贵州省遵义市2017-2018学年高二数学上学期期中试题[理科](有答案，word版).doc

1、 - 1 - 2017-2018 学年度第一学期半期考试题 高二（理科）数学试卷 （满分： 150分 考试时间： 120分钟） 一、 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分，每小题给出的四个选项中只有一个是正确的。请把所选答案填涂在答题卡的相应位置。 1. 已 知 全 集 U 0,1,2 ，且 ? UA 0 ， 则 集 合 A ( ) A 0,1,2 B 1,2 C U D ? 2 过点 A(4 ， y) ， B(2 ， 3) 的直线的倾斜角为 135 ，则 y 等于 ( ) A 5 B 1 C 5 D 1 3 下列说法不正确的是 ( ) A圆柱的侧面展开图是一个矩形 B圆锥

2、过轴的截面是一个等腰三角形 C平行于 圆台底面的平面截圆台截面是圆面 D直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 4 若 6, , s in , ta n23? ? ? ? ? ? 则( ) A. 62? B 3? C. 2 D 63 5已知点 ? ?3,1P 和圆 C： x2 y2=4，则过点 P且与圆 C相切的直线方程是 ( ) A 34xy? B 34xy? C. 34xy? D 34xy? 6如图，梯形 A1B1C1D1是一平面图形 ABCD的直观图 (斜二测 )，若 A1D1 O1y1， A1B1 C1D1， C1D1 2A1B1 4， A1D1 1，则梯形 ABCD

3、的面积是 ( ) A 6 B 3 C 5 2 D 10 2 7 三个数 60.7, 0.76 ， log0.76 的大小顺序是 ( ) A 0.76log0.7660.7 B 0.7660.7log0.76 C log0.760.7660.7 D log0.7660.70.76 - 2 - 8. 若直线 ? ?1 + - 2 0 2 8 0x m y m m x y m? ? ? ? ? ?和 直 线 垂 直 ， 则 的 值 为 ( ) A. 1 B 2 C.1或 2 D 23 9设各项都为正数的比数列 ?na 中，2 3 11,2a a a成等差数列， 则 公比 q 的值为 ( ) A 51

4、2? B 512? C 152? D 512? 或 512? 10已知实数 m， n满足不等式组24230mnmnmnm? ? ? ?， 则关于 x的方程 x2 (3m 2n)x 6mn 0的两根之和的最大值和最小值分别是 ( ) A 4， 7 B 8， 8 C 7， 4 D 6， 6 11 锐角 ABC 中 ， 若 B 2A ，则 ba 的取值范围是 ( ) A （ 0， 2） B ( 2， 3) C (0， 3) D ( 2， 2) 12.在矩形 ABCD 中， AB=1， AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上，若AP AB AD? ，则 ? 的 最 大 值 为 (

5、 ) A 3 B 2 2 C 5 D 2 二、 填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，请把答案填在答题卡相应位置 。 13某校高中生共有 900 人 ，其中高一年级 300 人，高二年级 200 人，高三年级 400 人，现采取分层抽样抽取容量为 45的样本，那么高二年级抽取的人数为 _ 14给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； - 3 - 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 其中，为真命题的是 . 15.已知直

6、线 ? ?1 0, 0ax by a b? ? ? ?平分圆 x2 y2 4x 4y 7 0 的周长，则 122ab? 的最小值为 16.如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面是 ABC为 直角的等腰直角三角形， AC 2a， BB1 3a， D是 A1C1的中点， 点 F在线段 AA1上，当 AF _时， CF 平面 B1DF. 三、 解答题：本大题共 6小题，第 17 题 10分，第 18至 22题每题 12分，共 70 分。解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 17、（满分 10分） 已知函数 ? ?2( ) 2 s in c o s 3 2 c o s 1f x x

7、 x x? ? ?， R?x （）求函数 ()fx的最小正周期； （）已知 ABC? 中的三个内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，若锐角 A 满足( ) 326Af ?，且 7a? ， 13bc? ，求 ABC? 的面积 18 (本小题共 12分 )在三棱锥 P ABC中， PA 平面 ABC， AB AC 2， BC 2 3，三角形 PBC为等边三角形， M， N分别为 BC， AB的中点 (1)求证：直线 BC 平面 PAM； (2)求：异面直线 MN与 PB所成角的余弦值 . 19. (本小题共 12 分 )下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小

8、于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 3 月 1日至 3月 12 日中的某一天到达该市，并停留 2天 . - 4 - （）求此人到达当日空气质量优良的概率； （）求此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率； （）由图判断从哪天开 始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） . 20. （本小题共 12分） 如图所示，四棱锥 P ABCD的底面 ABCD是平行四边形， BA BD 2，AD 2， PA PD 5， E， F分别是棱 AD， PC 的中点 (1)证明： EF 平面 PAB； (2)若二面角 P AD B为 60. 证

9、明：平面 PBC 平面 ABCD. 21.（本小题共 12 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 22，在y 轴上截 得线段长为 23. （ 1）求圆心 P 的轨迹方程； （ 2）若点 P 到直线 yx? 的距离为 22 ， 求圆 P 的方程 . - 5 - 22.（本小题共 12 分）已知 nS 为数列 na 的前 n项和，且 nS =2 3,2,1,232 ? nnna n . （）求 1 2 3, , .a a a 的值， （）求证：数列 2 nan? 为等比数列 （）设nac nn ? 1，数列 nc 的前 n项和为 nT ，求证： .4437?nT

10、- 6 - 答 案 一、选择题 BADCB ACDBC BA 二、填空题 13. 10； 14. 15. 9 16. a或 2a 16如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面是 ABC为直角的等腰直角三角形， AC 2a，BB1 3a， D是 A1C1的中点，点 F在线段 AA1上，当 AF _时， CF 平面 B1DF. 答案 a或 2a 解析 由已知得 B1D 平面 AC1， 又 CF?平面 AC1， B1D CF， 故若 CF 平面 B1DF，则必有 CF DF. 设 AF x(0 x 3a)，则 CF2 x2 4a2， DF2 a2 (3a x)2， 又 CD2 a2 9a2

11、 10a2， 10 a2 x2 4a2 a2 (3a x)2， 解得 x a或 2a.故答案为 a或 2a. 三、解答题 17、（满分 10分） 已知函数 ? ?2( ) 2 s in c o s 3 2 c o s 1f x x x x? ? ?， R?x （）求函数 ()fx的最小正周期； （）已知 ABC? 中的三个内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，若锐角 A 满足( ) 326Af ?，且 7a? ， 13bc? ，求 ABC? 的面积 17（） 2( ) 2 s in c o s 3 ( 2 c o s 1 )f x x x x? ? ? s in 2 3 c o s 2 2

12、 s in ( 2 )3x x x ? ? ? ? - 7 - ?最小正周期 为 22T ? ? （） ( ) 326Af ?， 2 sin ( ) 333A ? ? ?， 3sin 2A? 0 2A ? ， 3A ? 又 13bc? 由余弦定理 2 2 2 2 cosa b c bc A? ? ? 得： 22( ) 2 2 c o sa b c b c b c A? ? ? ?， 即 49 169 3bc?， 40bc? 1 1 3s in 4 0 1 0 32 2 2ABCS b c A? ? ? ? ? ?18在三棱锥 P ABC中， PA 平面 ABC， AB AC 2， BC 2 3

13、， M， N分别为 BC， AB的中点 (1)求证：直线 BC 平面 PAM； (2)求：异面直线 MN与 PB所成角的余弦值 ； (1)证明 因为 PA 平面 ABC， BC?平面 ABC， 所以 PA BC， 因为 AB AC 2， M为 BC的中点，所以 AM BC. 因为 AM PA A，所以 BC 平面 PAM. (2)证明 36 19. (本小题共 12 分 )下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 3 月 1日至 3月 12 日中的某一天到达该市，并停留 2天

14、。 - 8 - （）求此人到达当日空气质量优良的概率； （）求此人在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率； （）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 19.(1)5/12 (2)1/3 (3)从 5 号开始 20.如图所示，四棱锥 P ABCD的底面 ABCD是平行四边形， BA BD 2， AD 2， PA PD 5，E， F分别是棱 AD， PC 的中点 (1)证明： EF 平面 PAB； (2)若二面角 P AD B为 60. 证明：平面 PBC 平面 ABCD； 求直线 EF 与平面 PBC所成角的正弦值 (1)证明 如图所示，取 PB 的中点 M，

15、连接 MF， AM. 因为 F为 PC 的中点，所以 MF BC，且 MF 12BC. 由已知有 BC AD， BC AD， 又由于 E为 AD的中点， 因而 MF AE 且 MF AE， 故四边形 AMFE为平行四边形，所以 EF AM. 又 AM?平面 PAB，而 EF?平面 PAB， 所以 EF 平面 PAB. (2)证明 连接 PE， BE. 因为 PA PD， BA BD，而 E为 AD 的中点， 所以 PE AD， BE AD， - 9 - 所以 PEB为二面角 P AD B的平面角 在 PAD中，由 PA PD 5， AD 2，可解得 PE 2. 在 ABD中，由 BA BD 2， AD 2，可解得 BE 1. 在 PEB中， PE 2， BE 1， PEB 60 ，故可得 PBE 90 ，即 BE