统计物理学基础课件.ppt

1、1热是人类最早发现的一热是人类最早发现的一种自然力，是地球上一种自然力，是地球上一切生命的源泉。切生命的源泉。恩格斯恩格斯2 热学的基本内容热学的基本内容一个系统一个系统两个方面两个方面两种途径两种途径两种方法两种方法若干规律若干规律热系统（气体系统）热系统（气体系统）系统的状态系统的状态系统的过程系统的过程宏观宏观微观微观热力学方法热力学方法统计力学方法统计力学方法宏观宏观微观微观热力学方法热力学方法统计力学方法统计力学方法热学是研究物质热现象规律的学科热学是研究物质热现象规律的学科3第第20章统计物理学基础章统计物理学基础宏观物体是由大量不停地运动的分子组成。宏观物体是由大量不停地运动的分

2、子组成。用牛顿力学求解用牛顿力学求解每个质点的运动每个质点的运动，实际上实际上不可能。不可能。热现象：热现象：与宏观物体的冷热状态相联系的自然现象与宏观物体的冷热状态相联系的自然现象研究热现象的性质和规律研究热现象的性质和规律 热学热学实验实验模型模型普遍性和可信性普遍性和可信性 1.热力学热力学宏观理论宏观理论热力学三大定律热力学三大定律2.2.统计统计物理物理微观理论微观理论统计方法统计方法逻辑推理逻辑推理统计规律统计规律揭示热现象微观本质揭示热现象微观本质知其然而不知其所以然知其然而不知其所以然4物质的微观模型物质的微观模型1.1.宏观物体由大量微粒宏观物体由大量微粒分子分子(原子原子)

3、组成的组成的23-16.022 10 molAN 2.2.物质的分子在永不停息地做无序热运动物质的分子在永不停息地做无序热运动3.3.物质的分子存在相互作用力物质的分子存在相互作用力扩散扩散布朗运动布朗运动()stfstrr915s 47t 合力合力斥力斥力引力引力Ofdr0r20.1 20.1 统计规律与概率理论统计规律与概率理论5 统计方法的一般概念统计方法的一般概念20.1.1.20.1.1.伽尔顿板实验伽尔顿板实验:-大量偶然事件整体所遵从的规律大量偶然事件整体所遵从的规律.伽尔顿板实验伽尔顿板实验:单个粒子运动单个粒子运动-偶然事件偶然事件 (落入哪个槽落入哪个槽)大量粒子运动大量粒

4、子运动-统计规律统计规律(粒子在槽中的分布粒子在槽中的分布)气体系统的特点：大量，杂乱无章（布朗运动），气体系统的特点：大量，杂乱无章（布朗运动），无法建立动力学方程无法建立动力学方程实验发现，大量分子运动符合统计规律实验发现，大量分子运动符合统计规律伽尔顿板伽尔顿板 视频视频6统计规律特点统计规律特点:(2)(2)是与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律是与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律.(3)(3)与系统所处宏观条件有关与系统所处宏观条件有关.(4)(4)存在起伏存在起伏(涨落涨落)(1)(1)对大量偶然事件有效对大量偶然事件有效,对少量事件不适用。对少量事件不适用。单个

5、粒子遵循牛顿定律单个粒子遵循牛顿定律;大量粒子遵从统计规律大量粒子遵从统计规律 -牛顿运动定律无法说明牛顿运动定律无法说明720.1.2 20.1.2 概率（几率）的基本性质概率（几率）的基本性质一、概率的概念一、概率的概念1.随机现象随机现象 现象发展演化的结果现象发展演化的结果不能事先预言不能事先预言，结局，结局不是唯一的，这样的现象称为随机现象。不是唯一的，这样的现象称为随机现象。2.随机事件随机事件 随机现象可以出现随机现象可以出现多种不同多种不同的结果，这些的结果，这些结果中的每一个称为一个随机事件。结果中的每一个称为一个随机事件。3.统计规律性统计规律性 在一定条件下，就大量随机事

6、件的在一定条件下，就大量随机事件的整体整体而言，而言，具有较具有较稳定的特性稳定的特性，存在着必然的、确定的规律，存在着必然的、确定的规律，这就是统计规律性。这就是统计规律性。统计规律性包容着统计规律性包容着单个单个随机事件的随机事件的偶然性偶然性，统计规律必然伴随有统计规律必然伴随有涨落涨落现象。现象。8实验总观测次数为实验总观测次数为N N,其中出现结果其中出现结果 A A 的次数为的次数为 N NA A 事件事件A A 出现的概率出现的概率 limAWNNN概率是用来衡量偶然事件出现可能性大小的量概率是用来衡量偶然事件出现可能性大小的量9概率的基本性质概率的基本性质(1)(1)01WW=

7、0W=0为不可能事件为不可能事件;W=1;W=1为必然事件为必然事件.(2)A,B(2)A,B为互斥事件为互斥事件,不可能同时出现不可能同时出现,则出现则出现A A或或B B的总概率的总概率:ABWWW-概率叠加原理概率叠加原理（3 3）归一化条件）归一化条件:对所有可能发生的事件的概率之和必为对所有可能发生的事件的概率之和必为1.1.11lim1nniiiNiiNNNWNNN或或1dw(4)J,K(4)J,K为相容事件为相容事件(可同时出现），则同时发生可同时出现），则同时发生J J和和K K的概率的概率.KJWWW-概率乘法定理概率乘法定理limAWNNN1020.1.3 20.1.3 统

8、计平均统计平均 系统的宏观量是在测量时间内系统的宏观量是在测量时间内,系统所有微观状系统所有微观状态中相应的微观量的统计平均值态中相应的微观量的统计平均值!统计平均值统计平均值1122121212limlimlim.limnnNNNnnnNA NA NA NNNAAANNNNNNAN 12nNNNN 对物理量对物理量M进行进行N次测量，其统计平均值为次测量，其统计平均值为11221nnniiiAAWA WA WAW lim(iiiNNWAN即 出现的概率）所以所以11热学的研究对象：热学的研究对象：大量大量微观粒子微观粒子组成的宏观体系组成的宏观体系热力学系统热力学系统 或简称或简称系统系统宏

9、观量宏观量:如如:气体的气体的 V,P,T.V,P,T.描述系统整体特征的物理量描述系统整体特征的物理量.微观量微观量:,vpm如如:粒子的粒子的系统中描述单个粒子特征的物理量系统中描述单个粒子特征的物理量.宏观状态参量宏观状态参量 阿伏伽德罗常数阿伏伽德罗常数 NA=6.023 10 23/mol20.2.1 20.2.1 微观量与宏观量微观量与宏观量20.2 温度与压强温度与压强宏观量是微观量的统计平均值宏观量是微观量的统计平均值广延量：广延量：有累加性有累加性(如质量、体积如质量、体积)强度量：强度量：无累加性无累加性(如温度、压强如温度、压强)12平衡态：平衡态：在不受外界影响的条件下

10、，一个系统的在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质宏观性质不随时间改变不随时间改变的状态。的状态。动态平衡动态平衡20.2.2 20.2.2 平衡态平衡态与非平衡态与非平衡态TVp,TVp,真真 空空 膨膨 胀胀1）单一性单一性;2）稳定性；稳定性；3）自发过程的终点；自发过程的终点；4）热动平衡热动平衡.平衡态的特点平衡态的特点系统处于系统处于平衡态平衡态时时,系统的系统的宏观量宏观量具有具有稳定稳定值值,而单个粒而单个粒子的子的微观量微观量在不断在不断变化变化.13平衡态是概率最大的状态平衡态是概率最大的状态a b c d 4a b c d 4个可分辨热运动粒子，在等容体个可分辨热运动

11、粒子，在等容体A,BA,B两室中：两室中：（中间隔板打开）（中间隔板打开）A AB BA AB Ba b c da b c da b ca b cd da b da b dc ca c da c db bb c db c da aa b a b c dc da ca cb db db cb ca da da b a b c dc da ca cb cb cb db da da da b ca b ca b da b da c da c db c db c dd dc cb ba aa b c da b c d1 14 46 64 41 1(平衡态概率最大平衡态概率最大)NNNNln!ln斯特令

12、公式斯特令公式)!(!xNxN)!ln(!ln!lnlnxNxN)()ln()(lnlnxNxNxNxxxNNN)ln()(lnlnxNxNxxNN0)(ln由0)ln()1()1()1(lnxxNxxNxNxxx0)ln(lnxxNx)ln(lnxNx2Nx 1420.2.3 20.2.3 理想气体压强理想气体压强思路思路:压强由大量气体压强由大量气体分子不断碰撞容器壁分子不断碰撞容器壁而产生而产生.压强为大量气体分子在单位时间内作用在器壁压强为大量气体分子在单位时间内作用在器壁 单位面积上的单位面积上的平均冲量平均冲量.建立理想气建立理想气体微观模型体微观模型利用牛顿运动定律处理单个粒子的

13、运动利用牛顿运动定律处理单个粒子的运动利用统计规律处理大量粒子的行为利用统计规律处理大量粒子的行为得到得到理想气体压强公式理想气体压强公式21233tpnmvn推导推导:理想气体微观模型理想气体微观模型.(1)(1)气体分子看成质点气体分子看成质点(2)(2)除碰撞外除碰撞外,忽略其它力忽略其它力(3)(3)完全弹性碰撞完全弹性碰撞15速度在速度在iiivdvv的分子一次碰撞的分子一次碰撞d ds s后的动量变化为后的动量变化为ixmv2d dt t时间内时间内,凡是在底面积为凡是在底面积为d ds s,高为高为v vixixd dt t 的斜柱体内的斜柱体内,iiivdvv的分子都能与的分子

14、都能与 dsds 相碰相碰.这些分子作用于这些分子作用于 d ds s 冲量为冲量为 推导理想气体压强公式用图推导理想气体压强公式用图v vivvidsx xvviv vivi=2vix而且速度在而且速度在,2dtdsvnmvixiixd dt t内各种速度分子对内各种速度分子对dsds 的总冲量为的总冲量为:02ixvixiixdtvdsnmvdIv vd ds sx xv vixixd dt tiixivviixdsdtvmndsdtnmvii20,0222116因而因而 压强压强iixivmndtdsdIp2由于由于,22nvnvixix所以所以2212123323tpnmvnmvn其中

15、其中212tmv为为分子的平均平动动能分子的平均平动动能这些分子作用于这些分子作用于 d ds s 冲量为冲量为,2dtdsvnmvixiixd dt t内各种速度分子对内各种速度分子对d ds s 的总冲量为的总冲量为:iixiiiixvixiixdsdtvmndsdtnmvdtvdsnmvdIix2202212222213xyzvvvv平衡状态下分子沿任何平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势方向的运动都不占优势17推导中用到的统计概念和统计假设推导中用到的统计概念和统计假设:分子以各种方向入射角去碰分子以各种方向入射角去碰d ds s的的概率相同概率相同平衡状态下分子沿任何方向的运动都

16、不占优势，因而有平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势，因而有:讨论讨论:压强公式将宏观量压强公式将宏观量 p 和微观量和微观量 n,n,t t 的统计平均的统计平均值联系在一起值联系在一起 注意推导中的思维方法注意推导中的思维方法 气体分子相互碰撞时气体分子相互碰撞时,一个分子失去多少动量必有另一个分子失去多少动量必有另一个分子得到相同的动量一个分子得到相同的动量.分子相互碰撞导致分子与分子相互碰撞导致分子与d ds s碰撞的次数增加和减碰撞的次数增加和减少的机会是相同的少的机会是相同的,推导推导未考虑未考虑分子间的相互分子间的相互碰撞碰撞.222231vvvvzyx18二、温度的定义二、

17、温度的定义热平衡热平衡热接触热接触传热传热(能量能量)系统系统1 1平衡态平衡态系统系统2 2平衡态平衡态传热停止传热停止a系统系统1 1平衡态平衡态a系统系统2 2平衡态平衡态bb热平衡热平衡热平衡定律热平衡定律 热力学第零定律热力学第零定律实验表明：实验表明：如果两个热力学系统都与第三如果两个热力学系统都与第三个热力学系统处于热平衡，则个热力学系统处于热平衡，则它们彼此处于热平衡它们彼此处于热平衡温度温度决定一个热力学系统是否与其他系统处于热平衡的宏观决定一个热力学系统是否与其他系统处于热平衡的宏观性质。性质。19301930福勒福勒R.H.FowlerR.H.Fowler 19理想气体的

18、状态方程理想气体的状态方程RTRTMmPVkNRA111111kmollatm082.0kmolcal987.1kmolJ31.8R气体普适常数气体普适常数123mol10022.6AN阿伏伽德罗常数阿伏伽德罗常数123kJ1038066.1k玻尔兹曼常数玻尔兹曼常数nkTP 给出了一个热力学参量：给出了一个热力学参量：温度温度T 一切互为热平衡的系统都具有相同的温度。一切互为热平衡的系统都具有相同的温度。热力学第零定律表明：热力学第零定律表明：互为热平衡的系统必然存在一个互为热平衡的系统必然存在一个相同的性质或特征。相同的性质或特征。2023tpnpnkTkTt23 4.4.温度温度-温度是

19、气体分子平均平动动能的量度温度是气体分子平均平动动能的量度 2.2.温度温度-分子热运动剧烈程度分子热运动剧烈程度1.1.温度温度-描述宏观热力学系统平衡态的一个物理量描述宏观热力学系统平衡态的一个物理量3.3.温度温度-一个统计概念，是大量分子的集体行为一个统计概念，是大量分子的集体行为5.5.温度温度-气体分子热运动的方均根速率气体分子热运动的方均根速率212tmkT2323kTm3AAkN TmN3RTMMRT32 分子质量越小，平均运动速分子质量越小，平均运动速率越大率越大20.2.4 20.2.4 理想气体温度公式理想气体温度公式212)2)分子的平均平动动能分子的平均平动动能32t

20、kT2331.38 103002216.21 10J23.88 10 eV1)1)常温常压下，分子的数密度常温常压下，分子的数密度25310/mn3)3)氧气氧气的方均根速率的方均根速率23RTM33 8.31 30032 10483m/s2220.3 三种统计规律三种统计规律大量粒子热运动遵从统计规律大量粒子热运动遵从统计规律经典粒子经典粒子微观粒子微观粒子（与经典粒子的区别）（与经典粒子的区别）费密子费密子 玻色子玻色子寻找并掌握平衡状态寻找并掌握平衡状态（概率最大的状态）（概率最大的状态）下粒子的分布规律下粒子的分布规律麦克斯韦麦克斯韦-玻尔兹曼统计（玻尔兹曼统计（M-B 分布）经典粒子

21、按能量的分布。分布）经典粒子按能量的分布。费米费米-狄拉克统计（狄拉克统计（F-D 分布）分布）费密子（电子）按能级的分布。费密子（电子）按能级的分布。玻色玻色-爱因斯坦（爱因斯坦（B-E 分布）玻色子（光子）按能量分布）玻色子（光子）按能量 h的分布。的分布。（热辐射规律）（热辐射规律）23麦克斯韦麦克斯韦玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布 经典分布经典分布 平衡状态下，多粒子体系的分布规律。粒子如何按能级分平衡状态下，多粒子体系的分布规律。粒子如何按能级分布的。布的。1 经典的眼光看粒子；经典的眼光看粒子；1）粒子可以分辨的（可以跟踪，可以编号）。）粒子可以分辨的（可以跟踪，可以编号）。2）一个能级

22、可以容纳）一个能级可以容纳多个多个粒子，粒子，每一个状态每一个状态可以容纳可以容纳多个多个粒子。粒子。2 理论依据；理论依据；1）等概率假设）等概率假设 2）平衡态是几率最大的状态）平衡态是几率最大的状态 （最概然分布）（最概然分布）24一一 等概率假设等概率假设处在平衡态的孤立体系处在平衡态的孤立体系,其可能的微观态出现的几率相等其可能的微观态出现的几率相等 -平衡态统计理论的基础平衡态统计理论的基础 如果可能微观态总数为如果可能微观态总数为 ，则系统的任意微观态，则系统的任意微观态出现的概率均为出现的概率均为 1/1/:121P tP tPt 系统自发趋向于最概然分布系统自发趋向于最概然分

23、布求经典粒子（例：气体分子）按能量的最概然分布的思路求经典粒子（例：气体分子）按能量的最概然分布的思路:(1)(1)求将求将N N个粒子按个粒子按 12,iN NN12,i 的各种量子态中去的可能占据的方式数的各种量子态中去的可能占据的方式数分别放到能量为分别放到能量为（2 2）求求 取最大值的分布取最大值的分布,即最概然分布即最概然分布(3)(3)求在最概然分布下求在最概然分布下,每个能级上的粒子数每个能级上的粒子数20.3.2 麦克斯韦麦克斯韦玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计25能级上每个量子态被占据的概率能级上每个量子态被占据的概率讨论过程中要用到讨论过程中要用到等概率假设等概率假设和和约束条件

24、约束条件约束条件约束条件:孤立体系孤立体系?Ni？）（gNiiifiiiiEiNNN恒量能量守恒恒量粒子数守恒-(1)(1)求将求将N N个粒子按个粒子按 iNNN21,i,21的各种量子态中去的可能占据的方式数的各种量子态中去的可能占据的方式数分别放到能量为分别放到能量为（2 2）求求 取最大值的分布取最大值的分布,即最概然分布即最概然分布(3)(3)求在最概然分布下求在最概然分布下,每个能级上的粒子数每个能级上的粒子数26二二.麦克斯韦麦克斯韦-玻尔兹曼统计玻尔兹曼统计 (M-B分布分布)经典粒子彼此可以区分经典粒子彼此可以区分,每个量子态中的粒子数不受限制每个量子态中的粒子数不受限制.2

25、 2个经典粒子在个经典粒子在3 3个量子个量子态中的可能分布态中的可能分布（共（共9 9种种)(M-B(M-B分布分布)哈尔滨哈尔滨飞机飞机火车火车汽车汽车飞机飞机火车火车汽车汽车北京北京上海上海共有共有93332种方案种方案（2 2个不同粒子放入个不同粒子放入3 3个盒个盒子，分子，分2 2步完成。）步完成。）2 2个不同色子扔下，先扔个不同色子扔下，先扔1 1个，再扔另个，再扔另1 1个，共个，共6 62 2种状种状态态27)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnAmn例：从例：从 n 个不同物体中，任选个不同物体中，任选m 个作为一组，共有多少种选法？个作为一组，共有多少种选法？)!(

26、!mnmnCmn例：把例：把n个不同物体分成个不同物体分成r组，第一组有组，第一组有n1个，第二组有个，第二组有n2个，个，第第r 组有组有 nr个，共多少种分法？个，共多少种分法？!21rnnnnN例：从例：从n个不同物体中取出个不同物体中取出m个个(mn)，允许重复，允许重复(放回取样放回取样)，共，共多少种方法？多少种方法？mnnnnnN!211rriinnnn例：从例：从n个不同物体中取出个不同物体中取出m个个(mn)按顺序排成一列，共多按顺序排成一列，共多少种方法？少种方法？28(2)个粒子分别占用能级个粒子分别占用能级 的的 个量子态的占据方式为个量子态的占据方式为.,21NNNi

27、.,21i.,21gggiigiNi因而因而iiiNNNNNNNNNNNNNNNCCC!21321211!iNiiiiiNgNiNNiigN N 个可区分个可区分 粒子，分为粒子，分为 个粒子的组合方式为个粒子的组合方式为.,21NNNi(3)(3)Ni个经典粒子分布在个经典粒子分布在i i 能级的能级的 个量子态上的占据方式为个量子态上的占据方式为gigiNi(1)(1)291 1 2 2 3 3xxylnNNln2ln1ln!ln(2)为使为使 极大极大,令令ln0BM利用斯特令公式利用斯特令公式)1(ln!lnNNNiii10NiiiiiiiiiiiiiiiiiiBMgNNNNNgNNN

28、gNNNNNlnlnlnln)1(ln)1(lnln!ln!lnln 因而因而iiiiiiBMNNgNln)1(lnln0lniiiiNgN!iNiiiiiNgNiNNiigNy1ln)ln(ln)ln(ln!ln|111NNNxxxxxdxxdxdxNNNN)0(iiiiNN这里30由宏观约束条件由宏观约束条件0iiNN0iiNiEiiiiiBMNgNEN0lnlnNNNNi 21,NNiiiiiiBMgNln)1(lnln0lnNiiiigN!iNiiiiiNgNiNNiigN0lniiigNiiigNe（3）由宏观约束条件确定由宏观约束条件确定,由拉格朗日乘子法原理由拉格朗日乘子法原理个

29、为任意变量中有)2(31最后可得最后可得/iikTigNe()1iiiKTiNfgekT1egiiiN由由可得可得0lnlnNiiiiBMgN!iNiiiiiNgNiNNiigNiiigNe,经典粒子按能级经典粒子按能级的最概然分布的最概然分布M-BM-B分布分布理论和实理论和实验证明验证明egiiiiiiiNE3220.3.3 20.3.3 费米费米狄拉克分布狄拉克分布费米子：自旋是费米子：自旋是1/21/2的奇数倍。电子，的奇数倍。电子，子，质子，中子等子，质子，中子等全同性粒子。全同性粒子。每个状态只容纳一个粒子。每个状态只容纳一个粒子。平衡状态下的孤立系统，平衡状态下的孤立系统，N个粒

30、子个粒子能级能级,321l状态数状态数粒子数粒子数,321lgggg,321lNNNNNl个粒子占据个粒子占据gl个状态个状态)!(!lllllNgNgW)!(!lllllNgNg分布的微观态总数分布的微观态总数33得得1iegNii0d0d0lndiiiNN平衡状态平衡状态利用利用/11iiKTiiNfge 1/KT3420.3.4 20.3.4 玻色玻色爱因斯坦分布爱因斯坦分布玻色子：自旋是玻色子：自旋是1/21/2的偶数倍。光子，介子等的偶数倍。光子，介子等全同性粒子。全同性粒子。每个状态可容纳多个粒子。每个状态可容纳多个粒子。平衡状态下的孤立系统，平衡状态下的孤立系统，N个粒子个粒子能

31、级能级,321l状态数状态数粒子数粒子数,321lgggg,321lNNNN将将i i个粒子放在个粒子放在i i个位个位置上，每个位置可容纳置上，每个位置可容纳多个粒子。第一个量子多个粒子。第一个量子态是固定的。态是固定的。Nl个粒子占据个粒子占据gl个状态个状态lN1lg)!1(!)!1(lllllgNgNW)!1(!)!1(lllllgNgN平衡状态下平衡状态下1eiiigN/11iiKTiiNfge 35iiigNeiiiNg eF-D1eiiigN或或iiiNge1B-E1eiiigN或或iiiNge1当当 时，量子统计时，量子统计经典统计经典统计1iigNkT1一般，当一般，当T 高

32、时高时 空位子多空位子多iigN M-B 三种统计的比较三种统计的比较3620.4 麦克斯韦麦克斯韦玻尔兹曼统计在理想玻尔兹曼统计在理想气体中的应用气体中的应用1.麦克斯韦分子速度分布律麦克斯韦分子速度分布律 利用利用M-B分布可导出在没有势场情况下，理想气体按速度分布可导出在没有势场情况下，理想气体按速度的分布规律。的分布规律。对理想气体，在温度对理想气体，在温度T的平衡态下的平衡态下:分子速度在分子速度在zzzyyyxxxdvvvdvvvdvvv的概率的概率2223222xyzmvvvkTxyzdNmdWedv dv dvNkT37egNkTiii/kTzyxkTeehdxdydzdpdp

33、dpeedgdN3/kTzyxkTeehdxdydzdpdpdpeedgdNN3/32/1222hdpdpdpedxdydzNezyxmkTpppzyx3233222/)2(/222hmkTNVhdpedpedpeNVezmkTpymkTpxmkTpzyxdxdydzdpdpdpemkTVNdNzyxmkTpppzyx223222)21(dxdydzdpdpdpemkTVNdNzyxmkTpppzyx223222)21(zyxkTmvmvmvdvdvdvekTmNdNzyx223222)2(2223222xyzmvvvkTxyzdNmdWedv dv dvNkT2xedx利用利用附近中 pV的

34、粒子382.麦克斯韦分子速率分布律麦克斯韦分子速率分布律如果不考虑分子速度的方向，只考虑速度大小如果不考虑分子速度的方向，只考虑速度大小,由由2222zyxvvvvzyxdvdvdvdddvvsin2并对并对由由积分由20,0 在在T的平衡态下，理想气体分子速率在的平衡态下，理想气体分子速率在 v-v+dv 范围范围 内的概率内的概率2322242mvkTdNmdWev dvNkT速率分布函数速率分布函数 dNf vNdv-概率密度概率密度麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数 23/22242mvkTmfvv ekT满足归满足归-化条件化条件:10dvvfovyvzvxv)1)(00NNN

35、dNdvvf39 dNf vNdv 23/22242mvkTmfvevkT 23/22242mvkTdNmfv dvev dvNkT0 0v vf(v)f(v).。T银蒸汽银蒸汽真空真空麦克斯韦速率分布实验麦克斯韦速率分布实验银相对厚度银相对厚度40 23/22242mvkTdNdWmfvevNdvdvkTvv2vp vv+dv f(vp)o f(v)v1讨论讨论:(1)f(v)曲线下面积的物理意义曲线下面积的物理意义 寛度为寛度为dv的窄条面积的窄条面积:曲线下总面积曲线下总面积:()vdNf v dvNNNNdNdvvfvvvvvv212121)(1)(00NNNdNdvvf12vv区间的

36、面积：41（3）最概然速率最概然速率（最可几速率）（最可几速率）-f(v)-v曲线极大值所对应的速率曲线极大值所对应的速率 vpvp 的物理意义：的物理意义：vp 附近概率密度最大附近概率密度最大（同样速率间隔（同样速率间隔dv,速率在速率在 vp-vp+d v 的分子数最多的分子数最多)由由0d)(dvvf及及pVvvf可得可得0d)(d22vv2vv+dvo f(v)v1（2）由由()vdNf v dvN2121d)(vvvvvvNfN0()vdNdNvvvf v dvNN同理，同理，220()vv f v dvpv)(pvf42vo f(v)3 三种速率三种速率 222/3224vekT

37、mvfkTmv平均速率平均速率 08kTvvf v dvm方均根速率方均根速率22033()1.73kTRTRTvv f v dvmMM最概然速率最概然速率221.41pkTRTRTvmMMpvvv2vp81.60RTRTMM2vv可以看出可以看出21322mvkT231vnmP kTvm23212nkTP 前面前面说明说明kT1是合理的是合理的43 麦克斯韦速率分布率实验（施特恩实验）：麦克斯韦速率分布率实验（施特恩实验）：银相对厚度银相对厚度实验装置实验装置llvv2lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏狭缝狭缝接抽气泵接抽气泵 f(v)-变化规律变化规律vf(v)T T1 1T T2 2TT

38、1 1 vf(v)m2 2 m1 1m1 144v vf f(v v)温度温度T T相同，哪个是相同，哪个是H H2 2?哪个是哪个是O O2 2?都是都是H H2,2,温度不同，哪个温度高？温度不同，哪个温度高？221.41pkTRTRTTvmMMMV Vp1p1V Vp2p20 0例例45例、关于速率分布函数例、关于速率分布函数,说明各式的意义说明各式的意义:21(1)()dvvNf vv21(2)()dvvf vv21(3)()vvNvf v dv解：由速率分布函数解：由速率分布函数()vdNf vNdv的物理意义可以知道：的物理意义可以知道：2211()()(1)()vN vvN vN

39、f v dvdNN 表示在表示在v v1 1-v-v2 2速率区间内的速率区间内的分子数。分子数。21201(4)()2vvm v Nf v dv222111(2)()vvvvvvdNdNf v dvNN表示在表示在v v1 1-v-v2 2速率区间内的分速率区间内的分子数占总分子数的比率。子数占总分子数的比率。462211(3)()vvvvNvf v dvvdN222111220011(4)()22vvvkvvvm v Nf v dvm v dNE dN表示在表示在v v1 1-v-v2 2 速率区间内所有分子速率的总和。速率区间内所有分子速率的总和。表示在表示在v v1 1-v-v2 2速

40、率区间内所有分子平动动能的总和。速率区间内所有分子平动动能的总和。47?)()(11vvdvvfdvvvf物理意义？物理意义？11)()(vvdvvfdvvvf11vvNdNNdNv11vvdNvdN速率大于速率大于V V1 1的速率平均值的速率平均值()dNf v dvN由由例例48例、图中例、图中v0将速率分布曲线下的面积分为相等的两部分将速率分布曲线下的面积分为相等的两部分,试说明试说明v0的意义的意义.f(v)v0v0解：根据解：根据MaxwellMaxwell速率分布函数，可以知道速率分布函数，可以知道f(v)v0v0()dNf v dvN所以根据题意，两部分面积相等，也就所以根据题

41、意，两部分面积相等，也就是说在是说在v v0 0的两边的分子数占总分子数的的两边的分子数占总分子数的比率相同。比率相同。所以所以v v0 0的意义是：的意义是：速率大于速率大于v0的分子数的分子数=速率小于速率小于v0的分子数的分子数490()vf v dv求得v2220()vv f v dvv用求出在统计方法和气体分子速率分布律这一部分中，给定分布函数在统计方法和气体分子速率分布律这一部分中，给定分布函数f f(v v)，可以用，可以用()0pdf vvv用求出最概然速率2112()vvNf v dvvv用求出速率在区间内的分子数0如果分布函数中有待定常数时，需要用到归一化条件f(v)dv=

42、1求出待定常数。50例、设由例、设由 个气体分子组成的热力学系统，其速率分布函数为：个气体分子组成的热力学系统，其速率分布函数为：N00()(0)()0A vv vvvf v其分布曲线图如图所示。求其分布曲线图如图所示。求：（1 1）分）分布函数中的常数布函数中的常数 ；（；（2 2）分子的最概）分子的最概然速率；然速率；（3 3）分子的平均速率和方均根速率；）分子的平均速率和方均根速率；（4 4）分子在（）分子在（0-0.30-0.3）v v0 0 之间的分之间的分子数。子数。vf(v)v0OA51分析：分布函数中的常数可以由归一化条件求得。在此基础上，可以求得各种速分析：分布函数中的常数可

43、以由归一化条件求得。在此基础上，可以求得各种速率和某个区间内的分子数。率和某个区间内的分子数。解解：（1）由归一化条件，由归一化条件，0()1f v dv0003300000011()()0()132vvvf v dvf v dvdvA vv vdvAvAv 306Av可以得到：可以得到：解得：解得：所以所以0306()()f vvv vv（2 2）由）由()0pv vdf vdv可以得到：可以得到：32001260pvvv所以所以012pvv52（3 3）平均速率为：）平均速率为：0200300061()()2vvvf v dvvv v dvvv0223200300063()()10vvv

44、f v dvvv v dvvv220030.5510vvv所以，方均根速率为：所以，方均根速率为：（4 4）由速率分布函数）由速率分布函数()dNf vNdv可以得到：可以得到：000.30.3030006()()0.216vvNdNNf v dvNvv vdvNv即：速率在（即：速率在（0-0.3)0-0.3)之间的分子数占总分子数的之间的分子数占总分子数的21.6%21.6%。0v53例、判断下述论断是否正确：例、判断下述论断是否正确：“最概然速率相同的两种不同气最概然速率相同的两种不同气体，它们的速率分布曲线一定相同。体，它们的速率分布曲线一定相同。”解：这种说法正确。解：这种说法正确。

45、由麦克斯韦速率分布函数：由麦克斯韦速率分布函数：23222()4()2mvkTdNmf vveNdvkT()0pv vdf vdv由由得到：得到：2pkTvm54这样将麦克斯韦速率分布函数进行变换，以这样将麦克斯韦速率分布函数进行变换，以v vp p 的形式表示出来：的形式表示出来：23222()4()22mvkTpmf vvekTkTvm2()324()pvvpf vv ev所以，只要最概然速率所以，只要最概然速率v vp p 相同，相同，f f(v v)就一定相同，与气体就一定相同，与气体种类无关。种类无关。55232222()32()4()24pmvkTvvpNmf vvevvNkTve

46、vv2()24()pvvppvvevv2pkTvmMRT2pv用用简化运算简化运算例例56例：例：求求300K300K时，空气中速率在时，空气中速率在v vp p附近和附近和10v10vp p附近附近单位速率区间单位速率区间)/1(smv 的分子数占总的分子数占总分子数的百分比各是多少？分子数的百分比各是多少？解：解：2()24()pvvppNvvevNvmkTvp2)/29(molgM空气3102930031.82sm/415%2.04151141 eNNpv%102.0415110044210010 eNNpvMRT257例、设某气体的速率分布函数例、设某气体的速率分布函数)0(02vv

47、v ，a)(vf)(00vv ，求：求：解：解：（1 1）常量）常量a 和和 v0 0 的关系的关系1d)(0 vvf3000231dd)(0vvvvvvaaf （1 1）归一化条件）归一化条件303v a)(vfvv00为为（3 3）速率在）速率在0 0(1/2)(1/2)v v0 0 之间分子的平均速率之间分子的平均速率（2 2）平均速率）平均速率vv58（2 2）设总分子数为）设总分子数为N N，（3 3）求速率在）求速率在0 0(1/2)v(1/2)v0 0 之间分子的平均速率？之间分子的平均速率？000v2v2/230000v3vv(v)dv64vdNfav dvvN则则对对否？否？

48、不对！不对！上式分母上的上式分母上的N N应为应为 200d)(vvvNf 202000d)(d)(vvvvvvvvff323424)()(00vvaa vv 0830vvdNN 0d)(vvvf404va 002dvvvv a0403043)3(41vvv 59例、设气体分子的平动动能：例、设气体分子的平动动能：212mvd()dwFd在在之间的概率为：之间的概率为：试用麦克斯韦速率分布函数求：试用麦克斯韦速率分布函数求：（1 1）分布函数）分布函数()F（2 2）最概然能量；）最概然能量；（3 3）平均能量）平均能量解：解：气体分子速率在气体分子速率在 之间的概率为：之间的概率为：2322

49、2()4()2mvkTmdwf v dvvedvkTvvdv 60把上述方程改写成能量的形式为：把上述方程改写成能量的形式为：31222()()kTdwkTedFd232224()2mvkTmdwvedvkT所以，能量分布函数所以，能量分布函数31222()()kTFkTe6131222()()kTFkTe2pkTvm211222ppkTmvmkTm（2）由麦克斯韦速率分布函数得到：由麦克斯韦速率分布函数得到：所以最概然能量：所以最概然能量：正确吗？正确吗？事实上，最概然能量必须满足：事实上，最概然能量必须满足：()0pdFd 所以：所以：311222()211()()02pkTkTdFkTe

50、edkT 得到最概然能量：得到最概然能量：12pkT62（3 3）平均能量：）平均能量：3133222200022()()()32kTkTFdkTedkTedkT63外势场中外势场中,粒子在粒子在速度在速度在的分子数的分子数30/22kpEEkTxyzmdNedv dv dv dzkTnxdyd对所有速度积分对所有速度积分,3/20()2kpEEkTxyzmdNnedv dv dv dxdydzkTxxdxyydyzzdzxxxvvdvyyyvvdvzzzvvdv由速度分布由速度分布函数的归一函数的归一化条件化条件,得得0pEkTdNn edxdydz得体积元得体积元dxdydz内的总分子数内