人教版数学九年级上册课件第二十一章一元二次方程21.2.1配方法教学资料.pptx

1、初中数学教学同步课件21.2 21.2 解解一元二次方程一元二次方程第一课时第二课时人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/第一课时返回2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/预备知识预备知识 什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？什么是平方根？一个数的平方根怎么样表示？一个数的平方等于一个数的平方等于a，这个数就叫做，这个数就叫做a的平方根的平方根.a(a0)的平方根记作：的平方根记作：x2=a(a0),则根据平方根的定义知，则根据平方根的定义知，x=aa导入新知导入新知2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/如果方程转

2、化为如果方程转化为x2=p,该如何解呢？该如何解呢？求出下列各式中求出下列各式中x的值，并说说你的理由的值，并说说你的理由.1.x2=9 2.x2=5 x=3 x=95导入新知导入新知【思考思考】2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/素养目标素养目标1.会把一元二次方程会把一元二次方程降次降次转化为两个一转化为两个一元一次方程元一次方程.2.运用运用开平方法开平方法解形如解形如x2=p或或（x+n)2=p(p0)的方程的方程.2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/一一桶油漆可刷的面积为桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰，李林用这桶油漆恰好刷完好刷完10个同样

3、的正方体形状的盒子的全部外表面，你能个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？算出盒子的棱长吗？直接开平方法直接开平方法解：解：设正方体的棱长为设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程可列出方程:106x2=1500，由此可得由此可得x2=25.开平方得开平方得 x=5，即即x1=5，x2=5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm探究新知探究新知知识点 12121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/【试一试试一试】解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流解下列方程，并说明你

4、所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解解:根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解解:根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得x1=x2=0.解解:根据平方根的意义，得根据平方根的意义，得x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解因为负数没有平方根，所以原方程无解.探究新知探究新知2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/(2)当当p=0 时，时，方程方程(I)有有两个相等的实数根两个相等的实数根 x1=x2=0；(3)当当p0 时，根据平方根的意义，时，根据平方根的意义，方程方程(I)有有两个两个不等的不等的实数根实数根 ，

5、；1px 2px 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫的根的方法叫直接开平方法直接开平方法.探究新知探究新知【归纳归纳】2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/例例1 1 利用直接开平方法解下列方程利用直接开平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)x2900=0.解解：（1）x2=6，直接开平方，得直接开平方，得（2）移项，得）移项，得 x2=900.直接开平方，得直接开平方，得x=30，x1=30,x2=30.利用直接开平方解形如利用直接开平方解形如x2=p方程方程6,x 1266xx，素养考点素养考点 1探究新知探究新知212

6、1.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/2280 x 2953x 228x24x4x 122,2xx 298x289x122222,33xx 巩固练习巩固练习1.解下列方程解下列方程（分析分析:把方程化为把方程化为 x2=p 的的形式形式）(1)(2)解解：移项移项，得，得系数化为系数化为1，得，得即即解解：移项移项，得，得系数化为系数化为1，得，得2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/解：解：把把x+3看做一个整体看做一个整体，两边开平方得两边开平方得 对照前面对照前面方法，你认为怎样解方程方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5？35,x 3535.xx ，或123535xx ，

7、或于是，方程于是，方程（x+3）2=5的两个根为的两个根为巩固练习巩固练习由方程得到，由方程得到，实质是实质是把一个一元把一个一元二次方程二次方程“降次降次”，转化为两个一元，转化为两个一元一次方程一次方程，这样就，这样就把把方程转化方程转化为我为我们会解的方程了们会解的方程了.2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/例例2 解下列解下列方程：方程：（1）（）（x1）2=2；解解析析：本本题中只要将（题中只要将（x1）看成是一个整体，看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解就可以运用直接开平方法求解.22.即即x1=-1+，x2=-1-解解：（1 1）x+1是是2的平方根，的平方根，

8、2.x+1=利用直接开平方法解形如利用直接开平方法解形如(mx+n)2=p方程方程素养考点素养考点 2探究新知探究新知2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/解析：解析：本题先将本题先将-4移到方程的右边，再同第移到方程的右边，再同第1小题小题一样地解一样地解.（2）（x1）24=0；即即x1=3，x2=-1.解：解：（2）移项，得（移项，得（x-1）2=4.x-1是是4的平方根，的平方根，x-1=2.探究新知探究新知2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/x1=，547.4 x2=(3)12（32x）23=0.解析解析：本本题题先将先将3移到方程的右边，再两边都除移到方程的右

9、边，再两边都除以以12，再同第，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以小题一样地去解，然后两边都除以-2即可即可.解：解：（3）移项）移项，得，得12（3-2x）2=3，两边都除以两边都除以12，得（，得（3-2x）=0.25.3-2x是是0.25的平方根，的平方根，3-2x=0.5.即即3-2x=0.5,3-2x=-0.5探究新知探究新知2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/962x解解：移项移项 2690 x 23160 x 63,x x6=3，x6=3,方程的两根为方程的两根为x1=3,x1 =9.解：解：212,x 12,x 12,12,xx 方程的两根为方程的两根为211x

10、212.x 解方程解方程.巩固练习巩固练习2.2.（1）（2）2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/2445xx29614xx 解：解：225,x 25,x 25,25,xx 125x 方程的两根为方程的两根为225.x解：解：2314,x 312,x 312312,xx，方程的两根为方程的两根为21.x 例例3 3 解下列方程：解下列方程：113x解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程解需要利用完全平方公式转化的一元二次方程素养考点素养考点 3探究新知探究新知（1）（2）2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/32x 32 32 解方程解方程 x2+6x+9=2.x1=x

11、2=解：解：方程的左边是完全平方形式，这个方程方程的左边是完全平方形式，这个方程可以化为：可以化为：（x+3）2=2进行降次得：进行降次得：巩固练习巩固练习3.3.2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/一元二次方程一元二次方程x29=0的的解是解是 解解析析:x29=0，x2=9，解得：解得：x1=3，x2=3 故答案为：故答案为：x1=3，x2=3连 接 中 考连 接 中 考巩固练习巩固练习x1=3，x2=32121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/C.4(x-1)2=9,解方程，得解方程，得4(x-1)=3,x1=;4741x2=D.(2x+3)2=25,解方程，得解方程，

12、得2x+3=5,x1=1;x2=-4 1.下列解方程的过程中，正确的是下列解方程的过程中，正确的是（）A.x2=-2,解方程，得解方程，得x=2B.(x-2)2=4,解方程，得解方程，得x-2=2,x=4 D课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/(1)方程方程x2=0.25的根是的根是 .(2)方程方程2x2=18的根是的根是 .(3)方程方程(2x-1)2=9的根是的根是 .x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x212.填空填空:课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2121.2 2 解解一元二次方程

13、一元二次方程/3.下面下面是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，是李昆同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正如果有错，指出具体位置并帮他改正.21150,3y2115,3y115,3y115,3 y351,y解：解：解：解：不对，从不对，从开始错，应改为开始错，应改为115,3y 12353,353.yy 课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/解方程解方程22(2)(25)xx解：解：22225,xx2(25),xx 方程的两根为方程的两根为17x 21x 22

14、5,225xxxx 课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/直直接接开开平平方方法法概念概念步骤步骤基本思路基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成 x2=p(p 0)或(x+n)2=p(p 0).一 元 二次 方 程两个一元一次方程降次降次直接开平方法直接开平方法课堂小结课堂小结2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/第二课时返回2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/化为一般式，得化为一般式，得 x2+6x-16=0 要要使一块矩形场地的长比宽多使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积米，并且面积为为

15、16平方米，求场地的长和宽应各是多少？平方米，求场地的长和宽应各是多少？x(x+6)=16导入新知导入新知解：解：设场地宽为设场地宽为xm，则长为（，则长为（x 6）m，根据，根据长方形面积为长方形面积为16m2，列方程得，列方程得 怎样解这个方怎样解这个方程？能不能用程？能不能用直接开平方法？直接开平方法？2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/2.探索直接开平方法和探索直接开平方法和配方法配方法之间的之间的区别和联系区别和联系.素养目标素养目标1.了解配方的概念，掌握用了解配方的概念，掌握用配方法配方法解一元解一元二次方程及解决有关问题二次方程及解决有关问题.2121.2 2 解解

16、一元二次方程一元二次方程/(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接开平方法来解吗下列方程能用直接开平方法来解吗?1.用直接开平方法解下列方程用直接开平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成把两题转化成(x+n)2=p(p0)的的形式，再利用开形式，再利用开平方来平方来解解.配方法的定义配方法的定义探究新知探究新知知识点 12121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/你你还记得吗？还记得吗？填一填下列完全平填一填下列完全平方公式方公式.(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b探究新知探究新

17、知2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/2b2222222222(1)10_(2)12_(3)5_2(4)_3(5)_(_)(_)(_)(_)(_)xxxxxbxxxxxxxxxx填一填填一填（根据（根据 ）配方时配方时,等式两边等式两边同时加上的是同时加上的是一次一次项系数一半的平方项系数一半的平方.2222()aabbab25x25526x522x123x22bx2665225()221()3132()2b你发现了什你发现了什么规律？么规律？二次项系二次项系数都为数都为1.1.探究新知探究新知2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/【思考思考】怎样怎样解方程解方程:x2+

18、6x+4=0（1）（1）方程）方程(1)怎样变成（怎样变成（x+n)2=p的形式呢？的形式呢？解解：x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项移项 x2+6x+9=-4+9两边都加上两边都加上9二次项系数为二次项系数为1的完的完全平方式：常数项全平方式：常数项等于等于一次项系数一一次项系数一半的平方半的平方.探究新知探究新知2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/（2）为什么在方程）为什么在方程x2+6x=-4的两边加上的两边加上9？加其？加其他数行吗？他数行吗？提示：提示：不行不行，只有在方程两边加上一次项系数，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方一半的平方

19、，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式的形式.探究新知探究新知2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/像上面那样，通过配像上面那样，通过配成成完全完全平方平方形式形式来解来解一元二次方程的方法叫做一元二次方程的方法叫做配方法配方法.配方是为了配方是为了降次降次，把一个一元二次方程转，把一个一元二次方程转化成两个化成两个一元一次方程一元一次方程来解来解.配方法的定义配方法的定义探究新知探究新知2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/45,x 例例1 解方程解方程：2810；xx12415,415.xx解：解：（1）移项，得）移项，得x28x=1,配方，得配方，得 x2

20、8x+42=1+42,(x4)2=15由此可得由此可得素养考点素养考点 1探究新知探究新知解二次项解二次项系数是系数是1的一元二次方程的一元二次方程2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/1.解方程解方程x2+8x-4=0解：解：移移项项，得，得 x2+8x4 配方配方，得，得 x2+8x+4=4+4，整理，得整理，得 (x+4)2=20，由此可得由此可得 x+4=，x1 ，x2 .25 425-42 5 巩固练习巩固练习2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/解二次项系数不是解二次项系数不是1的一元二次方程的一元二次方程配方，得配方，得2223313,2424xx 231,4

21、16x31,44x 由此可得由此可得2111,.2xx二次项系数化为二次项系数化为1，得，得231,22xx 2213 xx；解：解：移项，得移项，得2x23x=1,例例2 解解方程方程素养考点素养考点 2探究新知探究新知（1）移项和二次项系数移项和二次项系数化为化为1这两个步骤能这两个步骤能不能交换一下呢不能交换一下呢?2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/配方，得配方，得2224211,3xx 211.3x 因为实数的因为实数的平方不会是负数平方不会是负数，所以，所以x x取任何实数时，上式都取任何实数时，上式都不成立，所以原方程不成立，所以原方程无实数根无实数根解：解：移项，得

22、移项，得2364,xx 二次项系数化为二次项系数化为1 1，得，得242,3xx 2 3640.xx为什么方程两边都加12？即即探究新知探究新知（2）2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/思考思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时用配方法解一元二次方程时，移项时要注意要注意些什么？些什么？思考思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项移项时需注意时需注意改变符号改变符号.移项移项，二次项系数化为，二次项系数化为1；左边配成完全平方式左边配成完全平方式；左边写成左边写成完全平方形式完全平方形式；降次降次；解一次方程解一次方程.探究新知探究新知212

23、1.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.当当p0时时,则则 ,方程的两个根为方程的两个根为当当p=0时时,则则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为开平方得方程的两个根为 x1=x2=-n.当当p0时时,则方程则方程(x+n)2=p无实数根无实数根.xnp 12,xnpxnp 方法点拨探究新知探究新知2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/2.解下列方程：解下列方程：23640;xx 巩固练习巩固练习解解:移项移项，得，得配方，得配方，得由此可得由此可得二次项系数化为

24、二次项系数化为1，得，得整理，得整理，得3x2+6x=4x2+2x=43x2+2x+12=+1243(x+1)2=73即即 x+1=213x1=，x2=2121-1-13 32121-1-13 3（1）2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/巩固练习巩固练习24630 xx 解解:移项移项，得，得配方，得配方，得由此可得由此可得二次项系数化为二次项系数化为1，得，得整理，得整理，得2321(),416x21434xx1=，x2=321432144x2-6x=3x2-x=3234（2）2223333()()2444xx2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/巩固练习巩固练习249

25、211xxx 解解：移项移项，得，得 x取任何实数，上式都不成立取任何实数，上式都不成立，即即原方程无实数根原方程无实数根 对任何实数对任何实数x都有都有 (x+1)2 0配方，得配方，得 x2+2x+1=-2+1整理，得整理，得x2+2x=-2(x+1)2=-1（3）2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/巩固练习巩固练习4812()x xx 解：解：去括号，得去括号，得 x2+4x=8x+12 移项，得移项，得 配方，得配方，得 由此可得由此可得 x-2=4整理，得整理，得x2-4x=12(x-2)2=16x1=6,x2=-2x2-4x+2=12+2因此因此（4）2121.2 2

26、解解一元二次方程一元二次方程/例例3 试用配方法说明：不论试用配方法说明：不论k取何实数，多项式取何实数，多项式 k24k5 的值必定大于零的值必定大于零.解解：k24k5=k24k41=（k2）21因为（因为（k2）20，所以（，所以（k2）211.所以所以k24k5的值必定大于零的值必定大于零.利用配方法确定多项式或字母的利用配方法确定多项式或字母的值值（或取值范围）或取值范围）素养考点素养考点 3探究新知探究新知方法点拨：方法点拨：证明证明代数式代数式的值恒为正数的值恒为正数,需要利用配方法将代数式化需要利用配方法将代数式化成几个成几个非负数非负数的和的和,利用利用非非负负数数的的性质说

27、明性质说明代数式代数式的的值恒为值恒为正数正数.2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/例例例例4 若若a,b,c为为ABC的三边长，且的三边长，且 试判断试判断ABC的形状的形状.解解：对原式配方，得对原式配方，得 根据非负数根据非负数的性质的性质得得 223450,abc2230,40,50,abc345,abc，根据勾股定理的逆定理可知，根据勾股定理的逆定理可知，ABC为为直角三角形直角三角形.22685 25 0,aa bbc 222222345,abc 探究新知探究新知由此可得由此可得 即即 2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/巩固练习巩固练习1.方程方程2x2-

28、3m-x+m2+2=0有一个根为有一个根为x=0，则，则m的值为（的值为（）A.1 B.1 C.1或或2 D.1或或-22.应用配方法求最大值或最小值应用配方法求最大值或最小值.(1)求求 2x2-4x+5的最小值的最小值 (2)-3x2+12x-16的的最大值最大值.C解：解：原式原式=2(x-1)2+3 因为因为 2(x-1)2 0，所以所以 2(x-1)2+3 3因此当因此当x=1时，原式有最小值时，原式有最小值3.解：解：原式原式=-3(x-2)2-4 因为因为(x-2)2 0，即，即-3(x-2)2 0，所以所以-3(x-2)2-4-4因此当因此当x=2时，原式有最大值时，原式有最大

29、值-4.2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/类类 别别解解 题题 策策 略略1.求最值或证明代求最值或证明代数式的值恒为正数式的值恒为正（或负）（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2n的形式后，由于x无论取任何实数都有(x+m)20，n为常数，为常数，当当a0时，可知其有最小值；当a0时，可知其有最大值.2.完全平方完全平方式中的配方式中的配方如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.3.利用配方构成利用配方构成非负数和的形式非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是通过配

30、方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2.配方法的应用配方法的应用探究新知探究新知2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/巩固练习巩固练习1.一元二次方程一元二次方程y2y =0配方后可化为（）配方后可化为（）A.(y+)2=1 B.(y-)2=1 C.(y+)2=D.(y-)2=34123434121212连 接 中 考连 接 中 考B2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/课堂检测课堂检测1.解方程解方程：4x2-8x-4=0.解解：移项，得移项，得4x2-8x=4，基 础 巩

31、固 题基 础 巩 固 题二次项系数化为二次项系数化为1，得，得x2-2x=1，配方，得配方，得 x2-2x+1=1+1整理，得整理，得 （x-1）2=2112x212x2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/课堂检测课堂检测2.利用配方法证明：不论利用配方法证明：不论x取何值，代数式取何值，代数式x2x1的的值总是负数，并求出它的最大值值总是负数，并求出它的最大值.2133(+)-,244x所所 以以-2121.34因因 此此 当当 时时，有有 最最-大大 值值x=xx2211()0()022因因为为，即即 x+x+基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2121.2 2 解解一元二次方程

32、一元二次方程/课堂检测课堂检测3.若若 ，求，求(xy)z 的值的值.01326422zyyxx解解：对原式配方，得对原式配方，得 222320 xyz由由非负数非负数的性质可知的性质可知 2220,30,20 xyz2,32.,由由 此此 可可 得得 xyz222.6363因因 此此zxy基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/4.如图，在一块长如图，在一块长35m、宽、宽26m的矩形地面上，修建同样的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为余部分的面积为85

33、0m2，道路的宽应为多少？，道路的宽应为多少？解：解：设道路的宽为设道路的宽为xm,根据题意得根据题意得（35-x)(26-x)=850，整理得整理得x2-61x+60=0.解得解得x1=60（不合题意，舍去不合题意，舍去）,x2=1.答：答：道路的宽为道路的宽为1m.课堂检测课堂检测基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/已知已知a,b,c为为ABC的三边长，且的三边长，且 试判断试判断ABC的形状的形状.2220,abcabacbc解：解：对原式配方，得对原式配方，得 由代数式的性质可知由代数式的性质可知 22210,2abacbc,0,0,02

34、22cbcaba,cba所以，所以，ABC为为等边三角形等边三角形.课堂检测课堂检测能 力 提 升 题能 力 提 升 题2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/配方法配方法定义定义通过配成完全平方形式解一元通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法二次方程的方法.步骤步骤一移常数项；一移常数项；二配方二配方 配上配上 ；三写成三写成（x+n)2=p(p 0);四直接开平方法解方程四直接开平方法解方程.2 2二二 次次 项项 系系 数数（）2 2特别提醒：特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式的形式.应用应用求代数式的最值或证明求代数式的最值或证明.课堂小结课堂小结2121.2 2 解解一元二次方程一元二次方程/课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习 播放完毕