第一章3线性变换及其标准型讲解课件.ppt

1、上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型1第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式1.4 线性系统状态空间表达式线性系统状态空间表达式 的线性变换及其标准型的线性变换及其标准型 系统动态方程建立的过程，无论是从实际物系统动态方程建立的过程，无论是从实际物理系统出发，从系统结构图出发，还是从系统理系统出发，从系统结构图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因此会得出方面都带有很大的人为的随意性，因此会得出不同的系统动态方程。不同的系统

2、动态方程。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型2第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 l 实际物理系统虽然结构不可能变化，但实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同不同的状态变量取法就产生不同的动态方程的状态变量取法就产生不同的动态方程；l 系统结构图在取状态变量之前需要进行等效系统结构图在取状态变量之前需要进行等效变换，而变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意等效变换过程就有很大程度上的随意性性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；会导致动态方程

3、差异的产生；l 从系统微分方程或传递函数出发的系统实现从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的会导致迥然不同的系统内部结构的产生产生，因而也肯定产生不同的动态方程。，因而也肯定产生不同的动态方程。l同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程。同一系统选取不同的状态变量便有不同形式的动态方程。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型3第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式1）系统状态空间表达式的非唯一性）系统状态空间表达式的非唯一性为什么要进行线性变换？为什么要进行

4、线性变换？说明状态变量不同，但实际可以通过线性变说明状态变量不同，但实际可以通过线性变换互相转换；换互相转换；选择不同的状态变量，会得到不同的状态空选择不同的状态变量，会得到不同的状态空间表达式。实质上不同的状态变量可以通过非间表达式。实质上不同的状态变量可以通过非奇异变换实现。奇异变换实现。交换成标准形式可使后面的研究简化。交换成标准形式可使后面的研究简化。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型4第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式我们总可以找到任意一个非奇异矩阵我们总可以找到任意一个非奇异矩阵 ，将原状，将原

5、状态矢量态矢量 作线性变换，得到另一状态矢量作线性变换，得到另一状态矢量 ，Txz0;(0)xAxBu xxyCxDu 设给定系统为设给定系统为:zxTz1T x设变换关系为设变换关系为:即即 代入上式，得到新的状态空间表达式：代入上式，得到新的状态空间表达式：0(0)(0)1111zT ATzT Bu;zT xT xyCTzDu上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型5第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式由于由于 为为任意非奇异矩阵任意非奇异矩阵，故状态空间表达式，故状态空间表达式为为非唯一非唯一的。通常称的。通

6、常称 为变换矩阵。对系统进为变换矩阵。对系统进行线性变换的目的在于使行线性变换的目的在于使 阵规范化，以阵规范化，以便于揭示系统特性及分析计算。其理论依据是便于揭示系统特性及分析计算。其理论依据是非奇异变换不会改变系统原有的性质非奇异变换不会改变系统原有的性质。TATT1T对于上式，系统特征值为对于上式，系统特征值为 的根，经过的根，经过线性变换后为，则特征值为线性变换后为，则特征值为 ，而，而 ATTI10AIATTTTATTTTATTI11111TAITTAIT11)(AIAITT1 上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型6第一章第一

7、章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式故有等价变换之称。待获得所需结果以后，再故有等价变换之称。待获得所需结果以后，再引入反变换关系引入反变换关系 ，换算回到原来的状态，换算回到原来的状态空间中去，得出最终结果。空间中去，得出最终结果。1zT x上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型7第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式例例1.4.1:1.4.1:若系统状态空间表达式为若系统状态空间表达式为:022130 xxu&101x 03yx即即 解：若取变换矩阵解：若取变换矩阵 16220T11011132

8、T则变换后的状态矢量将为则变换后的状态矢量将为 11011132zTxx即即 1212zx2121322zxx 亦即新的状态变量亦即新的状态变量 是原始状态变量是原始状态变量 的线性的线性组合。组合。1z2z1x2x上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型8第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式111010262011131320232ATAT111012011301262036020BTBCCT 1110111(0)(0)213121zTx 从而得交换后的状态空间表达式为从而得交换后的状态空间表达式为上午上午5时时

9、12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型9第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式11111010231zTAT zTBuzu&160TyC T zz 1110021zTx书本例书本例2 2）、）、3 3）举了其他交换矩阵下（我们也可举）举了其他交换矩阵下（我们也可举出任意的非奇异矩阵），可以得到不同的状态空间出任意的非奇异矩阵），可以得到不同的状态空间表达式。表达式。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型10第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式010

10、00010-6-11-66 100 xxuyx 例例1.4.2 1.4.2 试系统的状态空间表达式为试系统的状态空间表达式为若取变换阵若取变换阵P P为为941321111P上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型11第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式线性变换线性变换P P的逆矩阵为的逆矩阵为2/12/311432/12/531P因此因此,有有 111 36330002000111CPCBPBAPPA上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型12第一章第一章 控

11、制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型13第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式故系统在新的状态变量下的状态空间表达式为故系统在新的状态变量下的状态空间表达式为100302060033 111 xxuyx上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型14第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式原状态空间表达式原状态空间表达式-对角线型对角线型上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准

12、型状态空间表达式的线性系统及标准型15的对应于特征值的对应于特征值一非零向量一非零向量 ，使，使 设设第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式2）系统特征值和特征向量（预备知识）系统特征值和特征向量（预备知识）AnnAAAA是一个是一个的矩阵，若在向量空间中存在的矩阵，若在向量空间中存在,则称则称为为的的特征值特征值，任何满足，任何满足的非零向量的非零向量称为称为的的特征向量特征向量。定义：定义：上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型16第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式将上述特征值的定义

13、式写为将上述特征值的定义式写为 (I I-A A)v v=0=0 其中其中I I为为n nn n的单位矩阵。的单位矩阵。由代数方程论可知由代数方程论可知,上式有非零特征向量上式有非零特征向量v v的解的的解的充要条件为充要条件为|I I-A A|=0|=0 并称上式为矩阵并称上式为矩阵A A的的特征方程特征方程,而而|I I-A A|为为A A的的特特征多项式征多项式。（1）特征值的计算）特征值的计算上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型17第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式51166116110A解：解：51

14、16611611)det(AI 0)3)(2)(1(611623 112233解出特征值解出特征值，例例1.4.3求下列矩阵的特征值。求下列矩阵的特征值。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型18第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式（2）特征向量的计算）特征向量的计算A51166116110A【例】求下列矩阵【例】求下列矩阵的特征向量。的特征向量。解：（解：（1 1）的特征值在上例中已求出的特征值在上例中已求出A112233，上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及

15、标准型19第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式11（2）计算对应于特征值）计算对应于特征值的特征向量的特征向量1111A，有，有。131211131211151166116110T1312111设设，即有，即有:计算整理后有：计算整理后有：06116061060131211131211131211vvvvvvvvv上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型20第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式111vT1011令：令：，则，则1311vv012v解出：解出：T4212T961321（3 3

16、）同理可算出）同理可算出的特征向量：的特征向量：31的特征向量的特征向量:上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型21线性定常系统经非奇异变换后，线性定常系统经非奇异变换后，特征特征值值不变不变特征多项式不变特征多项式不变特征方程不变特征方程不变传递函数不变传递函数不变 第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型22第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 动态方程的可逆线性变换动态方程的可逆线性变换DuC

17、xyBuAxxuDxCyuBxAxxPx1Pxx 其中 P 是nn 矩阵1 PAPA1 CPCBPB上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型23第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 特征多项式AsIAsIPPAsIPPPAsIPPAsIPPAPsPPPAPsIAsI1111111)(特征多项式没有改变。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型24第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 DBAsICDPBPAsIPCPDPBPAsIPCPD

18、PBPAPsPPCPDPBPAPsICPDBAsIC111111111111111)()()()()()(传递函数阵传递函数阵传递函数阵没有改变传递函数阵没有改变上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型25第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 【例】【例】0100001061161Ab 设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。试求系统的特征方程和特征值。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型26第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制

19、系统的状态空间表达式 解：解：3210|det 01611606116|(1)(2)(3)0ssIAssssssIAsss系统的特征方程为系统的特征方程为特征方程的根为特征方程的根为-1-1、-2-2和和-3-3。矩阵。矩阵A A的特的特征值也为征值也为-1-1、-2-2和和-3-3。两者是一样的。两者是一样的。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型27第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 【例】【例】对前面例子之系统进行坐标变换，对前面例子之系统进行坐标变换，其变换关系为其变换关系为 试求变换后系统的特征方程和

20、特征试求变换后系统的特征方程和特征值。值。112233111123149xxxxxx上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型28第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 解：解：根据题意求变换矩阵根据题意求变换矩阵11111132.50.5123,34114911.50.5PPxPAPxPbu代入代入上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型29第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 11223332.50.501011134100112311

21、.50.5611614932.50.50341011.50.51xxxxxxu 132|(1)(2)(3)61160sIP APssssss 特征方程为特征方程为特征值为特征值为-1-1，-2-2，-3-3，与上例结果，与上例结果相同。相同。可得可得上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型30即即则必存在非奇异矩阵则必存在非奇异矩阵T，经过变换，状态方程化为对角线标准，经过变换，状态方程化为对角线标准型。型。第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式3）状态空间表达式变换为对角线标准型）状态空间表达式变换为对角线标准型x

22、AxBuyCx&1zT x定理：对于线性定常系统，如果其特征值定理：对于线性定常系统，如果其特征值 是两两相异的，是两两相异的，12,n La)系数矩阵系数矩阵A具有任意形式具有任意形式1zJzT BuyCTz&上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型31第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式其中其中 如果特征值包含有如果特征值包含有q个重根时，个重根时，则将状态方程化为约旦标准型则将状态方程化为约旦标准型12100nJTAT OO1111110100000qnJOOO上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线

23、性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型32第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式证明：先证特征值无重根证明：先证特征值无重根 设设是是 A 的的 n 个互异特征根个互异特征根 ，是是 A 对应于这些特征值的特征矢量。对应于这些特征值的特征矢量。由于特征值由于特征值 互异，故特征矢量互异，故特征矢量 线性无关。它们构成的矩阵线性无关。它们构成的矩阵 必为非奇异，必为非奇异，即即 存在。存在。由特征矢量的意义：由特征矢量的意义：1,2,inLiP12,n L12,nP PPL12nTPPPL1T11 1APP1,2,inL上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式

24、的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型33第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式121211221122120000nnnnnnnATA PPPAPAPAPPPPPPPTLLLLOO两端左乘两端左乘1T12100nTAT从而，证得经非奇异矩阵从而，证得经非奇异矩阵T变换后，系统矩阵为对角矩阵变换后，系统矩阵为对角矩阵上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型34第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式100yx123111026149TPPP解：解：A 的特征值互异，则变换矩阵的特征值

25、互异，则变换矩阵例例 试将下列方程变换为对角线标准型试将下列方程变换为对角线标准型011061160,61151xxu&上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型35第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式153223433112T则经则经 变换后各有关矩阵分别为变换后各有关矩阵分别为1zTx11230102003TAT 153202234303311112TB 上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型36第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式

26、1111000261 1 1149CT112233100202030031zzzzuzz&1231 1 1zyzz变换后的状态空间表达式为变换后的状态空间表达式为上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型37第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式（b）A为阵为标准型，即为为阵为标准型，即为友矩阵友矩阵012101000010nAaaaa上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型38第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 A的特征值无重根时，其变

27、换矩阵是一个的特征值无重根时，其变换矩阵是一个范德蒙德（范德蒙德（Vandermonde）矩阵，如下所示：）矩阵，如下所示：122221211112111nnnnnnT上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型39第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 A的特征值有重根时，以有的特征值有重根时，以有 的三重根为例：的三重根为例：11422211421111111142111001110212nnnnnnnnTdddd上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型40第一章

28、第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式12100nTAT得得上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型41第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式uxx0016116100010 xy011【例】试将下列动态方程变换为对角标准型。【例】试将下列动态方程变换为对角标准型。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型42第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的

29、线性系统及标准型43第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式4）状态空间表达式变换为约旦标准型）状态空间表达式变换为约旦标准型（1）约当块和约当阵）约当块和约当阵约当块：约当块：4014200120012、的矩阵，的矩阵，形如形如上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型44第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵：矩阵：2000012000012000004000014 上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达

30、式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型45第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式如果如果A阵具有重实特征根，又可分为两种情况：阵具有重实特征根，又可分为两种情况：A阵虽有重特征值，但矩阵阵虽有重特征值，但矩阵A仍然有仍然有n个独立个独立的特征向量。这种情况同特征值互异时一样，仍的特征向量。这种情况同特征值互异时一样，仍可以把可以把A化为对角标准型。化为对角标准型。另一种情况是矩阵另一种情况是矩阵A不但具有重特征值，而不但具有重特征值，而且其独立特征向量的个数也低于且其独立特征向量的个数也低于n。对于这种情。对于这种情况，况，A阵虽不能变换为对角标准型，但可

31、以变换阵虽不能变换为对角标准型，但可以变换为约当标准型。为约当标准型。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型46第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式:0 0有有两两独独立立解解p p1 10 00 00 00 00 01 10 00 0即即0 0A A)p pI I(1 1;1 10 00 00 00 00 01 10 00 0r ra an nk k2 21 10 00 00 01 11 10 01 10 01 11 1r ra an nk kA A)I Ir ra an nk k(2 21 10 02 2)(

32、1 1)(2 20 00 00 01 10 01 10 01 1A AI I,2 20 00 00 01 10 01 10 01 1A A1 11 13 31 1,2 22 2:形形则则仍仍能能化化为为对对角角线线标标准准量量,但但仍仍有有n n个个独独立立特特征征向向A A有有重重特特征征值值,;1 10 01 1p p0 0,p pp pp p2 22 20 00 00 01 12 20 01 10 01 12 23 33 33 32 23 31 13 30 0即即A A)p pI I(3 33 3;0 01 10 0p p;0 00 01 1p p2 21 12 20 00 00 01

33、10 00 00 01 1J J;1 10 00 00 01 10 01 10 01 1T T上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型47第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 两个基本概念两个基本概念:代数重数代数重数 由特征方程求得的特征值由特征方程求得的特征值 i的重数称为特征值的重数称为特征值 i的代的代数重数。数重数。几何重数几何重数 特征值特征值 i线性独立的特征向量数称为特征值线性独立的特征向量数称为特征值 i的几何的几何重数。重数。代数重数和几何重数是两个不同的概念代数重数和几何重数是两个不同的概念

34、几何重数具有几何上空间表征的意义几何重数具有几何上空间表征的意义,它代表在空间它代表在空间分解上不变的几何子空间的数目。分解上不变的几何子空间的数目。而代数重数仅具有代数意义而代数重数仅具有代数意义,它代表特征值在特征方它代表特征值在特征方程的重数。程的重数。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型48第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式当当 A 的特征值包含的特征值包含 m个重根时个重根时重根对应的重根对应的独立特征向量的数目为：独立特征向量的数目为：n-rank(iI-A)上午上午5时时12分分1.4 状态空间

35、表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型49第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式当当 A 的特征值包含的特征值包含 m 个重根时个重根时-A为一般形式为一般形式不加证明地给出变换矩阵不加证明地给出变换矩阵 T：其中，其中，是对应于是对应于(n-m)个单根的特征矢量，求法同前，对应于个单根的特征矢量，求法同前，对应于 m个个 重根的各向量重根的各向量 的求得，应根据下式计算的求得，应根据下式计算显然，显然，仍为仍为 对应的特征矢量，其余对应的特征矢量，其余 则称之为广义特征矢量。则称之为广义特征矢量。1mPPL121mmnTPPPPPLL1mnPPL11

36、 111221110mmmPAPPAPPPAPP L L L1P12mPPL上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型50第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式uxx100032100010 xy001【例】试将下列动态方程变换为约当标准型。【例】试将下列动态方程变换为约当标准型。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型51第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性

37、系统及标准型52第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型53第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型54第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型55第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达

38、式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型56第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型57 设设A为为友矩阵友矩阵，具有，具有m m重实特征值重实特征值 ，第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式nmJ1111001111p且只有一个独立实特征向量且只有一个独立实特征向量 与之对应，与之对应，则使则使A A化为约当阵化为约当阵J J的变换阵的变换阵P P为：为：21111112111111|2!(m-1)!mmnmPPPPPPP其中：其中：TnP1

39、121111 上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型58第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式uxx100032100010 xy001【例】试将下列动态方程变换为约当标准型。【例】试将下列动态方程变换为约当标准型。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型59第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式21132131213211001121023321001001100032100010,nrankAIrank,AI;,c,bA只对应一个独立

40、特征向量。只对应一个独立特征向量。上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型60第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式52191319120010110001121336128914212111012121211101110113111122232112131;cT/b;TATTJ;T)()()(ddT上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型61第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准

41、型状态空间表达式的线性系统及标准型62第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型63第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型64第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式【例】试将已知的【例】试将已知的A A阵变换为约当型。阵变换为约当型。200310211A上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型65第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型66第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式上午上午5时时12分分1.4 状态空间表达式的线性系统及标准型状态空间表达式的线性系统及标准型67第一章第一章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式