, 所以 ( )( ) 00F xF=,即 () 2 1ln 10 5 xxx 骣 琪+- 琪 桫 ,来源:Z
5、&X&X&K 令 () 1 2xn n =?,则得 211 1ln 10 5nnn 骣骣 琪琪+- 琪琪 桫桫 成立. 当1000n=时,可得 211 1ln 10 500010001000 骣骣 琪琪+- 琪琪 桫桫 . 即 21001 1000ln10 51000 骣骣 琪琪+-琪 桫 成立。学* 点睛:本题难度较大,解题中连续用到了分类讨论、构造的方法。在(1)中将问题转化为不等式恒成立的 问题处理,在解题中需要在对参数 m 分类讨论的基础上再求其值。 (2)中的问题更是考查学生的观察分析 问题的能力,在得到需要证明不等式 2 5 1 1 n e n + 骣 琪+, 设 ( )()11
6、,A xfx, ()()22 ,B xfx为 函 数 ( ) fx图 象 上 不 同 的 两 点 , 且 满 足 ( )( )12 1f xf x+=,设线段AB中点的横坐标为 0, x 证明: 0 1ax .来源:Z*xx*k.Com 【思路引导】 (1)求出函数的导数,通过讨论a的范围, ( ) 0fx 得增区间, ( ) 0fx - 琪 桫 令 ( )( ) 2 1F xfxfx a 骣 琪=-+- 琪 桫 来源:163文库 () 22 211 2 ln 22 ln 2 axaaxa xa ax ax x a 骣 琪=-+- 琪 桫 - ,根据函数单调性证明即可. (2) 法一: 12
7、012 12 1 2 xx axxx aa + ?- ( ) 2 2 2 121 0 a fxaa xxx 骣 琪=+-=-? 琪 桫 ,故 ( ) fx在定义域( ) 0,+?上单调递增. 只需证: ( )12 2 fxfx a 骣 琪- 琪 桫 ,即证 ()22 2 1fxfx a 骣 琪- 琪 桫 (*)学* 注意到 ( )()12 11 1, 2 fxfxf a 骣 琪+= 琪 桫 不妨设 12 1 0 xx a . 令 ( )( ) () 22 2211 12 ln 22 ln 2 F xfxfxaxaaxa xa ax aax x a 骣骣 琪琪=-+-=-+- 琪琪 桫桫 - ,
8、 则 ( ) () () () 3 22 222 2 41122 0 2 22 axaaa Fx xxax axxax - =-+=-? - - 1 x a ?, 从而 ( ) F x在 1 , a 轹 +? 滕 上单减, 故 ()2 1 0F xF a 骣 琪, 从而 1234 xxxx+, 另外由三次函数 ( ) h x的中心对称性可知 34 2 xx a +=,则有 12 2 xx a +.学* 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及不等式证明问题.属于难题.分类讨 论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法, 是中学数学四种重要的数学思想之一, 尤其在解决含参数
9、问 题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速 找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并 应用与解题当中. 【新题展示新题展示】 1 【2019 河南周口期末调研】已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)若对任意,函数的图像不在 轴上方,求 的取值范围. 【思路引导】 (1)对函数求导,分当时和当时,讨论导函数的正负,进而得到单调区间; (2)原式子等价于 对任意,都有恒成立,即在上,按照第一问分的情况,继续讨论导函数的 正负得到原函数的单调性,进而得到函数的最值,得到结果. 【解析
10、】 (2)对任意,函数的图像不在 轴上方,等价于对任意,都有恒成立,即在 上. 由(1)知,当时,在上是增函数, 又,不合题意; 当时,在处取得极大值也是最大值, 所以. 令,所以. 在上,是减函数. 又,所以要使得,须,即. 故 的取值范围为. 2 【2019 北京东城区高三期末】已知函数 f(x)=axex-x2-2x (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)当 x0 时,若曲线 y=f(x)在直线 y=-x 的上方,求实数 a 的取值范围 【思路引导】 (1)根据题意,求出函数的导数,由导数的几何意义可得切线的斜率,求出切点的坐标,由直线的点
11、斜式 方程分析可得答案; (2)根据题意,原问题可以转化为恒成立,设,求出的导数,由 函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值,分析可得答案 【解析】 设,则, 又由,则,则函数在区间上递减, 又由,则有, 若恒成立,必有, 即 的取值范围为 3 【2019 山东济南外国语学校 1 月段模】已知函数 (1)当时,求的单调区间; (2)当时,的图象恒在的图象上方,求 a 的取值范围. 【思路引导】 (1)首先求出 f(x)导数,分类讨论 a 来判断函数单调性; (2)利用转化思想 yf(x)的图象恒在 y ax3+x2(a1)x 的图象上方,即 xexaxax3+x2(a1)x 对 x(0,
12、+)恒成立;即 exax2x 10 对 x(0,+)恒成立,利用函数的单调性和最值即可得到 a 的范围. 来源:Z+xx+k.Com 【解析】 (ii) 当 a1 时,lna0,f(x)xexaxx(ex1)0 恒成立,f(x)在(,+)上单调递增, 无减区间; 综上,当 a0 时,f(x)的单调增区间是(0,+) ,单调减区间是(,0) ; 当 0a1 时,f(x)的单调增区间是(,lna)和(0,+) ,单调减区间是(lna,0) ; 当 a1 时,f(x)的单调增区间是(,+) ,无减区间 (2)由(I)知 f(x)xexax 当 x(0,+)时,yf(x)的图象恒在 yax3+x2(a
13、1)x 的图象上方; 即 xexaxax3+x2(a1)x 对 x(0,+)恒成立; 即 exax2x10 对 x(0,+)恒成立; 记 g(x)exax2x1(x0) , g(x)ex2ax1h(x) ;h(x)ex2a; (i) 当时,h(x)ex2a0 恒成立,g(x)在(0,+)上单调递增, g(x)g(0)0; g(x)在(0,+)上单调递增; g(x)g(0)0,符合题意; 【同步训练】【同步训练】 1已知函数 ( )() 1 ln1fxa xax x =-+-. (1)当 3 - 2 a =时,讨论 ( ) fx的单调性; (2)当1a=时,若 ( ) 1 1g xx x =-,
14、证明:当1x时, ( ) g x的图象恒在 ( ) fx的图象上方; (3)证明: () () 2 * 222 ln2ln3ln21 ,2 2341 nnn nNn nn - +纬 + . 【思路引导】 (1) 求出函数的导数, 解关于导函数的不等式, 求出函数的单调区间即可;(2)1a=时, 1 ln2f xxx x =-( ), 1 1g xx x =-( ),设 ( )( )( ) ln1F xfxg xxx=-=-+,求出函数的导数,利用导数性质推导出 ( )( ) f xg x ,得函数单调递增, ( ) 0fx 或 ( ) ah x 或 ( )min ahx 即可,利用导数知识结合
15、单调性求出 ( )max hx或 ( )min hx 即得解,此题最大的难点在于构造法证明不等式. 2已知函数 ( ) lnfxx=. (1)求函数 ( ) fx的图象在1x=处的切线方程; (2)若函数 ( ) k yfx x =+在 2 1 , e 轹 +? 滕 上有两个不同的零点,求实数k的取值范围; (3)是否存在实数k,使得对任意的 1 , 2 x 骣 琪? 琪 桫 ,都有函数 ( ) k yfx x =+的图象在 ( ) x e g x x =的 图象的下方?若存在,请求出最大整数k的值;若不存在,请说理由. (参考数据: ln20.6931=, 1 2 1.6487e =). 【
16、思路引导】 (1)求函数的导数,利用导数的几何意义进行求解; (2)利用参数分离法lnkx x-=,转化为两个函数有 两个不同的交点即可; (3) ( ) k yfx x =+的图象 在 ( ) x e g x x =的图象的下方,等价为对任意的 1 , 2 x 骣 琪? 琪 桫 , ln x ke x xx +恒成立,利用参数分离法,结合函数的单调性和导数之间的关系进行期间即 可. (3)假设存在实数k满足题意,则不等式ln x ke x xx +对 1 , 2 x 骣 琪? 琪 桫 恒成立. 学* 即ln x kex x-对 1 , 2 x 骣 琪? 琪 桫 恒成立. 令 ( ) ln x
17、 h xex x=-,则 ( ) ln1 x h xex=- , 令 ( ) ln1 x r xex=-,则 ( ) 1 x rxe x =-, 因为 ( ) rx 在 1 , 2 骣 琪 +? 琪 桫 上单调递增, 1 2 1 20 2 re 骣 琪= -, 且 ( ) rx 的图象在 1 ,1 2 骣 琪 琪 桫 上 不间断,所以存在 0 1 ,1 2 x 骣 琪 琪 桫 ,使得 ( )0 0rx =,即 0 0 1 0 x e x -=,则 00 lnxx=-, 所以当 0 1 , 2 xx 骣 琪 琪 桫 时, ( ) r x单调递减;当 ()0, xx?时, ( ) r x单调递增,
18、 则 ( ) r x取到最小值 () 0 000 0 1 ln11 x r xexx x =-=+- 0 0 1 21 10 x x 匙- = ,14 分 所以 ( ) 0hx ,即 ( ) h x在区间 1 , 2 骣 琪 +? 琪 桫 内单调递增. 所以 11 22 1111 lnln21.99525 2222 khee 骣 琪?-=+= 琪 桫 , 所以存在实数k满足题意,且最大整数k的值为1.学* 3已知函数 ( )() 2 1 ln 2 fxaxx aR 骣 琪=-+? 琪 桫 (1)当 a=1 时,$x01,e使不等式 f(x0)m,求实数 m 的取值范围; (2)若在区间(1,+
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