第一章-线性空间与线性变换讲解课件.ppt
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- 第一章 线性 空间 线性变换 讲解 课件
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1、第一章第一章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换一、线性空间的定义一、线性空间的定义定义定义1 设集合设集合 ,是一个数域(包含非零元是一个数域(包含非零元素的数集且对四则运算法则封闭),如果满足素的数集且对四则运算法则封闭),如果满足1.在在 上定义一个加法运算:上定义一个加法运算:2.在在 上定义一个数乘运算:上定义一个数乘运算:3.上述两种运算满足下列上述两种运算满足下列8条规则:条规则:V P,x yV xyVV,x yV xyVV,xVPxV V,x yV xyyx,()()x y zVxyzxyz1、线性空间的概念、线性空间的概念 中存在一个零元素中存在一个零元素 ,即对,即对
2、中存在一个负元素中存在一个负元素 ,即对,即对 记作记作对对对对对对对对 则称集合则称集合 为数域为数域 上的线性空间或向量空间,记上的线性空间或向量空间,记作作 ,中元素称为向量。特别,中元素称为向量。特别,时,时,为实向量空间,为实向量空间,时,为复向量空间。时,为复向量空间。yx VV,()()xVPxx ,xV xx ,.xVyVs txy 1,xVxx ,()xVPxxx ,()x yVPxyxyVP()VL P VPR PC 注、注、零向量与负元素唯一存在(自己证)零向量与负元素唯一存在(自己证)01,(),()xxx xyxy 例例1 下列集合均为线性空间下列集合均为线性空间次数
3、不超过次数不超过n n的多项式集合:的多项式集合:n n维向量空间:维向量空间:120(,),det()Tn nnVxx xxAxA RA 00 1(),niniiiR tf ta t aR in 121 2(,),nTniRxx xxxR in 数域数域R R上上 阶矩阵构成的集合:阶矩阵构成的集合:定义在区间定义在区间 上所有连续函数的全体:上所有连续函数的全体:,a bCmn m nm nRA AR ,a b二、线性相关(无关)的定义二、线性相关(无关)的定义定义定义2 设设 ,如果存在,如果存在一组不全为一组不全为0的数的数 ,使得,使得则称向量则称向量 线性相关,否则称线性无关。线性
4、相关,否则称线性无关。()VL P 12,nx xxV 12,nk kkP 1122nnk xk xk x 12,nx xx例例2 讨论下列矩阵向量组的线性相关性(讨论下列矩阵向量组的线性相关性():):1234111 11 11 11 111,aaAAAAaa aR 解:解:根据线性相关的定义判定根据线性相关的定义判定设设112233440000k Ak Ak Ak A 12341234123412340000akkkkkakkkkkakkkkkak 由系数行列式是否为由系数行列式是否为0判定即可判定即可线性相关(无关)的性质:线性相关(无关)的性质:部分相关则整体相关;部分相关则整体相关;
5、整体无关则部分无关;整体无关则部分无关;线性相关线性相关 其中至少一个向量其中至少一个向量可由其余向量线性表示(表出)。可由其余向量线性表示(表出)。12,nx xx定义定义3 设设 是是 中的一组线性无关中的一组线性无关向量,且线性无关组的向量个数不超过向量,且线性无关组的向量个数不超过n n(或(或V中任意中任意n+1n+1个向量都线性相关),则称个向量都线性相关),则称 是是V V的一的一个最大无关组,简称为基。向量空间个最大无关组,简称为基。向量空间V V的基所含向量的的基所含向量的个数称为个数称为V V的维数,记为的维数,记为dim(Vdim(V)。(注:基不唯一)。(注:基不唯一)
6、()VL P 12,nx xx12,nx xx()nVL P n n维向量空间通常记为维向量空间通常记为定理定理1 设设 ,是是V的一组基,则对的一组基,则对 (或者(或者V中任意向量中任意向量x),使得使得且该表示式唯一。(其中且该表示式唯一。(其中 称为向量称为向量x在该在该组基下的坐标)组基下的坐标)()VL P 12,ne ee12,nxVk kkP 1 122nnxk ek ek e12,nk kk例例3 写出写出例例1中各线性空间的基和维数。中各线性空间的基和维数。2、基变换与坐标变换、基变换与坐标变换定义定义1(基变换)(基变换)设设 和和 是是 中的两组基,则中的两组基,则 (
7、或(或 )均可由)均可由 (或(或 )线性)线性表示,不妨记表示,不妨记称上述关系为两组基的基变换。称上述关系为两组基的基变换。()VL P 12,nx xx11112121212122221122nnnnnnnnnnya xa xa xya xa xaxya xaxa x 12,nyyyixiyiyix若记若记1122,nnxyxyxy111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 则称矩阵则称矩阵 为基为基 到基到基 的过渡矩阵(的过渡矩阵(可逆?可逆?)。A 定义定义2(坐标变换)(坐标变换)设设 ,向量,向量 在在 基基 和基和基 下的下的坐标之间的关系,称之为坐标变换。坐标
8、之间的关系,称之为坐标变换。()xVL P x前述关系可以表示为前述关系可以表示为 或或 TA TTA 坐标变换与过渡矩阵的关系:坐标变换与过渡矩阵的关系:1212nnkkxxxxk 1212nnttxyyyt 1122nnxk xk xk x 设设1 122nnxt yt yt y 和和 1212nnttxxxAt 1122nnktktAkt 不同基之间过渡矩阵的求法:不同基之间过渡矩阵的求法:已知两组基已知两组基12(),nI x xx12(),nII yyy方法一方法一:直接法(定义法):直接法(定义法)该方法需要求该方法需要求n n阶非齐次线性阶非齐次线性方程组,计算复杂,一般不用方程
9、组,计算复杂,一般不用方法二方法二:中介法(常用方法):中介法(常用方法)中介法的步骤:中介法的步骤:选取选取 的一组简单基,使得的一组简单基,使得V V中的元素中的元素在该基下的坐标能够直接写出。在该基下的坐标能够直接写出。()nVL P 分别写出简单基到已知两组基分别写出简单基到已知两组基 和和 的过渡的过渡矩阵矩阵 和和 。()I()II1C2C计算由基计算由基 到到 的过渡矩阵的过渡矩阵 :()I()II112CC C C事实上事实上不妨设简单基为不妨设简单基为12(),nIII e ee12121(,)(,)nnx xxe ee C 12122(,)(,)nnyyye ee C 11
10、212(,)nx xx C C 112CC C 例例4 设线性空间设线性空间 的两个基为:的两个基为:3 P t21232341111()(),(),(),();If tfttf tttftttt 2323122334111()(),(),(),();IIg tttg ttttg tttg ttt 求由基求由基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵 。()I()IIC解:解:(中介法)选取简单基为(中介法)选取简单基为231(),IIIttt基基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵 为:为:()I1C()III1111 1011 1001 1000 1C ()II基基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵 为
11、:为:2C()III21011011111101101C 1111 1011 1001 1000 1C 21011011111101101C ()II则由基则由基 到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵 为:为:C()I1112111 11011011 10111001 11110000 11101CC C 11001011011001110011111000011101 11 00100100111101 3、子空间与维数定理、子空间与维数定理定义定义1(子空间)(子空间)设设 ,如果如果 对于对于 所定义的加法和数乘运算,也构成数域所定义的加法和数乘运算,也构成数域 上的线性空上的线性空间,则称间
12、,则称 为为 的线性子空间,简称子空间。的线性子空间,简称子空间。()VL P WV,WV W PWV定理定理1(子空间的判定方法)(子空间的判定方法)设设 ,则,则 是是 的线性的线性子空间的充要条件是子空间的充要条件是(),WVL P W W12(),;(),.x yWxyWxWPxW V零子空间与零子空间与平凡子空间平凡子空间例例5是是 中的一个子空间。中的一个子空间。是是 的一个子空间。的一个子空间。是是 的一个子空间。的一个子空间。120(,),det()Tn nnVxx xxAxA RA nR3 P t3 3R m nR nP t定义定义2(线性生成子空间)(线性生成子空间)设设
13、,线性组合线性组合构成的集合形成构成的集合形成 的一个子空间,称之为由该向量组生的一个子空间,称之为由该向量组生成的子空间。记为成的子空间。记为12,()nx xxVL P 1122nnk xk xk xV12(,)nWL x xx 定义定义3(子空间的和)(子空间的和)设设 是是 的两个子空间,称集合的两个子空间,称集合为子空间为子空间 和和 的和。的和。()VL P 1W 1212,WWWxy xW yW 12,W W2W定理定理2(子空间的构造方法)(子空间的构造方法)设设 是是 的两个子空间,则有的两个子空间,则有 是是 的子空间;的子空间;是是 的子空间。的子空间。()VL P 12
14、,W W12WWW V12WWW V定义定义4(子空间的和)(子空间的和)设设 是是 的两个子空间,如果这的两个子空间,如果这两个子空间的和两个子空间的和 具有性质:对具有性质:对分解式分解式 是唯一的,则称是唯一的,则称和和 为直和,记为为直和,记为 。()VL P uW 12WWW 12,W W12,uxyxWyW12WWW 12WWW 例例6 设设 的的3个子空间:个子空间:容易验证容易验证 是直和,是直和,不是直和。不是直和。10 0(,),TVa ba bR 4R12VV 20 00(,)TVccR 300(,),TVd ed eR 1323,VV VV 定理定理3(直和的判定方法)
15、(直和的判定方法)设设 是是 的两个子空间,则的两个子空间,则 是直和是直和 。()VL P 12,W W12WWW 12WW 推论推论1(直和的判定方法)(直和的判定方法)设设 是是 的两个子空间,则的两个子空间,则 是直和是直和 零向量表示式唯一。零向量表示式唯一。()VL P 12,W W12WWW 定理定理4(维数定理)(维数定理)设设 ,是它的两个子空间,则有是它的两个子空间,则有12VWW 12,W W121212dim()dim()dim()dim()WWWWWW 例例7 设设 的的2个子空间为:个子空间为:将将 表示为生成子空间。表示为生成子空间。求求 的基与维数。的基与维数。
16、求求 的基与维数。的基与维数。12VV 1211234340,xxVA Axxxxxx 2 2R 2121210112301(,),VL B BBB 12VV 12VV 分析:分析:设设 的两个子空间为的两个子空间为V112(,)mVL x xx 212(,)nVL yyy 121212(,)mnV VLx xx y yy 须须 的最大无关组为的最大无关组为 的基。的基。1212,mnx xx y yy12VV 解:解:先将先将 表示成生成子空间表示成生成子空间1V的基础解系为的基础解系为12340 xxxx123100110011001,的一个基为:的一个基为:1V1231101000010
17、11,AAA1123(,)VL A A A 1212312(,)VVL A A A B B 在在 的简单基的简单基下的坐标依次可记为下的坐标依次可记为12312,A A A B B2 2R 11122122,E E E E1231210011110010112000131,容易判定该向量组的一个最大无关组为容易判定该向量组的一个最大无关组为1232,1232,A A A B是是 的一个基。的一个基。12VV 124dim()VV 设设 ,则有,则有 满足满足12AVV12312,kkktt1122331122Ak Ak Ak At Bt B 1122331122k Ak Ak At Bt B
18、代入代入 并比较对应元素,得线性代数并比较对应元素,得线性代数方程组方程组12312,A A A B B112122231312002030kttkktkktktt 其其通通解解为为1231211310,kkkkk Rtt 112233Ak Ak Ak A 1122t Bt B 1210()kBB 1023k 的一个基为的一个基为12VV 1023 121dim()VV 4、线性空间的同构、线性空间的同构定义定义1(线性空间的同构)(线性空间的同构)设设 是两个线性空间,如果是两个线性空间,如果 和和 之间存在一个一一对应关系之间存在一个一一对应关系 ,使得对任意的,使得对任意的 满足满足 则
19、称则称 是从是从 到到 的同构映射,的同构映射,和和 是同构的。是同构的。12(),()VL P VL P 2V1V1,x yVP()()()()()xyxyxx 1V2V1V2V注注:同构映射保持原线性空间的加法和数乘运算,且:同构映射保持原线性空间的加法和数乘运算,且 满足线性关系。满足线性关系。定理定理1(同构映射的基本性质)(同构映射的基本性质)设设 是是 到到 的同构映射,则有下列性质:的同构映射,则有下列性质:1V();,()().xVxx 1niiiyk x 设设 ,则,则1()().niiiykx 2V 设设 是是 到到 的同构映射,如果的同构映射,如果 是是 中的线性无关组,
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