陕西省西安市长安区2017-2018学年高二数学上学期期中试题[理科]（实验班）(有答案，word版).doc

1、 1 2017-2018学年度第一学期期中考试 高二级数学试题（理科实验） 时间 :100分钟 总分 :150分 一、 选择题 (本大题共 14 小题 ,每小题 5分 ,共 70 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ) 1设 ),2,3(),3,4,( zbxa ? ，且 ba/ ，则 xz 等于（ ） A.9 B. 4? C 964 D. 9? 2抛物线 22xy ? 的焦点坐标为 ( ) A.( 21? ,0) B.(0, 21? ) C.( 81? ,0) D.(0, 81? ) 3. 下列说法正 确的是 ( ) A. “若 ,1?a 则 12?a ” 的否命题是

2、“若 ,1?a 则 12?a ” B在 ABC? 中 , “ AB? ” 是“ 22sin sinAB? ” 的必要不充分条件 C. “若 tan 3? ,则 3? ” 是真命题 D. 0 ( ,0)x? ? ? ,使得 0034xx? 成立 4. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。”其意思是“有一个人走 378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了 6天后到达目的地。”请问第三天走了（ ） A. 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里 5.函数 ? ?

3、 ? ? ? ?3 s i n c o s 3 c o s s i nf x x x x x? ? ?的最小正周期是 ( ) A. 2? B. ? C. 32? D. 2? 6. 已知 2 2 2: 4 5 0 , : 2 1 0p x x q x x ? ? ? ? ? ? ?，若 p 是 q 的充分不必要条件，则正实数? 的取值范围是 ( ) A ? ?0,1 B ? ?0,2 C 30,2? ?D ? ?0,2 2 7已知点 P 在曲线 4e1xy? ?上， ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 ? 的取值范围是（ ） A 0,4?B ,42?C 3,24? ?D 3,4?8.P为双

4、曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab ? ? ?上一点 , 21,FF 为焦点 ,如果 12 75 ,PFF? 21 15 ,PF F?则双曲线的离心率为（ ） A. 6 B. 3 C. 2 D. 629用数学归纳法证明 ( 1 ) ( 2 ) ( ) 2 1 3 . ( 2 1 ) ( * )Nnn n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?时，从“ ?n k 到 1?kn ”左边需增乘的代数式为 ( ) A. 12?k B 132?kk C. 112?kk D )12(2 ?k 10.函数 21() xf x x e ? , 2,1x? 的最大值为 ( ) A. 14e

5、? B.2e C.e D. 23e 11.已知函数 ( ) 2 sin 3f x x x?，若对任意 2,2m? ， 2( 3) ( ) 0f ma f a? ? ?恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A (1,1)? B ( , 1) (3, )? ? ? C. ( 3,3)? D ( , 3) (1, )? ? ? 12.设 F为抛物线 xy 42? 的焦点， A， B， C为该抛物线上三点，若 0? FCFBFA ，则FCFBFA ? 等于 ( ) A 9 B 4 C 6 D 3 13双曲线 )0,0(12222 ? babyax的右焦点为 ），（ 02F ，设 AB、 为双曲线上关于原

6、点对称的两点 , AF 的中点为 M ， BF 的中点为 N ，若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上，直线 AB 的斜率为 377 ，则双曲线的离心率为（ ） 3 A.4 B.2 C. 5 D 3 14.设 ()fx? 是函数 ( )( )f x x R? 的导函数，且满足 ( ) 2 ( ) 0xf x f x? ?，若在 ABC? 中，C? 是钝角，则（ ） A. ? ? 22s in s in ( s in ) s inf A B f B A? B. ? ? 22s in s in ( s in ) s inf A B f B A? C. ? ? 22c o s s in ( s i

7、n ) c o sf A B f B A? D. ? ? 22c o s s in ( s in ) c o sf A B f B A? 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 .请把答案填在答题纸的相应 横线上 .） 15. 1 2-1 1 x dx? 16设 12FF、 是双曲线 22116 20xy?的两焦点，点 P 在双曲线上若点 P 到焦点 1F 的距离等于 9 ，则点 P 到焦点 2F 的距离等于 17.做一个无 盖的圆柱形水桶，若要使其体积是 27? ，且用料最省，则圆柱的底面半径为 18函数 ? ? ? ?3 3 1 ,f x ax x x R? ? ? ?若对

8、于任意 ? ?1,1x? ，都有 ? ? 0fx? 成立，则实数a 的值为 三、解答题（本大题共 5小题，共 60 分 .解答时应写出必要的文字说明或演算步骤，请在答题纸的相应 位置 作 答） 19.（本小题满分 12分） nS 为数列 na的前 n 项和 .已知 na 0? ， n n na a S2 2 4 3? ? ?. （ 1）求 na的通项公式； （ 2）设n nnb aa11?,求数列 nb的前 n 项和 . 20.（本小题满分 12分） 一辆家庭轿车在 x 年的使用过程中需要如下支出：购买轿车的费用12万元；保险费、燃油费等每年 1万元；维修保养费用 211()10 10xx?

9、万元；使用 x 年后汽车价值 4(10- )5x 万元 .在这辆汽车上的年平均支出 y （单位：万元）是使用时间 x （单位：4 年）的函数 . （ 1） 求出 y 关于使用时间 x 的函数解析式； （ 2） 随着 x 的变化，函数值 y 的变化有何规律 ;并求当 x 取何值时，函数 y 有最小值，求出最小值 . 21.（本小题满分 12 分） 如图三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中，侧面 11BBCC 为菱形， 1AB BC? . （ 1）证明： 1AC AB? ； （ 2）若 1AC AB? ， o1 60CBB?， AB BC? , 求二面角 1 1 1A AB C?的余弦值 . 2

10、2.（本小题满分 12分） 已知点 ? ?02A ?， ，椭圆? ?01: 2222 ? babyaxE 的长轴长是短轴长的 2 倍， F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 332 ， O 为坐标原点 . （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）设过点 ? ?2-0，A 的动直线 l 与椭圆 E 相交于 QP, 两点 .当 OPQ? 的面积最大时，求直线 l 的方程 . 23 （本小题满分 12分） 已知函数 ? ? 1ln1 xfx x? ? （ 1）求曲线 ? ?y f x? 在点 ? ? ?00f， 处的切线方程； （ 2）求证：当 ? ?01x? ， 时， ? ? 323xf

11、x x?； （ 3）设实数 k 使得 ? ? 33xf x k x?对 ? ?01x? ， 恒成立，求 k 的最大值 5 长安一中 2017-2018学年度第一学期期中考试 高二数学参考 答案及评分标准（理科实验） 一、选择题： (本大题共 14 小题 ,每小题 5分 ,共 70 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 A D C B B D D C D B A C B C 二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 15 2? 16 17 17 3 18. 4 三、解答题：（

12、本大题共 5小题，共 60 分） 19.解：（ 1）由 2 2 4 3n n na a S? ? ?，可知 2 1 1 12 4 3.n n na a S? ? ? ? ? 可得 221 1 12 ( ) 4n n n na a a a a? ? ? ? ? ?即 221 1 1 12 ( ) ( ) ( )n n n n n na a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于 0na? 可得 1 2.nnaa? ?又 21 1 12 4 3a a a? ? ?，解得 111( ) 3aa? ? ?舍 去 ， 所以 ?na 是首相为 3，公差为 2的等差数列，通项公式为

13、2 1.nan? （ 2）由 21nan?，11 1 1 1 1( ) .( 2 1 ) ( 2 3 ) 2 2 1 2 3nnb a a n n n n? ? ? ? ? ? ?设 数 列 ?nb 的前 n 项 和 为 nT ，则12nnT b b b? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) .2 3 5 5 7 2 1 2 3 3 ( 2 3 )nn n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20.解 ：（ 1） ? ?20 .1 1 .9 0y x xx? ? ? ? 5分 （ 2）由 ? ?20 .1 1 .9 0y x xx? ? ? ?，求得

14、 ? ?22 0.1 0yxx? ? ?当22 0.1 0y x? ? ?时， ? ?0,2 5x? ； 当22 0.1 0y x? ? ?时， ? ?2 5,x? ? ； 当 25x? 时，函数有最小值为 19 4 5 2.7910? ? 12 分 6 21.解 ： (1)连结 1BC ，交 1BC于 O，连结 AO因为侧面 11BBCC 为菱形，所以 1BC 1BC? ，且 O 为 1BC 与 1BC 的中点又 1AB BC? ，所以 1BC? 平面 ABO ，故 1BC AO?又 1BO CO? ，故 1AC AB? . ? 6分 （ 2）因为 1AC AB? 且 O为 1BC的中点，所

15、以AO= 又因为 AB= ，所以 BOA BOC? ? 故 OA ，从而 OA， OB， 1OB 两两互相垂直 以 O为坐标原点， OB的方向为 x轴正方向， OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz 因为01 60CBB?，所以 1CBB? 为等边三角形又 AB= ，则 30,0, 3A?， ? ?1,0,0B ，1 30, ,03B?， 30, ,03C?1 330, ,AB?，11 31, 0 , ,3A B A B? ? ?1131, , 03B C B C ? ? ? ?设 ? ?,n x y z? 是平面的法向量，则 11100n ABn AB? ?，即33 0333

16、03yzxz? ? ?所以可取 ? ?1, 3, 3n? 设 m 是平面的法向量，则 111100m ABn BC? ?，同理可取 ? ?1, 3, 3m ? ? 10分 则 1co s ,7nmnm nm?，所以二面角 1 1 1A AB C?的余弦值为 17 .? 12分 22.解 ： (1) 设 ? ?,0Fc ，由条件知 2ab? ，得 3c? 又 32ca? ， 所以 a=2 ， 2 2 2 1b a c? ? ? ,故 E 的方程 2 2 14x y?. ? 4分 （ 2）依题意当 lx? 轴不合题意，故设直线 l： 2y kx?，设 ? ? ? ?1 1 2 2, , ,P x

17、y Q x y 7 将 2y kx?代入 2 2 14x y?，得 ? ?221 4 1 6 1 2 0k x kx? ? ? ?， 当 216(4 3) 0k? ? ? ?，即 2 34k ? 时， 21,2 28 2 4 314kkx k? ?从而 22212 24 1 4 31 14kkP Q k x x k? ? ? ? ? 8分 又点 O到直线 PQ 的距离22 1d k? ? ，所以 ? OPQ 的面积 221 4 4 32 1 4O P Q kS d P Q k? ? ?， 设 243kt?，则 0t? ，244 144O P QtS tt t? ? ? ? ?， 当且仅当 2t? ， 72k? 等号成立，且满足 0? ，? ? 10 分 所以当 ? OPQ的面积最大时， l 的方程为： 7 22yx? 或 7 22yx? ? . ? 12 分 23.解： （ 1）2( ) l n , ( 1 , 1 ) , ( ) , ( 0 ) 2 , ( 0 ) 01 1xf x x f x f fx x? ? ? ? ? ? ? ?，曲线 ? ?y f x? 在点 ? ? ?00f， 处的切线方程为 20xy?； ? 4分 （ 2）当 ? ?01x?