广西南宁市2017-2018学年高二数学上学期期中试题(有答案，word版).doc

1、 - 1 - 广西南宁市 2017-2018 学年高二数学上学期期中试题 一、选择题：每小题 5分，共 60 分在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的 1 不等式 ? ? ?1 2 0xx? ? ?的解集是（ ） A ? ?1xx? B ? ?1xx? C ? ?12xx? ? ? D ? ?12x x x? ? ?或 2 “ a 3” 是 “ 直线 ax 2y 2a 0和 直线 3x (a 1)y a 7 0平行 ” 的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 已知命题 00: ,sin 2p x x? ? ?R ；命题 2: ,

2、1 0q x x x? ? ? ? ?R ，则下列结论正确的是（ ） A命题 pq? 是 假命题 B命题 pq? 是 真命题 C命题 ? ? ? ?pq? ? ? 是 真命题 D命题 ? ? ? ?pq? ? ? 是 真命题 4在 ABC? 中，内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c，若 32ab? ，则 2222 sin ( ) sinsinA C AA?的值为（ ） A 19? B 13 C 1 D 72 5 ABC? 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c若 a,b,c 成等比数列，且 2ca? ，则 cosB?（ ） A24B 4 C34D236设 nS 是等差数列 ?na

3、的前 n项和，已知 263, 11aa?，则 7S 等于（ ） A 13 B 35 C 49 D 63 7在由正数组成的等比数列 ?na 中，若 4 5 6 3aaa ? , 则 1 2 8 9aa aa 的值为（ ） A 3 B 9 C 27 D 81 8下列不等式正确的是（ ） - 2 - A 1 2x x? B 1 2xx?C 2 1 ( 0)4x x x? ? ? D 1sin 2sinx x? 9已知两圆 2 2 2 212: ( 4 ) 1 6 9 , : ( 4 ) 9C x y C x y? ? ? ? ? ?，动圆在圆 1C 内部且和圆 1C 相内切，和圆 2C 相外切，则动

4、圆圆心 M的轨迹方程为（ ） A 22164 48xy? B 22148 64xy? C 22164 48xy? D 22148 64xy? 10已知数列 ?na 满足 111, 3 2 ( 2 )nna a a n n? ? ? ? ?，则 ?na 的通项公式为（ ） A 23nan? B 23na n n? C 23 2n nna ?D 23 2n nna ?11在 ABC中，若 lg sin A lg cos B lg sin C lg 2，则 ABC是 ( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 12若关于 x 的不等式 23 x a x? ? ? 至少有一个负

5、数解，则实数 a 的取值范围是（ ） A 133 4a? ? ? B 13 34 a? ? ? C 33a? ? ? D 13 1344a? ? ? 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分把答案填在题中横线上 13若 ,xy满足约束条件 2 1 0,2 1 0,1,xyxyx? ? ? ? ?则 2 3 5z x y? ? ? 的最 小 值为 _ 14已知函数 2( ) 1f x x ax? ? ?，若对任意的 ? ?,1x a a?都有 ( ) 0fx? ，则实数 a 的取值范围是 15在 ABC? 中，角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，且满足 sin cosa B

6、b A? ，则 2sin cosBC? 的最大值是 _ 16已知 M是 ABC? 内的一点，且 2 3 , 3 0A B A C B A C? ? ? ?，若 ,MBC M A?和 MAB?的面积分别为 1,2xy ，则 14xy?的最小值是 . - 3 - 三 、 解答题：本大题共 6小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（ 10分）已知命题 p： 对任意实数 x都有 2 10ax ax? ? ? 恒成立；命题 q：关于 x的方程 2 0x x a? ? ? 有实数根，如果命题 p与命 题 q中有且仅有一个为真命题，求实数 a的取值范围 18（ 12 分）在 ABC

7、? 中，角 A,B,C的对 边分别为 a,b,c，且满足 2 2 2b c bc a? ? ? （ 1）求角 A的大小； （ 2）若 3,sin 2 sina C B?，求 ABC? 的面积 19 （ 12分） 某中学初一年级 500名学生参加某次数学测评，根据男女学生人数比例，使用 分层抽样的方法从中随机抽取了 100名学生，记录他们的分数，将数据分成 7组： 20,30），30,40）， ? ， 80,90，并整理得到如下频率分布直方图： （ 1）从总体 的 500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； （ 2）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70

8、 的男女生人数相等试估计总体中男生和女生人数的比例 - 4 - - 5 - GFEBCDA20（ 12 分 ）已知数列 ?na 的前 n项和 2 2nS n n? （ 1）求数列 ?na 的通项公式 na ； （ 2）令 *21 ()1n nb n Na?，求数列 ?na 的前 n项和 nT 21 （ 12分） 如图， ABC? 和 BCD? 所在平面互相垂直，且 2AB BC BD? ? ?， ABC? 120 , , ,DBC E F G? 分别为 AC、 DC、 AD的中点 （ 1）求证： EF? 平面 BCG； （ 2）求三棱锥 D-BCG 的体积 22（ 12 分）已知等差数列 ?n

9、a 的前 n项和 nS ，且 252, 15aS?，数列 ?nb 满足1 1,2b?1nb? 12 nn bn? （ 1）求数列 ?na ， ?nb 的通项公式； （ 2）记 nT 为数列 ?nb 的前 n项和， 2 (2 )() 2nnSTfn n ? ? ，试问 ()fn是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 - 6 - 高二段考 数 学试题参考答案 1 D 2 A 【解析】 当 a 3时，直线 ax 2y 2a 0即 3x 2y 6 0，直线 3x (a 1)y a7 0 即 3x 2y 4 0，可知两直线的斜率相等，且在 y 轴上的截距不等，此 时，两直线平行；反过来

10、，当直线 ax 2y 2a 0 与直线 3x (a 1)y a 7 0 平行时，能得出 a 3 或 a 2综上所述，选 A 3 C 【解析】 命题 p 中， sinyx? 的最大值为 1，所以为假命题；命题 q 中，判别式小于 0 ，所以为真命题，所以 命题 pq? 是 真命题，命题 pq? 是 假命题，命题 ? ? ? ?pq? ? ?是 真命题，命题 ? ? ? ?pq? ? ? 是 假命题 4 D【解析】由三角形的性质及正弦定理知， 2 2 2 2222 s in ( ) s in 2 s in s in=s in s inA C A B AAA? ? ?2 2 22222 1b a b

11、aa? ? ?， 又 32ab? ， 22271=2ba ?，故选 D. 5. C【解析】因为 ,abc成等比 数列，所以有 2b ac? ，且 2ca? ，由余弦定理推论得2 2 2 3cos = 24a c bB ac? ?，故正确答案是 C. 6 C【解 析】 1 7 2 67 7( ) 7( ) 4922a a a aS ? ? ?7 C【解析】根据等比数列的性质可得， 91 2 8 9 3 3 3 35 3 4 55 ( ) ( ) 3. aa a a a a a a a? ?，故选 C. 8 B 【解析】 当 x 0时， 1 2x x?，当 x 0时， 1 2x x? ? ，所以

12、1| | 2x x?，故 A不 正确， B正确；由于 x 0， 所以 2 14xx?，当且仅当 2 14x? ，即 12x? 时取等号，故 C不正确；当 sin (0,1x? 时， 1sin 2sinx x?， sin 1,0)x? 时， 1sin 2sinx x? ? ?，故 D不正确 . 9 C 【解析】设圆 M 的半径为 r ，则 1 2 1 2| | | | 1 3 3 1 6 | | 8M C M C r r C C? ? ? ? ? ? ? ?， M 的轨迹是以 12,CC为焦点的椭圆，且 2 16a? ， 28c? ，故所求的轨迹方程为- 7 - 22164 48xy?. 10

13、C【解析】由 1 32nna a n? ? ?得 1 32nna a n? ? ?， 1 4 7 . 3 2na a n? ? ? ? ? ? 2( 1 )( 4 3 2 ) 3 222n n n n? ? ? ? ?， 23 2n nna ?，当 1n? 时也符合， 数列的通项公式为 23 2n nna ?. 11 A 【解析】 lg s in lg c o s lg s in lg 2A B C? ? ?， lg sin = lg (2 co s sin )A B C，即sin =2 cos sinA B C， s in s in ( ) s in c o s c o s s inA B

14、C B C B C? ? ? ?， s in c o s c o s s in = 2 c o s s inB C B C B C? ， sin co s co s sin = 0B C B C? sin( )=0BC? ， ,BC为三角形内角 ， 所以 B=C，即三角形 ABC为等腰三角形 12 B 【解析】 23 x a x? ? ? ，即 23x a x? ? ? ，且 230x?， 在同一坐标系中，画出 23yx? 和 y x a? 的图象， 当函数 y x a? 的图象的左支经过点 ? ?0,3 时， 求得 3a? ，当函数 y x a? 的图象的右支和 23yx? 的图象相切时，方

15、程组2,3y x ayx? ?有唯一的解，即 2 30x x a? ? ? ?有唯一的解，故 1 4( 3) 0a? ? ? ? ? ?，解得 134a? ，所以实数 a 的取值范围是 13 34 a? ? ? ，故选 B 13 10? 【解析】如图所示，当目标 函数 2 3 5z x y? ? ? 经过点 ( 1 1)，A? 时取得最小值， 即 m in 2 ( 1) 3 ( 1) 5 1 0z ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 14 2( ,0)2? 【解析】根据题意得 ( ) 0( 1) 0fafa? ?， 即 22210( 1) ( 1) 1 0aaa a a? ? ? ? ? ?

16、 ? ?， 解得 2 02 x? ? ? . - 8 - 15 1 【解析】由 sin cosa B b A? ，得 sin sin sin c o s , ta n 1,A B B A A?因为在三角形中，所以 4A ? ， 2sinB cosC? = 32 s in c o s s in4 C C C? ? ?， 30,4C ?，所以sinC 的最大值为 1. 16 18【解析 】 | | | | c o s 3 0 = 2 3A B A C A B A C ? ? ?， 得 | | |=4AB AC? ， 1S | | | |s in 3 0 = 12ABC A B A C ? ?， 即

17、 1+12 xy? ， 12xy? ，1 4 1 42 ( ) ( )xyx y x y? ? ? ? 42(5 ) 18yxxy? ? ? ?， 当且仅当 4=yxxy即 11,63xy?时取等号 . 17【解析】对任意实数 x 都有 2 10ax ax? ? ? 恒成立 =0a? 或 0 040a a? ? ? ? ? ?； 关于 x 的方程 2 =0x x a? 有实数根 11 4 0 4aa? ? ? ? ?； 若 p 真，且 q 假，有 04a? ，且 14a? ， 1 44 a? ； 若 q 真，且 p 假，有 0a? 或 4a? ，且 14a? ， 0a? 所以实数 a 的取值范

18、围为 1( ,0) ( ,4)4? 18【解析】 （ 1）由余弦定理得： 2 2 2 1cos =22b c aA bc? ， 0 A ? 3A ? . （ 2 ）由 sin 2sinCB? ， 得 2cb? ， 3, 3aA?， 由 余 弦 定 理 得2 2 2 22 c o s 3a b c bc A b? ? ? ? 解得 3, 2 3bc?， 1 3 3sin22ABCS bc A? ?. 19 0 .4 32【 答 案 】 （ 1） ； （ 2） 【解析】（ 1）根据频率分布直方图可知， - 9 - GFEBCDAO样本中分数不小于 70 的频率为 (0.02 0.04) 10 0.6? ? ?， 所以样本中分数小于 70的频率为 1 0.6 0.4?. 所以从总体的 500 名学生中随机抽取一人，其分数小于 70 的概率估计为 0.4； （ 2）样本中分数 不小于 70的学生人数为 (0 .0 2 0 .0 4 ) 1 0 1 0 0 6 0? ? ? ?； 样本中