河南省南阳市八校2017-2018学年高二数学上学期期中联考试题[理科](有答案解析，word版).doc

1、 - 1 - 河南省南阳市八校 2017-2018 学年高二上学期期中联考 数学试题（理科） 1. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 得 ， ， 所以由正弦定理可知， ， 故选 D。 2. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，其中 ，则角 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由余弦定理可知， ， 得 ， 所以角 最大值为 ， 故选 B。 3. 设 ， ，若 ，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】令 ， 则 B、 D 错，排除； 令 ，

2、则 C 错，排除； 故选 A。 4. 如图，要测出山上信号发射塔 的高，从山脚 测得 ，塔顶 的仰角为 ，塔底 的仰角为 ，则信号发射塔 的高为（ ） - 2 - A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题意可知， ， 的、得， 由正弦定理可知， ， 解得 ， 故选 B。 5. 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ， 得 ， ， 又 时，得 ， ， 所以 ， 故选 D。 6. 若数列 满足 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意 ， ， 故选 C。 7. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ，

3、， ，若 ， 的面积为 ，则 的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 - 3 - 【答案】 A 【解析】由 得 ， ， 又 ， 得 ， ， 所以 ， 故选 A。 8. 2017 年国庆节期间，某数学教师进行了一次 “ 说走就走 ” 的登山活动，从山脚 处出发，沿一个坡角为 的斜坡直行，走了 后，到达山顶 处， 是与 在同一铅垂线上的山底，从 处测得另一山顶 点的仰角为 ，与山顶 在同一铅垂线上的山底 点的俯角为，两山 ， 的底部与 在同一水平面，则山高 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】如图 ， 由题可知， ， 所以 ， ， ， 故选 D。 点睛：解三角形

4、的实际应用题型，首先是模型的建立，本题要根据题目条件，画出正确的几何图形模型，再根据题目的条件，利用解三角形的知识，进行目标的求解 。 在本题中，可以根据条件的特殊性，直接利用三角形的几何特征求解。 9. 某船开始看见灯塔时在南偏东 方向，后来船沿南偏东 的方向航行 后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A - 4 - 【解析】 设船开始位置为 ， 最后位置为 ， 灯塔位置为 ， 则 ， ， 由正弦定理得： ， 即 ， 解得 ， 则这时船与灯塔的距离是 ，故选 D. 10. 已知数列 为等差数列， ， ，则数列 的 前 项和为（ ） A. B.

5、 C. D. 【答案】 C 【解析】 ， 得 ， ， 所以 时 ， ； 时 ， 所以， 故选 C。 11. 已知过点 的直线 的倾斜角为 ，设点 是直线 在第一象限内的部分上的一点，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意得直线 ， 所以点 满足 ，且 ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立，故选 C。 点睛：本题求 最小值，考察的是基本不等式的 “1” 的妙用，根据条件得到 ，- 5 - 则 ， 再利 用基本不等式解题即可，最后注意等号成立的条件即可。 12. 已知等比数列 的前 项和为 ，满足 ， ， 成等差数列，且 ，若是递增数列，则实数 的取值范围是（

6、） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题意 ， ，得 ， ， 又 ， 得 ， 所以 ， 得 ， 因为 递增数列，所以 ， 所以 ， 得 ， 故选 B。 点睛：等差等比数列的常规题型利用基本量法解题，求得首项和公比，三项成等差利用等差中项公式；数列的单调性利用后项减去前项判断，如本题中的新数列 递增，则，； 本题最后的恒成立问题则采取函数性质 处理 。 13. 不等式 的解集为 _ 【答案】 【解析】 ， ， 得 或 ， 所以解集为 。 14. 若数列 的通项公式为 ，则该数列中的最小项的值为 _ 【答案】 【解析】令 ， 则 ，对称轴 ， 由复合函数的单调性性质可知， 在 单调递

7、减 ， 单调递增 ， 又 为整数，则 当 时 ， ；当 时 ， ， 因为 ， 所以最小项为 。 点睛：数列是特殊的函数，本题将数列通项式看做函数，观察函数的性质，得到数列的相关性质。本题中利用复合函数的单调性性 质，得到数列 在 单调递减 ， 单调递- 6 - 增 ， 再根据 为整数 ， 计算 ， 比较大小即可。 15. 已知实数 ， 满足条件 则 的最小值是 _ 【答案】 【解析】 由图可知，过点 时 ， 。 16. 在 中， ，在边 上存在一点 ，满足 ，作 ， 为垂足，若为 的最小内角，则 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 由题意可知， ， 又由正弦定理可知， ， ， 所以 ， 又

8、， 得 ， 所以 。 17. 已知 ，且 ，若不等式 恒成立，求实数 的取值范围 【答案】 - 7 - 试题解析 ：由题意，得 ， 则 ， 令 ， 当且仅当 ， 即 时，等号成立 ， ， 。 18. 已知实数 ， 满足 （ 1）设 ，求 的最小值； （ 2）设 ，求 的取值范围 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】试题分析：先画出本题的可行域区域，（ 1） 表示点 与 的斜率；（ 2） 表示点 与点 的距离的平方，再减1. 试题解析： 如图 ， （ 1） 表示点 与 的斜率 ， 所以过点 时，斜率最小， 即 ； （ 2） ， 表示点 与点的距离的平方，由图可知 ， 过点 时 ， 距离最小， ；

9、 - 8 - 过点 时，距离最大， ， 的取值范围是 。 19. 在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 （ 1）证明： ； （ 2）若 ，求 的面积 【答案】（ 1）证明见解析；（ 2） . . 试题解析： （ 1） ， ， ， ， ， ， 证毕。 （ 2） ， 又由 ， 可知， ， ， ， 20. 已知 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边， 内部的一点 满足， 若 ，且 （ 1）求 ； （ 2）求 的面积 【答案】（ 1） ； (2) . - 9 - 【解析】试题分析： （ 1） 边化角得到 ， 解得， 又由 ， 得到 ， 解得答案；（ 2） 由可知， 是 的重心，所以得到 ，

10、 两边平方可得 ，又由正弦定理可知 ， 可求出 ， 进一步求出面积。 试题解析 ： （ 1） ， ， ， ， ，又 ， ， 。 （ 2）由 可知， 是 的重心， ，两边平方得 ， 又 ， 得 ， 。 点睛 ：（ 1）解三角形中边角转化的技巧要熟悉应用，本题中利用正弦定理进行边化角，再通过和差公式及三角形内角和为 108 ， 解得答案；（ 2） 对三角形的性质要熟悉，本题中可知， 是 的重心，再得到 ， 向量关系到长度关系的转化一般应用平方去处理，随后解得答案。 21. 已知数列 满足 ， （ 1）证明数列 是等比数列，并求 的通项公式； （ 2）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证： 【答案】（

11、 1） ；（ 2）证明见解析 . 【解析】试题分析：（ 1） ， 得到 是等比数列，再解得 ， 得到 ；（ 2） ， 通过裂项相消 ， 则 。 试题解析 ： - 10 - （ 1）有题可知 ， ， 则 ， 首项 ， 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列。 ， 得 。 （ 2） ， 22. 已知在公差不为零的等差数列 中， 和 的等差中项为 11，且 ，其前项和为 （ 1）求 的通项公式 ； （ 2）求证： 【答案】（ 1） ；（ 2）证 明见解析 . 【解析】试题分析 ：（ 1） 由题意可知， ， 解得 ， 则 ；（ 2）， 则 ，则。 试题解析： （ 1）由题意可知， ，则 ， 解得 ， 。 （ 2） ， ， ， 得证。 点睛 ：（ 1）基本量法的应用在基础数列题型中非常适用，通过方程思想解出 ， 得到通项公式；（ 2） 数列的放缩法技巧性比较高，学生要熟悉常用的放缩方法，本题采取裂项相消的放缩方法，将 ， 之后裂项相消求和就可以完成证明。