聊城大学电磁场-第三章-静态场及其边值问题的解课件.ppt

1、标题添加点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容总体概述点击此处输入相关文本内容标题添加点击此处输入相关文本内容 本章内容 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 静态电磁场：场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 3.1 静电场分析 学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的

2、能量 3.1.5 静电力2.边界条件0ED微分形式：ED本构关系：0)()(21n21nEEDDeeS0ddlESDCSq积分形式：0)(0)(2121EEeDDenn02t1tn2n1EEDDS或2t1tn2n1EEDD或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即 ，则0S介质2 2介质1 121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为 0nnEDeeS0tnEDS或 场矢量的折射关系 导体表面的边界条件teED0E由即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称

3、为静电场的标量电位或简称电位。1.电位函数的定义E3.1.2 3.1.2 电位函数02.电位的表达式对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：1()()d4VrrVCR故得点电荷的电位：()4qrCR04abqCUba()1()d4lCrrlCRd)1)(41d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR线电荷的电位：rrR点电荷的电位：3.电位差两端点乘 ，则有ldE将d)ddd(ddyyyyxxllE上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电

4、位处。电位差也称为电压，可用U 表示。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。)()(ddQPlEQPQPP、Q 两点间的电位差电场力做的功EqF1qEF 静电位不惟一，可以相差一个常数，即)(CC选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。同一个问题只能有一个参考点。4.电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即5.利用电位函

5、数 求解电场强度E若已知电荷分布，则可利用求电位公式（3.1.113.1.14）求得电位函数(r),再利用 求得电场强度E(r)。这样求解比直接求E(r),要简单些，因为(r),求解通过标量积分，而E(r)是矢量积分。E 例 3.1.1 求电偶极子的电位.解 在球坐标系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二项式展开，由于，得dr,cos21drr302020444cos)(rrrrqdrrpep代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp+q电偶极子zodq1r2rr),(rP 由球坐标

6、系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度)sincos2(430eerrq)sin11()(rerererEr 解 选定均匀电场空间中的一点O为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为r，则若选择点O为电位参考点，即 ，则()0O 在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即 ，则有00zEe E0E0ExzOPr 例3.1.2 求均匀电场的电位分布。rEl dEl dEOPOPPO00)()(cos)(00rEErerEPzrEP)(zree z 在圆柱坐标系中，取 与x 轴方向一致，即 ，而 ，故 00 xEe E0Ecos)()(00EzeeEerEPzx在均匀介质中，有5.电位的微分方程EED

7、2在无源区域，002标量泊松方程拉普拉斯方程其中zeyexezyx)()(2zeyexezeyexezyxzyx222222zyx求解上述两阶微分方程还需要给出对应两个的边界条件6.静电位的边界条件 设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为1和2。当两点间距离l0时 导体表面上电位的边界条件：0dlim21021PPlElSe)(21nDDD由 和12媒质2媒质121l2P1P 若介质分界面上无自由电荷，即0Snn1122常数，SnSnn112221 例3.1.3 两块无限大接地导体平板分别置于 x=0 和 x=a 处，在两板之间的 x=b 处有一面密度为 的均匀电荷分布，

8、如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。0S 解 在两块无限大接地导体平板之间，除 x=b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程212d()0,(0)dxxbx222d()0,()dxbxax111222()()xC xDxC xD方程的解为obaxy两块无限大平行板0S1()x2()x0110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()(),(0)()(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()()()Sxa bE xxea1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用边界条件，有xb12()(),

9、bb0210()()Sx bxxxx 处，最后得0 x 处，1(0)0 x a2()0a 处，所以0220()()SxbE xxea 由此解得电容器广泛应用于电子设备的电路中：在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用。通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路。在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。3.1.3 导体系统的电容与部分电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即qC 1.电容 孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（

10、q）的导体组成的电容器，其电容为12qqCU 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。(1)假定两导体上分别带电荷+q 和q；(2)计算两导体间的电场强度E；计算电容的步骤：UqC (4)求比值 ，即得出所求电容。21dlEU (3)由 ，求出两导体间的电位差；解：设内导体的电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心导体间的电压04abqCUba球形电容器的电容04Ca当 时，b 例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常

11、数为的均匀介质。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容abo 例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且D a，求传输线单位长度的电容。l 解 设两导线单位长度带电量分别为 和 。由于 ，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为lDa011()()2lxE xexDx两导线间的电位差210011d()dln2DallaDaUElxxDxa故单位长度的电容为001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa 例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内外导体间

12、填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。()2lEe内外导体间的电位差1()dd2bblaaUEell 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为12(F/m)ln(/)lCUb aab同轴线ln(/)2lb a 2.部份电容在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的 概念加以推广，引入部分电容的概念。在由N个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位为1(1,2,)Nii jjjqiN式中：(1,2

13、,)iiiN 自电位系数()i jij 互电位系数（1）电位系数 i j 在数值上等于第i 个导体上的总电量为一个单位、而其余 导体上的总电量都为零时，第 j 个导体上的电位，即i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即i j=j i。1110(,1,2,)jjNii jjqqqqi jNqi j 0；电位系数的特点：若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为 1(1,2,)Nii jjjqiN 式中：(1,2,)iiiN 自电容系数或自感应系数()i jij 互电容系数或互感应系数（2）电容系数 i j 在数值上等于第

14、j个导体上的电位为一个单位、而其余导 体接地时，第 i 个导体上的电量，即 i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即i j=j i。1110(,1,2,)jjNiijjqi jNi i 0、；0()ijij 电容系数的特点：将各导体的电量表示为 式中：（3）部分电容(1,2,)iN()Nijiji iij iCC111()()NNNNii jjijjijiijiijijijijjj ijq 导体 i 与导体 j 之间的部分电容()ijijCij 导体 i 与地之间的部分电容 NjjiiiC1 Ci i 在数值上等于全部导

15、体的电位都为一个单位时，第 i 个导 体上的电量；Ci j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有对称性，即Ci j=Cj i。Ci j 0；Ci j 在数值上等于第 j 个导体的电位为一个单位、其余 导体都接地时，第 i 个导体上的电量；()ij 部分电容的特点：在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极板上所带电荷分别为 ，则比值 称为这两个导体间的等效电容。q/q U（4）等效电容如图所示，有三个部分电容112212CCC、导线 1 和 2 间的等效电容为11221121122C CCC

16、CC导线 1 和大地间的等效电容为12222111222C CCCCC导线 2 和大地间的等效电容为12113221211C CCCCC1 12 212C22C11C大地大地上空的平行双导线 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。3.

17、1.4 静电场的能量 1.静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为 q、电位为 。充电过程中某一时刻的电荷量为q、电位为。(01)当增加为(+d)时，外电源做功为:(q d)。对从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为101d2qq 根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电场能量We ，即 对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元dV中的电荷dV具有的电场能量为qW21eVWd21de故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有iq 第i 个导体所带的电荷i 第i 个导体的电位式中：iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21

18、eVVWd21eSSSWd21e2.电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。EDw21e电场能量密度：e1d2VWD E V电场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有2e111222wD EE EE 由于体积V外的电荷密度0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S 无限扩大时，则有211 O(O()DRR)、2111d O(.d)O()0SSDSSR RR故11dd22SVDSE D V 推证：()DDD()ddVSDVDSE D R

19、0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDV 例3.1.7 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解：方法一，利用 计算 VVEDWd21e 根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二：利用 计算 VVWd21e 先求出电位分布 故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV

20、已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来计算静电力。虚位移法：假设第i 个带电导体在电场力Fi 的作用下发生位移dgi，则电场力做功dAFi dgi，系统的静电能量改变为dWe。根据能量守恒定律，该系统的功能关系为edddSiiWF gW其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。3.1.5 静电力1.各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量11dd()

21、dNNSiiiiiiWqqe1111dd()d22NNiiiiiiWqq系统所改变的静电能量即ed2dSWW此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS0，因此2.各带电导体的电荷不变eddiiF gW 式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。eddiiF gWeiiWFg 不变eiiWFg q不变0()lx bbxCdd所以电容器内的电场能量为220e001()22bUWCUlxxd02e00()2xUWbUFxd不变由 可求得介质片受到的静电力为eiiWFg不变 解 平行板电容器的电容为部分填充介质的平行板电容器dbU0lx由于0，所以介质片所受到的力有将其拉进电容器的

22、趋势 例3.1.8 有一平行金属板电容器，极板面积为lb，板间距离为d，用一块介质片（宽度为b、厚度为d，介电常数为）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。22e022()qdqWCblxx2e020()2()xqWdqFxblxx 不变000()bUqCUlxxd200()2xbUFd 此题也可用式 来计算eiiWFg q不变设极板上保持总电荷q 不变，则由此可得由于同样得到3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件 3.2.2 恒定电场与静电场的比拟 3.2.3 漏电导 由J J E E 可知，导体中若存

23、在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。恒定电场与静电场的重要区别：（1 1）恒定电场可以存在于导体内部。（2 2）恒定电场中有电场能量的损耗,要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件EJ0d0dlESJCS00EJ1.1.基本方程 恒定电场的基本方程为微分形式：积分形式：)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度)(rE 线性各向同性导电媒质的本构关

24、系0)(EEJ 恒定电场的电位函数0E0 EE0 J由0)(02若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中没有体分布电荷2.恒定电场的边界条件0dlEC0dSJS媒质2 2媒质1 121212E1Ene0)(21nJJe0)(21nEEe 场矢量的边界条件2nn1JJ即2t1tEE即 导电媒质分界面上的电荷面密度n2211222111n21n)()()(JeeSJJDD场矢量的折射关系212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEE 电位的边界条件nn221121,恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等

25、位面；ab11、说明：媒质2 2媒质1 12122E1E)(12媒质2 2媒质1 12012Ene1E)0(1 如2 1、且 290，则 10，即电场线近似垂直于与良导体表面。此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；若媒质1为理想介质，即 10，则 J1=0，故J2n=0 且 E2n=0，即导体 中的电流和电场与分界面平行。3.2.2 恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。恒定电场

26、与静电场的比拟基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE静电场（区域）00d,0dlESJCS0,0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系位函数边界条件恒定电场（电源外）对应物理量静电场EEDJqI恒定电场GC0d,0dlESDCS 例3.2.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 1、1 和 2、2，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。解：极板是理想导体，为等位面，电流沿z 方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11,22,zo12121 12212()ddUUUEdE dJ12121122,JJJJEE

27、12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ上下21122121212112()SDDJUdd 介 例3.2.2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为 1 和 2、电导率为 1 和 2。设内导体的电压为U0，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。J1212I外导体内导体介质2 2介质1abc11、22、0U （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,则由 可得电流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介质中的电场222()2JIEebc 解 电

28、流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度 的表达式，然后求出 和 ，再由 确定出电流 I。J012ddbcabUEE1E2E12021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为120212ln()ln()UIb ac b 01212ddln()ln()22bcabIbIcUEEab由于于是得到12011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()Sc

29、UeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD （2）由 可得，介质1内表面的电荷面密度为介质2外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为J2112I 工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流 J 存在。漏电流与电压之比为漏电导，即UIG 其倒数称为绝缘电阻，即IUGR13.2.3 漏电导(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度 矢量J；由J=E 得到 E;由

30、，求出两导 体间的电位差；(5)求比值 ，即得出(2)所求电导。21dlEUUIG/计算电导的方法一：计算电导的方法二：(1)假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布；(3)由 得到E;(4)由 J=E 得到J;(5)由 ，求出两导体间 电流；(6)求比值 ，即得出所 求电导。ESISJdUIG/计算电导的方法三：静电比拟法：CG 例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l，其间媒质的电导率为、介电常数为。解：直接用恒定电场的计算方法电导)/ln(2ablUIG绝缘电阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlElba则IlIJ2lIJE2设

31、由内导体流向外导体的电流为I。012222000,0U 方程通解为21CC 例3.2.4 在一块厚度为h 的导电板上，由两个半径为r1 和 r2 的圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。解：设在沿 方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿 方向流动，而且电流密度是随 变化的。但容易判定电位 只是变量 的函数，因此电位函数 满足一维拉普拉斯方程代入边界条件可以得到10020/,CUCU环形导电媒质块r1hr2 0J电流密度00UJEe两电极之间的电流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故沿 方向的两电极

32、之间的电阻为0021()ln(/)URIhrr000UU所以00UEee 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位3.3.3 电感3.3.4 恒定磁场的能量3.3.5 磁场力 3.3 恒定磁场分析0HJB微分形式:0dddSSCSBSJlH1.基本方程BH2.边界条件本构关系：SJHHeBBe)(0)(21n21nSJHHBBt2t12n1n0或若分界面上不存在面电流，即JS0，则积分形式:0)(0)(21n21nHHeBBe或002tt1n2n1HHBB3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 矢量磁位的定义 磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟

33、一确定的，它加上任意一个标量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由AA 0BBA 即恒定磁场可以用一个矢量函数的旋度来表示。磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确定的A，可以对A的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。0A()AAA 1.恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位 3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 磁矢位的微分方程在无源区：ABHJ0A 0J JA202 A矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表达式3()1()d()()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1()()d4VJ rVR()111()()()()(

34、)()J rJ rJ rJ rRRRR 31()RRR 磁矢位的边界条件（可以证明满足 ）0A对于面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为 利用磁矢位计算磁通量：0A 12AA12()nSeHHJ/HA 121211()nSeAAJ细线电流：CRlIrAd4)(面电流：SSSRrJrAd)(4)(由此可得出VVRrJrAd)(4)(SCSBlAddCSSlASASBddd0dSSA2t1tAA 2n1nAA 例 3.3.1 求小圆环电流回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为a，回路中的电流为I。解 如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均与 无关，计算 xO z 平面上的矢量磁位与磁场将

35、不失一般性。(sincos)rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos)dxyle aeea 222221 2(sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圆环电流aIxzyrRdlrIPO对于远区，有r a，所以21 21 2112121()sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001()(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerr202sin4yI aer由于在 =0 面上 ，所以上式可写成yee于是得到20022()sinsin44I aISA reerr11(sin)

36、()sinrBAeAerArrr 03(2cossin)4rISeer式中S=a 2是小圆环的面积。载流小圆环可看作磁偶极子，为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则mpIS0m2()sin4pA rer或 0m3()4A rprr0m3()(2cossin)4rpB reer 解：先求长度为2L 的直线电流的磁矢位。电流元 到点 的距离 。则22()RzzddzI le I z(,)Pz 0221()d4()LzLIA rezzz220ln()4LzLIezzzz 22022()()ln4()()zzLzLIezLzL 例 3.3.2 求无限长线电流 I 的磁矢位，设电流沿+z 方向流动。与计算无

37、限长线电荷的电位一样，令 可得到无限长线电流的磁矢位 L 01()ln2zIA reCxyzL-L(,)z zddzI le I zR2.恒定磁场的标量磁位 一般情况下，恒定磁场只能引入磁矢位来描述，但在无传导电流（J0）的空间 中，则有即在无传导电流（J0）的空间中，可以引入一个标量位函数来描述磁场。标量磁位的引入0HmH 标量磁位或磁标位 磁标位的微分方程00,()BBHM将 代入mH m0H2mm0 m0HM m0M 等效磁荷体密度 与静电位相比较，有 标量磁位的边界条件m0 n21()SeMM 0m0BHHB 、2m0在线性、各向同性的均匀媒质中 标量磁位的表达式01()()d4Vrr

38、VRmm0()1()d4VrrVRm1m212nn和m1m2或2mm10mSnn 和m1m2式中：等效磁荷面密度静电位 磁标位 磁标位与静电位的比较0,ED0,0HBE mH PP m0M 2P0()2mm0 m0 n21()SeMM Pn21()SePP m1m2m1m212,nn121212,nn静电位 0 PEDP磁标位 m 0mHB0M22m00m00m,qa Mqa Mq 上下上当r l 时，可将磁柱体等效成磁偶极子，则利用与静电场的比较和电偶极子场，有mm33001144prp rrr 2mm00zpqlpq leaM l：其其中中0mB 解：M0为常数，m=0，柱内没有磁荷。在柱

39、的两个端面上，磁化磁荷为m00m00,MM 上下R1R2rPzx-l/2l/2M 例3.3.3半径为a、长为l 的圆柱永磁体，沿轴向均匀磁化，其磁化强度为 。求远区的磁感应强度。0zMe M1.磁通与磁链 ii3.3.3 电感 单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和 CI 细回路 粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量 o；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。iCI o粗回路 设回路 C 中的电流为I，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链为，则磁链 与

40、回路 C 中的电流 I 有正比关系，其比值IL称为回路 C 的自感系数，简称自感。外自感ILiiILoo2.自感 内自感；粗导体回路的自感：L=Li+Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。自感的特点：解：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I，由安培环路定理0ii22,22IIHBaa穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS=d的磁通为0ii2ddd2IBSa(0)a 例3.3.4 求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。得与di 交链的电流为22IIa 则与di 相应的磁链为30ii4ddd2IIIaabadIiB222

41、2idaIaIIlHC因此内导体中总的内磁链为300ii40dd28aIIa0ii8LI故单位长度的内自感为再求内、外导体间的外自感。00ooddln22baIIba00ioln82bLLLa02IB0ooddd2I则o0oln2bLIa故单位长度的外自感为单位长度的总自感为 例3.3.5 计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为a，两导线的间距为D，且 D a。导线及周围媒质的磁导率为0。00o11d()dln2DaaIIDaBSxxDxa011()()2yIB xexDx穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为 解 设两导线流过的电流为I。由于D a，故可近似地认为导线中

42、的电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的磁感应强度为xyzxDaPII于是得到平行双线传输线单位长度的外自感o00olnlnD aDLIaa00ioln4DLLLa00i284L 两根导线单位长度的内自感为故得到平行双线传输线单位长度的自感为 对两个彼此邻近的闭合回路C1 和回路 C2，当回路 C1 中通过电流 I1 时，不仅与回路 C1 交链的磁链与I1 成正比，而且与回路 C2 交链的磁链 12 也与 I1 成正比，其比例系数12121IM 称为回路 C1 对回路 C2 的互感系数，简称互感。21212IM 3.互感同理，回路 C2 对回路 C1

43、 的互感为C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。满足互易关系，即M12=M21 当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数 M 为正值；反之，则互感系数 M 为负值。互感的特点：4.纽曼公式 如图所示的两个回路 C1 和回路 C2，回路 C1中的电流 I1 在回路 C2 上的任一点产生的矢量磁位111021d4)(CRlIrA回路 C1中的电流 I1 产生的磁场与回路 C2 交链的磁链为C1C2I1I2Ro1dl2dl2r1r纽曼公式 2121210121dd4dCCCRllIlA同理 21

44、12021dd4CCRllM故得 1221012dd4CCRllM 122101221dd4CCRllMMM02IBe0001dd dd22dbzdbSddIIzBSz由图中可知()tan(3)3()zbdbd长直导线与三角形回路Idz60bddSz穿过三角形回路面积的磁通为 解 设长直导线中的电流为I，根据安培环路定理，得到 例3.3.6 如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。031()d2dbdIbd03()ln(1)2Ibbdbd03()ln(1)2bMbdbId因此故长直导线与三角形导体回路的互感为 例3.3.7 如图所示，两个互相平行且共轴的圆形线圈C1和 C2，

45、半径分别为a1和 a2，中心相距为d。求它们之间的互感。2221 2211212212cos()rrdaaa a于是有 2201221212221 200121221cos()dd42cos()a aMdaaa a 20122221 201212cos d22cos a adaaa a 解 利用纽曼公式来计算，则有两个平行且共轴的线圈2Cd1a2a1C1dl2dl21xyz121式中=21为 与 之间的夹角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且1dl2dl 12122121021210ddcos4dd4CCCCrrllrrllM 若d a1，则2221 2221 21 21212122222

46、2cos2cos 1a adaaa adada221 2122222cos1a adada于是 222012012122222 3 2220222cos1cos d22a aa aa aMdadada 一般情况下，上述积分只能用椭圆积分来表示。但是若d a1或 d a2 时，可进行近似计算。3.3.4 恒定磁场的能量1.磁场能量 在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势做功所供给的能量，就全部转化成磁场能量。电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用而运动，表明恒定 磁场具有能量。磁场能量是在建立电流的过程中，由电源供给的。当电流从 零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因 而必须有外加

47、电压克服回路中的感应电动势。假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗。假定在恒定电流建立过程中，电流的变化足够缓慢，没有辐 射损耗。设回路从零开始充电，最终的电流为 I、交链的磁链为。在时刻 t 的电流为i=I、磁链为=。(01)根据能量守恒定律，此功也就是电流为 I 的载流回路具有的磁场能量Wm，即对从0 到 1 积分，即得到外电源所做的总功为外加电压应为所做的功101dd2WWII dddddddWu qi tiIt 当增加为(+d)时，回路中的感应电动势:t ddin2m21d2121LIlAIIWCtuddin 对于N 个载流回路，则有对于体分布电流，则有例如，对于两个电流回路 C1 和回

48、路C2，有回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能21222212112111md)(21d)(21CClIAAlIAAW22212221111121212121IIII212222112121IMIILILjCjjNjjjNjjlAIIWd212111mVVAJWd21m2.磁场能量密度 从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。磁场能量密度：磁场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间对于线性、各向同性介质，则有m12wB Hm1d2VWB H V2m111222wB HH HH2m111ddd222VVVWB H VH H VHV若电流分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时

49、，则有 故 推证：BA JHHAAHHA)(RSJ0J 1()d2VA HAHVSVSHAVHAd)(d)(SVSHAVHBd)(21d21)1O(),1O(2RHRA0)1O()d11O(d)(2RSRRSHASSVAHVAJWVVd21d21m 例3.3.8 同轴电缆的内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为 b 和 c，如图所示。导体中通有电流 I，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。解：由安培环路定理，得2222202220IeaaIeabHIcebccbcabc22220m322()()2 d22cbIcWcb 三个区域单位长度内的磁场能量分别为200m120()2 d221

50、6aIIWa 2200m2()2dln224baIIbWa 24220222223ln4()4()Icccbcbbcb单位长度内总的磁场能量为mm1m2m3222422000222223lnln1644()4()WWWWIIIbcccbacbbcb单位长度的总自感422000m22222223lnln822()4()WbcccbLIacbbcb内导体的内自感内外导体间的外自感外导体的内自感3.3.5 磁场力 SmdddiiWF gW 假定第i 个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移dgi 。此时，磁场力做功d AFi dgi，系统的能量增加dWm。根据能量守恒定律，有式中dWS是与各电流回路相连