江苏省镇江市2020届高三三模数学试题含附加题带答案及解析.docx

1、 2020 届镇江市高三教学情况调研（三）届镇江市高三教学情况调研（三） 数学第数学第卷卷 一、填空题一、填空题 1已知集合1,2A， 2 1,Ba ，若 ABa，则实数a_. 2若复数z满足1 33i zi ，其中i是虚数单位，z _. 3已知，是某个平行四边形的两个内角，命题P：；命题Q：sinsin，则命题P是命 题Q的_条件（在“充要” 、 “充分不必要” 、 “必有不充分” 、 “既不充分也不必要”中选择一个合适的 填空）. 4为了研究疫情病毒和人的血型间关系，在被感染的 600 人中，O型血有 200 人A型血有 150 人，B型 血有 150 人，AB型血有 100 人.在这 6

2、00 人中，为抽取一个容量为 60 人的样本，则应从O型血中抽取的人 数为_. 5已知直线 1 l：230 xy， 2 l：20 xkyk，且 12 ll，则直线 1 l， 2 l间的距离为_. 6一周后的 6 月 25 日为端午节，国家规定调休放假 3 天.甲、乙、丙三人端午节值班，每人值班一天，每 天一人值班，则甲在乙前面值班的概率为_. 7中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题： “九百九十六斤棉花，赠分八子作盘缠，次第每人多 十七， 要将第八数来言” .意思是把 996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠， 按照年龄从大到小的顺序依次排列分绵， 每个弟弟都比前面的哥哥多 17 斤绵，那么第

3、 8 个儿子分到的绵的斤数为_. 8已知抛物线 2 4yx的准线是双曲线 22 2 10 2 xy a a 的左准线，则a_. 9 算数书 竹简于 20 世纪 80 年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我们现存最早的成系统的数学典籍， 其中记载要求“困盖”术： “置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底 面周长L与高h， 计算其体积V的近似公式 2 1 36 VL h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率取近似值 _. 10已知圆 1 C： 22 24xay与圆 2 C： 22 11xby外切，则ab的最大值为_. 11 九章算术是我国古代著名数学经典，其对勾股定理

4、的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题： “今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意为：今有直角三角形ABC，勾（短直角边）BC长 5 步，股（长直角边）AB长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形DEBF边长为多少？在如图所示中， 求得正方形DEBF的边长后，可求得tanACE_. 12 已 知 在OAB中 ，2OA，2OB ，135AOB，P为 平 面OAB上 一 点 ， 且 OPOAOBR，当OP最小时，向量OP与OB的夹角为_. 13 已知函数 2 , 43, x e f x xx 1, 13, x x 若函数 2g xf xk x有三个零点， 则实数k的取 值范围是_.

5、14在锐角ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若sincossincosbCAAC，且2a ，则 tan tantan A BC 的最大值为_. 二、解答题二、解答题 15如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，D为AC中点，ABBC， 11 ADAC.求证： （1） 1 BC平面 1 ABD； （2）平面 1 ABD 平面 11 ABC. 16在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 5 cos 5 A，sin5cosBC. （1）求tanC的值； （2）若2 2a ，求ABC的面积. 17在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 22 22 10 xy ab a

6、b 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，离心率为 2 2 ，两准线间距离为 8.圆O的直径为 12 FF，直线l与圆O相切于第四象限点T，与y轴交于M点，与椭 圆C交于点N（N点在T点上方） ，且OMON， （1）求椭圆C的标准方程； （2）求直线l的方程； （3）求直线l上满足 1 F， 2 F距离之和4 2的所有点的坐标. 18 镇江市长江路江边春江潮广场要设计一尊鼎型塑像 （如图 1） ， 塑像总高度为 12 米， 塑像由两部分组成， 上半部分由四根垂直于水平地面的等高垂直立柱组成（立柱上凸起部分忽略不计） ，下半部分由正四棱台的 上底面四根水平横柱和正四棱台的四根侧棱斜柱组成， 如图

7、 2 所示设计要求正棱台的水平横柱长度为 4 米， 下底面边长为 8 米，设斜柱与地面的所成的角为. （1）用表示塑像上半部分立柱的高度，并求sin的取值范围？ （2）若该塑像上半部分立柱的造价为3千米/米（立柱上凸起部分忽略不计） ，下半部分横柱和斜柱的造 价都为 2 千元/米，问当为何值时，塑像总造价最低？ 19各项为正数的数列 n a如果满足：存在实数1k ，对任意正整数n， 1 1 n n a k ka 恒成立，且存在正 整数n，使得 1n n a k a 或 1 1 n n a ak 成立，则称数列 n a为“紧密数列” ，k称为“紧密数列” n a的“紧 密度”. 已知数列 n a

8、的各项为正数，前n项和为 n S，且对任意正整数n， 2 nnn SAaBaC（A，B，C为 常数）恒成立. （1）当 1 4 A ， 1 2 B ， 1 4 C 时， 求数列 n a的通项公式； 证明数列 n a是“紧密度”为 3 的“紧密数列” ； （2） 当0A时， 已知数列 n a和数列 n S都为 “紧密数列” ， “紧密度” 分别为 1 k， 2 k， 且 12 ,1,2k k ， 求实数B的取值范围. 20已知函数 x f xeax，aR其中e是自然对数的底数. （1）当1a 时，求曲线 yf x在1x 处的切线方程； （2）如果对任意xR，不等式 0f x 恒成立，求实数a的取

9、值范围； （3）讨论函数 x g xf xe的零点个数. 2020 届镇江市高三教学情况调研（三）届镇江市高三教学情况调研（三） 第卷（附加卷）第卷（附加卷） 21已知xR，向量 1 1 是矩阵 1 02 x A 的属于特征值的一个特征向量，求与 1 A. 22在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是 2 , 2 2 2 xmt yt （t是参数，m是常数）.以O为极点， x轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为6cos， 若直线l与曲线C相交于P，Q两 点，且2 7PQ ，求实数m的值. 23已知a，b，c是实数，且9abc ，求 222 4abc的最小值. 24如图，在四

10、棱锥SABCD中，已知ABDC，ABAD，SAD是正三角形，且平面SAD平 面ABCD，22ADABDC，F为SB的中点. （1）求异面直线SA与FC所成角的大小； （2） 在棱SB上是否存在点Q， 使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角的 3 ？若存在， 求出 SQ SB 的大小； 若不存在，请说明理由. 25随机将 * 2,2n nNn个连续正整数 1，2，3，2n分成A，B两组，每组n个数，A组最小 数为 1 a，最大数为 2 a；B组最小数为 1 b，最大数为 2 b，记 21 aa， 21 bb，设D表示“与的 取值恰好相等”的事件， P D表示事件D发生的概率. （1）当2n时，求

11、的分布列和数学期望； （2）当3n时，求 P D； （3）请判断 P D与 1 2 的大小，并证明你的结论. 参考答案参考答案 11 21 3充分不必要 420 55 6 1 2 7184 82 93 102【解析】圆心 1 , 2C a ， 2 , 1Cb，距离 2 1lab.由于两圆外切，有 12 3lrr，化 简得 2 8ab.要求ab最大值，可设, a b同号，即0ab，则有 2 2 4 ab ab .最后，取等条件为 2ab或2ab，此时ab取最大值 2. 11 144 229 【解析】法一：以B以原点，分别从BC，BA为x，y轴建系. 5BC ，5,0C，12BA ，0,12A D

12、EBF为正方形 DEDF，即 DD xy BC：1 512 xy 1 512 DD xx ， 60 60 , 17 17 D 60 0, 17 E 12 tan 17 BCE， 12 tan 5 ACB 1212 144 517 tantan 12 12 229 1 5 17 ACBACBBCE . 法 二 ： 设 正 方 形 边 长 为l， 由 A El lC F ， 可 知 2 125lll， 解 得 60 17 l . 于 是 有 12 tan 17 BE BCE BC ， 12 tan 5 AB ACB BC .于是 1212 tantan144 517 tan 12 12 1tant

13、an229 1 5 17 ACBBCE ACE ACBBCE . 12 2 【解析】法一：OPOAOB 222 222 2 2222 24442 2 OPOAOA OBOB 当 1 2 时OP最小 2OB 2 1121 2 240 2222 OP OBOAOB OBOA OBOB ，故夹角为 2 . 法二： 过点A作直线lOB， 根据OPOAOB， 可知点P为l上任意一点.易知当且仅当OPl时OP 长度取最小值.此时OP与OB垂直，夹角为 2 . 13 151 0, 153 e e 【解析】法一：1过2,0作 x ye切线，切点 0 0, x x e x ye ， 0 1 x ke 00 0

14、xx yeexx，过2,0 00 0 2 xx eex 0 1x ， 1 1 k e 过2,01,e的直线的斜率 3 e 1 3 e k e 时，满足条件. 2 2 432xxk x 2222222 4344144430 xxkxxkxkxk 0则 2 222 4441 430kkk， 1 15 k 15 0 15 k时也满足条件 综上： 115 ,0, 315 e k e . 法 二 ： 当13x时 ， 222 43430yxxxxy， 2 2 21xy表 示 上 半 个 圆 2fxk x有三个零点 即2yk x有三个零点 即2yk x与 yf x有三个交点 2yk x为顶点为2,0P 的“

15、V型”正数 显然0k ，当2yk x经过1,Ae时，3 3 e kek 当2yk x与 x f xe相切时，设切点为 00 ,M x y 0 0 0 0 1 2 x x ek x k xe ， 1 k e ，此时 1 3 e k e 时，满足题意. 当2yk x与半圆相切时， 2 415 1 15 1 k k ，此时 15 0 15 k也符合. 综上： 115 ,0, 315 e k e . 法三：直接手绘 f x的图像，去考虑 2f xk x.易知0k .而0k 时显然有且仅有一个 1 x满足 1 2x ， 1 0g x.故我们只需要考虑当23x 时 2f xk x有两个解. 情况 1：2y

16、k x与 x ye有两个交点.此时极端情况为相切， 设切点横坐标为 0 x， 有： 0 0 2 x ek x 且 0 x ek 解得 0 1x ， 1 k e ，故当 1 k e .极端情况 2 为焦点在边界上，即2yk x过点1,e，此时有 2 1ke 即 3 e k ，这种情况可以取到.故当 1 3 e k e 时满足条件. 情况 2：2yk x与 x ye有一个交点 （即相切） ， 此时易知2yk x与 2 43yxx无交点， 不满足. 情况 3：2yk x与 2 43yxx有两个交点.此时极端情况为相切，设切点横坐标为 2 x，有： 2 222 432xxk x且 2 2 22 24

17、243 x k xx 解得 2 7 4 x ， 15 15 k ，故当 15 0 15 k时满足条件. 综上所述， 115 ,0, 315 e k e . 1435【解析】法一：sincossincosbcAAC，cossincossincosbACAAC cossincossincoscossinsinbACAACbACAB 2 cos2sinsin2sincossinsinbABaBBAAB tan2A， tantan tantan 1tantan BC ABC BC tantan2 tantan12 tantanBCBCBC 35 tantan 2 BC tan2 35 tantan35

18、 2 A BC . 法二： 1 cossincossincossin sincos b bAACCAB BA 21 tan2 sinsinsincos ab A ABAA 2tan21 tantantantantantantantan 2tan1212 Bt ABCABCCtB Bt 2 2 2 21tan2 2420 2 tantan2 21 tA PPtPt t BCtt t t 2 248035PPP. 法三： 由题意， 可得cossinsinbAA CB， 于是有 sinsinsin cos 2 BAA A ba ， 从而tan2A. 又由于A为锐角，可知 5 coscos 5 BCA

19、 .于是有： costan2coscos4 51 2 12 tantansinsinsinsin5coscos BCABC BCBCBCBCBC 4 51102 5 235 5555 1 5 取等条件为BC，最大值为35. 法四： 1 cossincossincossin sincos b bAACCAB BA 21 tan2 sinsinsincos ab A ABAA tan2 tantantantantantantantanABCABCABC 35 tantantantan10tantan 2 BCBCBC tan22 35 tantantantan35 2 A BCBC . 法五： 1

20、 cossincossincossin sincos b bAACCAB BA 212tan21 tan2tantan sinsinsincos2tan1212 abBt ACtB ABAABt 22 2 21tan2888 35 25 tantan2652 56 6 21 tAu t BCttuu tu tu . 15证明： （1）记 1 AB， 1 AB的交点为O，并连接OD 直三棱柱 111 ABCABC 11 A AB B， 11 A AB B 四边形 11 A ABB为平行四边形 1 AB， 1 AB的交点为O O为 1 AB的中点 又在 1 ABC中，D为AC中点 1 ODBC O

21、D平面 1 ABD， 1 BC 平面 1 ABD 1 BC平面 1 ABD （2）直三棱柱 111 ABCABC 1 AA 平面ABC BD 平面ABC 1 AABD 在ABC中，ABBC 且D为AC中点 BDAC 1 AAACA 1 AA，AC 平面 11 A ACC BD 平面 11 A ACC 1 AC 平面 11 A ACC 1 BDAC 11 ADAC 1 BDADD BD， 1 AD 平面 1 ABD 1 AC 平面 1 ABD 1 AC 平面 11 ABC 平面 1 ABD 平面 11 ABC 16解： （1）在ABC中，0,A，且 5 cos 5 A 2 2 5 sin1 co

22、s 5 AA 在ABC中，ABC 由sin5cosBC可得：sin5cosACC sincoscossin5cosACACC 则 2 55 cossin5cos 55 CCC sin3cosCC 22 sincos1CC 22 1 sinsin1 9 CC 在ABC中，0,C 3 10 sin 10 C ，则 10 cos 10 C sin tan3 cos C C C （2）sin5cosBC，且 10 cos 10 C 2 sin 2 B 正弦定理 sinsinsin abc ABC ，且2 2a 2 2 2 52 52 b ，则5b ABC的面积为 113 10 sin2 253 221

23、0 SabC. 17解： （1） 2 222 2 2 28 c a a c abc ， 2 2 2 2 a b c ，椭圆 22 1 84 xy . （2）设,M O M， 00 N x y OMON，则O在MN垂直平分线上 MN与圆相切 切点T为MN中点， 00 , 22 xmy T 2 2 0 0 22 0 4 44 1 84 myx xy ，解得 0 0 2 2 0 2 2 x y m 0000 ,0 2222 xmyxym 2 2,0N， 0, 2 2M :2 2l yx. （3）联立 22 2 2 1 84 yx xy ，解得 2 2 3 4 2 3 x y 或 2 2 0 x y

24、直线l与椭圆交点 2 2 4 2 , 33 和 2 2,0. 18解： （1）设B在底面的射影点为M， 8 24 2 2 2 2 MF tan2 2 tan BM BM MF 上半部分立柱的高度为122 2tan 由120tan3 2BM 3 23 38 0sin 1919 . （2） 2 2 cos BF 塑像总造价为 2 28 6sin16 2 3 122 2 tan44 4 24 248 332 coscoscos 8 2 23sin 16 28 6sin 48 33248 332 coscos 令 2 23sin 3sincos23sin2 cos mmm 2 2 11 3 m m ，

25、当且仅当 3 时取“=” 3 时，塑像总造价最低为：48 3328 2. 19解： （1）当 1 4 A ， 1 2 B ， 1 4 C 时， 2 111 424 nnn Saa 2n时， 2 111 111 424 nnn Saa 得 2222 1111 1111 220 4422 nnnnnnnnn aaaaaaaaa 111 20 nnnnnn aaaaaa 0 n a ， 1 2 nn aa n a为等差数列且在式中令 2 11 111 10 424 naa 1 1a ，1 2121 n ann 证明 1 212122 1 212121 n n ann annn 显然 1 1 1 3

26、n n a a ，另一方面 1 2 13 2 1 n n a a 1 1 3 3 n n a a 且当1n 时， 1 3 n n a a 成立 故 n a是“紧密度”为 3 的“紧密数列”. （2）当0A时， nn SBaC 当2n时， 11nn SBaC 得 1nnn aB aa 1 1 nn BaBa ，若0B 时，02 n an与0 n a 矛盾，若1B ，则0 n a 也与0 n a 矛盾 0B 且1B 1 00 1 n n aB B aB 或1B n a为等比数列 在式中令 1 11nBaC ， 1 0 1 C a B 1 11 n n CB a BB ， 1 1 n n aB aB

27、 1 1 11 21 121 BB kB kBB 或2B 而 1 1 2 1 2 1 1111 1 111 nn n nn n CBB BC SBBB k kS CBB BC BBB 1 1 1 2 21 1 1 n B B B B B B 若1B 时， 11 01 112 B BB 故只需 1 1 112 1 12 21 BB BB B B 成立 若2B 时，只需 1 12 12 1 B B B B 显然不成立（舍去） 1B 综上：实数B的取值范围为,1. 20解： （1）当1a 时， x f xex， 1 x fxe 11kfe ，切点为 1,1e 此时 f x在1x 处的切线方程为111

28、1yexeex . （2）0 x eax恒成立， x fxea 当0a时， 0fx， f x在R上单调递增，注意到 1 1 10 a fe a ， 不可能恒成立舍去 当0a 时，令 0lnfxxa且当lnxa时， 0fx， f x单调递减； 当lnxa时， 0fx， f x单调递增； min lnln0f xfaaaaae，此时0ae 故a的取值范围为0,e. （3） xx g xeaxe， 2 xx g xeeaa 当2a时， 0g x， g x在R上单调递增，故至多有一个零点 注意到 00g， g x的唯一零点为0 x. 当2a 时， 2 1 x xx x e gxee e ，当0 x时，

29、 0gx ， g x 单调递减， 当0 x时， 0gx， g x单调递增， min 020g xga，且0 aa gaeeaaa ， 0 aa g aeeaaa ， g x 在 ,0a和0,a上各有一个零点 1 x， 2 x， 且当 1 xx时， 0g x， g x单调递增，当 12 xxx时， 0g x， g x单调递减， 当 2 xx时， 0g x， g x单调递增，注意到 00g， 1 00g xg， 2 00g xg 2 121222 111210 aa gaeaaeaaaaaaaa 2 1122 1110 aa g aeaaeaaaa g x在 1 1,ax ， 2, 1x a上各有

30、一个零点而另一个零点为 0，此时 21解： 11 11 A 11 021 x 1 2 x ， 2 1x ，即 11 02 A 1 1 1 2 1 0 2 A . 22解：直线的一般方程：0 xym 曲线C的直角坐标方程： 22 6xyx 即 2 2 39xy 3 2 m d 2 3 2 72 9 2 m 1m或5. 23 24解：取AO中点O，取BC中点M，连SO，OM 平面SAD平面ABCD， 平面SAD平面ABCDAD SAD为正三角形 SOAD SOC平面SAD SO平面ABCD M，O分别为BC，AD中点 MO梯形ABCD中位线，MOAB 又ABAD MOAD MOC平面ABCD MO

31、平面SAD MO，OD，SO两两垂直 以O为坐标原点，分别以OM，OD，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系. （1）2ADSASD 0, 1,0A， 0,0, 3S， 0, 1,3SA 1,1,0C，2, 1,0B F为SB中点， 13 1, 22 F ， 33 2, 22 FC 设FC与SA所成角 33 22 coscos0SA FC SA FC 2 ，即SA与FC所成角为 2 . （2）令 SQ SB ，SQSB 2 , 33Q 平面SAC的法向量设为 1111 ,nx y z 则 1 1 0 0 n AC n SA 11 11 20 30 xy yZ 不妨设 1 3y ，则 1 2 3

32、x ， 1 1Z 1 2 3,3,1n 平面QAC的法向量设为 2022 ,nxy Z 2 2 0 0 n AC n QA ， 22 222 20 21310 xy xyZ 不妨设 2 1y ，则 2 2x ， 2 31 31 Z 平面QAC与平面SAC所成角为 3 2 31 5 3 31 1 2 31 4 5 31 解得：35， 故35 SQ SB . 25解： （1）当2n时，将 1，2，3，4 分成A，B两组 的可能取值为 1，2，3 2 4 31 1 2 P C ， 2 4 21 2 3 P C ， 2 4 11 3 6 P C 的分布列如下： 1 2 3 P 1 2 1 3 1 6

33、1215 2323 E. （2）3n时，将 1，2，3，4，5，6 分布A，B两组， 当2时，A：1，2，3，B：4，5，6 或A：4，5，6，B：1，2，3. 当3时，A：1，2，4，B：3，5，6 或A：3，5，6，B：1，2，4. 当4时，A：1，3，5，B：2，4，6 或A：2，4，6，B：1，3，5. 此时 3 6 63 10 P D C . （3）当n个数分成A，B两组， 2n时， 21 32 P D ，3n时， 31 102 P D . 4n时， 1232 24624 2 2 1 1. 1 2 n n n n CCCC P D C . 当2n时， 1 2 P D ；3n时， 1 2 P D .