广东省惠州市2021届高三第一次调研考试数学试题 Word版含答案.docx

1、数学试题 第 1 页，共 17 页 惠州市惠州市 20212021 届高三第一次调研考试试题届高三第一次调研考试试题 数数 学学 全卷满分 150 分，时间 120 分钟 2020.07 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡 上。 2作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信 息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。 3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷 上无效。 一、一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 1

2、0 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 50 分。分。 在在每小题给出的每小题给出的四个四个选项中，只有一项符合题目要求选项中，只有一项符合题目要求，选对得，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分。分。 1设集合 2 |560Mx xx，集合0Nx x, 则NM （ ）. A 0 x x B |3x x C |2x x D 23xx 2复数z满足(1)= 1izi ，其中i为虚数单位，则复数z=（ ）. A1 i B1 i Ci Di 3已知 2 sin 3 ，则cos2（ ）. A 1 9 B 1 9 C 5 3 D 5 3 4已知向量,3ka，向量1,4b，若ab，则实数

3、k （ ）. A12 B 12 C 4 3 D 4 3 5已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，则直线 1 DA与直线AC所成角的余弦值 为（ ）. A 1 2 B 2 2 C 1 2 D 3 2 数学试题 第 2 页，共 17 页 6已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线平行于直线:250l xy， 则双曲线的离心率为（ ）. A 1 2 B 6 2 C 3 2 D 5 2 7张丘建算经是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元 466-485 年间。其中记载着 这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同

4、。 已知第一日织布 5 尺，30 日共织布 390 尺，则该女子织布每日增加（ ）尺. A 7 4 B 29 16 C 15 8 D 31 16 8函数 cosf xxx的部分图象的大致形状是（ ）. A B C D 9根据中央关于精准脱贫的要求，某市某农业经济部门随机派遣甲、乙等共 4 位专家对 3 个县区进 行调研，每个县区至少派 1 位专家，则甲、乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）. A 6 1 B 4 1 C 3 1 D 2 1 10对于函数 f x，若在定义域内存在 实数 x，满足 fxf x，称 f x为“局部奇函数”. 若 12 423 xx f xmm 为定义域 R 上的

5、“局部奇函数” ， 则实数 m 的取值范围是 （ ） . A1313m B132 2m C2 22 2m D2 213m A( ) y x O B( ) O x y C( ) O x y D( ) Ox y 数学试题 第 3 页，共 17 页 二二、多多项选择题项选择题：本题共本题共 2 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 10 分。分。在在每小题给出的每小题给出的四个四个选项中，选项中， 有多有多项符合题目要求项符合题目要求。全部选对得。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 11下列选项中正确的是（ ） A不等式2aba

6、b恒成立 B存在实数 a，使得不等式 1 2a a 成立 C若ab、为正实数，则2 ba ab D若正实数 x，y 满足21xy，则 21 8 xy 12 在空间中， 已知, a b是两条不同的直线，, 是两个不同的平面， 则下列选项中正确的是 （ ） A若/ab，且a，b，则/ / B若，且/a，/ /b，则ba C若a与b相交，且a，b，则与相交 D若ba ，且/a，/ /b，则 三三、填空题：本题共、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分，其中分，其中16题第一个空题第一个空3分，第二个空分，第二个空2分。分。 13函数 lnf xx在点1,0的切线方程为_ 14二

7、项式 7 21x的展开式中 3 x的系数是_ 15若抛物线xy4 2 上的点M到焦点的距离为 10，则M点到 y 轴的距离是_ 16已知ABC，ABAC4，BC2，点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD， 则BDC的面积是_，cosBDC_ 四四、解答题：共、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 10 分） 已知等差数列 n a的公差0d ，若 6 11a ，且 2 a， 5 a， 14 a成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 1 n nn b aa ，求数列 n b的前n项和 n

8、S 18（本小题满分 12 分） 数学试题 第 4 页，共 17 页 在ABC中，角ABC、 、的对边分别为abc、 、，且cos2cosbAcaB=. （1）求角B的值； （2）若4a ，ABC的面积为3，求ABC的周长 19（本小题满分 12 分） 如图，ABCD是边长为 3 的正方形，DE平面ABCD，/AFDE，3DEAF， BE与平面ABCD所成角为.60 （1）求证：AC平面BDE； （2）求二面角DBEF的余弦值； 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab （0ab） 的一个焦点为3,0F， 且该椭圆经过点 1 3, 2 P . （1）求椭圆C的方

9、程； （2）过点F作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，试问在x轴上是否存在定点Q 使得 直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. C E D B A F 数学试题 第 5 页，共 17 页 21（本小题满分 12 分） 已知 6 名某疾病病毒密切接触者中有 1 名感染病毒，其余 5 名健康，需要通过化验血液来确定 感染者。血液化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康 （1）若从这 6 名密切接触者中随机抽取 3 名，求抽到感染者的概率； （2）血液化验确定感染者的方法有：逐一化验；平均分组混合化验：先将血液样本平均分 成若干组，对组内血液混合化验，若化

10、验结果呈阴性，则该组血液不含病毒；若化验结果呈阳性， 则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者。 （i）采取逐一化验，求所需化验次数的分布列及数学期望； （ii） 采取平均分组混合化验 （每组血液份数相同） ， 求不同分组方法所需化验次数的数学期望。 你认为选择哪种化验方案更合理？请说明理由。 22（本小题满分 12 分） 已知函数( )ln() x f xax a . （1）若0a，求( )f x的极值； （2）若 2 ln10 xx exmxexm ，求正实数m的取值范围. 数学试题 第 6 页，共 17 页 惠州市惠州市 2021 届高三第一次调研考试届高三第一次调研考试 数学参考答案

11、与评分数学参考答案与评分细则细则 一、一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 10 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 50 分。分。 1.【解析】由题意可得32xxM，0 xxN，所以NM 0 x x ，故选 A 2.【解析】 1 1 i zi i ，故选 C 3.【解析】 9 1 ) 3 2 (21sin212cos)2cos( 22 ，故选 A 4.【解析】由已知得120431kkba，故选 B 5.【解析】连接 1 CB，则 11/ DA CB，可知 1 ACB是正三角形， 2 1 3 cos,cos 1 ACDA，故选 C 6. 【解析】 由题知双曲线的一条渐近线方程

12、为 1 2 yx ， 则 2 1 a b ， 4 1 1 2 2 22 2 2 e a ac a b ， 2 5 e，故选 D 7.【解析】由题意可知该女子每日织布数呈等差数列，设为 n a，首项5 1 a，390 30 S，可得 390 2 2930 305 d，解之得 29 16 d，故选 B 8. 【解析】 由)(cos)cos()(xfxxxxxf， 所以 f x为奇函数， 排除 A， C； 因为 f x 的大于 0 的零点中，最小值为 2 ；又因为0 6 cos 6 ) 6 ( f，故选 D 9.【解析】先从 4 个专家中选 2 个出来，看成 1 个专家有6 2 4 C种选法，再将捆

13、绑后的专家分别派 到 3 个县区，共有6 3 3 A种分法，故总共有3666种派法。 其中甲、乙两位专家派遣至同一 县区有6 3 3 A种，其概率为 6 1 36 6 . 故选 A 10.【解析】 由“局部奇函数”可得： 22 422342230 xxxx mmmm ，整理可得： 2 44222260 xxxx mm ， 考 虑 到 2 44222 xxxx ， 从 而 可 将 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案答案 A C A B C D B D A B 数学试题 第 7 页，共 17 页 22 xx 视为整体，方程转化为： 2 2 22222280 xxxx mm ，

14、利用换元设 22 xx t （2t ），则问题转化为只需让方程 22 2280tmtm存在大于等于 2 的解 即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设 22 2280g ttmtm （1）若方程有一个解，则有相切（切点xm大于等于 2）或相交（其中交点在2x两侧）， 即 0 2m 或 20g，解得：2 2m或1313m （2）若方程有两解，则 0 20 2 g m ，解得： 2 22 2 13,13132 2 2 m mmm m ， 综上所述：132 2m，答案 B 二、多二、多项选择题项选择题：本题共本题共 2 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 10 分。在每小题给出的四

15、个选项中，有多项分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。 11 题选项题选项 12 题选项题选项 可得分数可得分数 全部正确全部正确 BCD AC 5 分分 部分正确部分正确 B、C、D、BC、BD、CD A、C 3 分分 11.【解析】不等式abba2恒成立的条件是0a，0b，故 A 不正确； 当 a 为负数时，不等式2 1 a a成立故 B 正确；由基本不等式可知 C 正确； 对于8 4 24 4 4)2)( 12 ( 12 y x x y y x x y yx

16、yxyx ， 当且仅当 y x x y 4 ，即 2 1 x， 4 1 y时取等号，故 D 正确故选：BCD 12.【解析】若ba/，且ba,，即两平面的法向量平行，则/成立，故 A 正确； 若，且/,/ba，则a与b互相平行或相交或异面，故 B 错误； 若ba,相交，且ba,，即两平面的法向量相交，则,相交成立，故 C 正确； 若ba ，且/,/ba，则与平行或相交，故 D 错误；故选：AC 数学试题 第 8 页，共 17 页 二、填空题（二、填空题（本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，其中分，其中 16 题第一个空题第一个空 3 分，第二个空分，第二个空

17、 2 分。分。） 13. 1 xy 14. 280 15. 9 16. 15 2 （3 分）， 10 4 （2 分） 【注：【注：14 题结果写成题结果写成 43 7 2C 不扣分不扣分】 13.【解析】, 1 )( x xf, 1) 1 ( f 因此切线方程为1 xy. 14.【解析】展开式的第1r 项为 7 17(2 ) 1 rrr r TCx ，故令73r ，即4r ， 所以 3 x的系数为 43 72 280C 15.【解析】抛物线xy4 2 的焦点)0 , 1 (F，准线为1x，由 M 到焦点的距离为 10，可知 M 到准 线的距离也为 10，故到 M 到的距离是 9. 16.【解析

18、】法法 1：依题意作出图形，如图所示，则 sinDBCsinABC， 由题意知 ABAC4，BCBD2，则 sinABC 15 4 ，cosABC1 4， 所以 S BDC 1 2BC BD sinDBC 1 2 2 2 15 4 15 2 ， 因为 cosDBCcosABC1 4 BD2BC2CD2 2BD BC 8CD 2 8 ， 所以 CD 10， 由余弦定理，得 cosBDC4104 2 2 10 10 4 . 答案： 15 2 ； 10 4 法法 2：如图，作 AE 垂直 BC，作 DF 垂直 BC，由勾股及相似比可得面积。 由二倍角公式可得目标角度的余弦值。 三、解答题（本大题共三

19、、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17.（本小题满分 10 分） 【解析】（1）法法 1： 6 11a ， 1 511ad， .1 分 2 a， 5 a， 14 a成等比数列， 2 111 (4 )()(13 )adad ad，化简得 2 1 2da d，.2 分 又因为0d .3 分【注：无此步骤，本得分点不得分【注：无此步骤，本得分点不得分】 且由可得， 1 1a ，2d .4 分【注：只要算出【注：只要算出2d 即可给分即可给分】 数列的通项公式是21 n an .5 分 法法 2： 6

20、11a ， 2 a， 5 a， 14 a成等比数列， 2 666 ()(4 )(8 )adad ad， .1 分 数学试题 第 9 页，共 17 页 2 (11)(11 4 )(11 8 )ddd，化简得 2 3366dd， .2 分 又因为0d .3 分【注：无此步骤，本得分点不得分【注：无此步骤，本得分点不得分】 得2d .4 分 6 6 n aand1126n 数列的通项公式是21 n an .5 分 （2）由（1）得 1 11111 () (21)(21)2 2121 n nn b a annnn ， .7 分 12 111111 (1) 23352121 nn Sbbb nn .8

21、分 11 (1) 221n .9 分 21 n n 所以 21 n n S n .10 分 18.（本小题满分 12 分） 【解析】（1）法法 1：由已知bcosA(2ca)cosB，及正弦定理可得： 2sinCcosBsinBcosAsinAcos B .1 分 2sinCcosBsin(AB)， .2 分 因为ABC，所以 2sinCcosBsinC， .3 分 因为sinC0， .4 分【注：无此步骤，本得分点不得分【注：无此步骤，本得分点不得分】 所以cosB1 2. .5 分 因为0B， .6 分【注：无此步骤，本得分点不得分【注：无此步骤，本得分点不得分】 所以B 3. .7 分

22、法法 2：由已知bcosA(2ca)cosB，及余弦定理可得： 222222 2 22 bcaacb bca bcac =.1 分 化简得 222 acbac.2 分 余弦定理可得2cosacBac.3 分 因为ac0，.4 分【注：无此步骤，本得分点不得分【注：无此步骤，本得分点不得分】 数学试题 第 10 页，共 17 页 所以cosB1 2. .5 分 因为0B，.6 分【注：无此步骤，本得分点不得分【注：无此步骤，本得分点不得分】 所以B 3. .7 分 （2）由SABC1 2acsinB .8 分【注：单独写出此步骤，即可得【注：单独写出此步骤，即可得 1 分分】 得31 2 4 c

23、 3 2 ，所以c1. .9 分 又由余弦定理： 222 2cosbacacB，.10 分【注：单独写出此步骤，即可得【注：单独写出此步骤，即可得 1 分分】 222 1 412 4 113 2 b 得13b， .11 分 故ABC 的周长为5 13. .12 分 【注：第二问也可过【注：第二问也可过 A 作作 BC 边上的高，然后通过勾股定理求得边长，此过程按踩分点给分即可边上的高，然后通过勾股定理求得边长，此过程按踩分点给分即可】 19.（本小题满分 12 分） 【解析】（1）证明：因为DE平面ABCD，AC 面ABCD 所以.ACDE .1 分 因为ABCD是正方形，所以ACBD .2

24、分 又DBDDE, DE 面BDE，BD 面BDE.3 分 【注：此步骤未写全【注：此步骤未写全 3 个条件，本得分点不得分个条件，本得分点不得分】 故AC平面.BDE .4 分 （2）法法 1：【向量法】【向量法】 因为DEDCDA,两两垂直， 建立空间直角坐标系xyzD如图所示.5 分 因为ED 平面ABCD，且EB与平面ABCD所成角为60，即60DBE，.6 分 所以. 3 DB ED 由已知3AD，可得. 6,63AFDE .7 分 则),0 , 3 , 0(),0 , 3 , 3(),63 , 0 , 0(),6, 0 , 3(),0 , 0 , 3(CBEFA 所以).62, 0

25、 , 3(),6, 3, 0(EFBF .8 分 数学试题 第 11 页，共 17 页 设平面BEF的法向量为),(zyxn，则 0 0 EFn BFn ，即. 0623 063 zx zy 令6z，则).6, 2 , 4(n .9 分 因为AC平面BDE，所以CA为平面BDE的法向量，).0 , 3, 3( CA .10 分 所以. 13 13 2623 6 ,cos CAn CAn CAn .11 分 因为二面角为锐角，所以二面角DBEF的余弦值为. 13 13 .12 分 法法 2：【几何法】【几何法】 如图，G、P分别为线段ED、EB的三等分点， M、N分别为线段EB、DB的中点， M

26、NGP=H，连结FH， AF/NH，且AF=NH，所以FH/AN，且FH= AN 所以FH面BDE， 过F作FQEB垂足为Q，连结HQ 由三垂线定理知，FQH为二面角DBEF的平面角。.6 分 由已知可得FHAN，所以 3 2 2 FH .7 分 因为ED 平面ABCD，且EB与平面ABCD所成角为60，即60DBE，.8 分 PHQ为直角三角形，QPH=60， 12 42 HPGP，所以 6 4 HQ ，.9 分 由勾股定理得 222 FQFHHQ，得 78 4 FQ ，.10 分 所以cosFQH 6 13 4 1378 4 .11 分 所以二面角DBEF的余弦值为. 13 13 .12

27、分 数学试题 第 12 页，共 17 页 20.（本小题满分 12 分） 【解析】（1）法法 1：【待定系数法】【待定系数法】 由题意可得 222 3bac，.1 分 又因为点在椭圆上得1 4 13 22 ba .2 分 联立解得 2 4a ， 2 1b . .3 分 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y.4 分 法法 2：【定义法】【定义法】 设另一个焦点为 1 3,0F ，则 1 FFP为直角三角形， 由勾股定理得 1 17 12 42 FP ， .1 分 所以 1 24aPFPF，即2a ，.2 分 由 222 bac得 2 1b .3 分 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x

28、y .4 分 （2）当直线l为非x轴时，可设直线l的方程为xmy30，与椭圆C联立， 整理得 22 4my2 3my 10 . .5 分 由 2 22 = 2 3m+4 4m1=16 m0 设 11 A x ,y， 22 B x ,y，定点Q t,0 (且 12 tx ,tx ) 则由韦达定理可得 12 2 2 3m yy 4m ， 12 2 1 y y 4m . .6 分 直线QA与直线QB恰关于x轴对称，等价于AQ,BQ的斜率互为相反数. 所以 12 12 yy 0 xtxt ，即得 1221 y xtyxt0. .7 分 数学试题 第 13 页，共 17 页 又 11 xmy30， 22

29、 xmy30，得 11 x = 3my， 22 x = 3my 所以 1221 y3myty3myt0， 整理得 1212 3tyy2my y0. .8 分 从而可得 22 2 3m1 3t2m0 4m4m ， 即2m 43t0， .9 分 所以当 4 3 t 3 ，即 4 3 Q,0 3 时，直线QA与直线QB恰关于x轴对称成立. .10 分 特别地，当直线l为x轴时， 4 3 Q,0 3 也符合题意. .11 分 综上，存在x轴上的定点 4 3 Q,0 3 ，满足直线QA与直线QB恰关于x轴对称.12 分 21.（本小题满分 12 分） 【解析】（1）6 名密切接触者中随机抽取 3 名共有

30、 3 6 20C 种方法，1 分 抽取 3 名中有感染者的抽法共有 12 15 10CC种方法，2 分 所以抽到感染者的概率 2 5 3 6 101 = 202 C P C 3 分 （2）（i）按逐一化验法，的可能取值是 1，2，3，4，5， 4 分 1 1 1 6 1 1 = 6 C P C ， 11 51 2 6 1 2 = 6 C C P A ， 21 51 3 6 1 3 = 6 A C P A ， 31 51 4 6 1 4 = 6 A C P A ， 415 515 55 66 111 5 =+= 663 A CA P AA ， 【5表示第表示第 5 次化验呈阳性或前次化验呈阳性或

31、前 5 次化验都呈阴性（即不检验可确定第次化验都呈阴性（即不检验可确定第 6 个样本为阳性）】个样本为阳性）】 分布列如下： 1 2 3 4 5 数学试题 第 14 页，共 17 页 P 1 6 1 6 1 6 1 6 1 3 5 分 【注：无列表不给分】【注：无列表不给分】 所以 1111110 =12345 666633 E 6 分 （ii）平均分组混合化验，6 个样本可按33，平均分成 2 组，或者按2 2 2， ，分成 3 组。 如果按33，分 2 组，所需化验次数为，的可能取值是 2，3， 1111 1111 1111 2323 1 =2 = 3 CCCC P CCCC ， 1111

32、11 121121 1212 2323 2 =3 = 3 CC CCC C P CACA ，7 分 分布列如下： 2 3 P 1 3 2 3 128 =2+3= 333 E 8 分 如果按2 2 2， ，分 3 组，所需化验次数为，的可能取值是 2，3， 1111 1111 1111 3232 1 =2 = 3 CCCC P CCCC ， 1111 2121 1111 3232 2 =3 =1+1= 3 CCCC P CCCC ，9 分 分布列如下： 2 3 P 1 3 2 3 128 =2+3= 333 E 10 分 【参考回答【参考回答 1】：】： 因为 =EEE， 11 分 所以我认为平均分组混合化验法较好，按2 2 2， ，或33，分组进行化验均可。12 分 【参考回答【参考回答 2】：】： 因为 =EEE， 按33，分 2 组比按2 2 2， ，分 3 组所需硬件资源及操作程序更少， 11 分 所以我认为平均分组混合化验法且按33，分 2 组更好。12 分 数学试题 第