新人教A版高中数学必修二《7.1.2复数的几何意义》教案及课件.zip

7.1.2 复数的几何意义(人教 A 版普通高中教科书数学必修第二册第七章)一、教学目标一、教学目标1.理解可以用复平面内的点和向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；2.掌握实轴、虚轴、模等概念以及用向量的模来表示复数的模的方法.3.通过对复数的几何意义的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。二、教学重难点二、教学重难点1.理解复数的几何意义，会在复平面内找出复数biaZ所对应的点和向量；2.根据复数的代数形式描出其对应的点及求复数的模和有关模的运算.三、教学过程三、教学过程1.复习回顾问题 1：回顾复数的代数形式、复数的分类、相等复数等概念【预设的答案】1 复数的代数形式：2 复数的分类：3 相等复数：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等【设计意图】联系上节课内容，为引入复数几何意义的思考打下知识基础。2情境引入问题 2：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？【预设的答案】【设计意图】教师抛出问题激发学生探究兴趣,让学生带着以下问题阅读课本(1).复平面是如何定义的，复数的模如何求出？(2).复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？小组合作探究完成3、课堂探究【探究点 1】复数的几何表示问题 3：认识复平面【限时训练】下列命题中的假命题是（）A.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；B.在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；C.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；D.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.【预设的答案】D【设计意图】学生自主学习，建构概念，教师规范表达，并通过问题对概念的严谨性进行探讨。【例 1】在复平面内(1)原点（0，0）表示_;(2)实轴上的点（2，0）表示_;(3)虚轴上的点（0，-1）表示_;(4)点（-2，3）表示_.【预设的答案】实数 0，实数 2，虚数-i，虚数-2+3i；【设计意图】通过小练习加深对复平面的理解。教师加以总结：这是复数的一种几何意义。【探究点 2】复数的向量表示问题 4：你能说出复数的向量表示吗？【预设的答案】【设计意图】由于这两个问题类似，鼓励学生用类比归纳的办法，把复平面和向量的几何意义联系起来，构建数学。教师继续给出新的概念：并补充：在本书的第六章，我们提到复数的这种几何表示是由韦塞尔在 1797 年提出的后来，阿尔冈出书对此进行讨论，并得到高斯的认同，因此这种几何表示也称阿尔冈图(Argand diagram)正是这种直观的几何表示，揭开了复数的神秘的、不可思议的“面妙”，确立了复iZ()zaba,b 一一 一一对对应应复复数数复复平平面面内内的的点点izabOZ 一一一一对对应应复复数数平平面面向向量量数在数学中的地位教师通过引导，让学生联系数与形的关系，让学生体会“几何直观”的作用。【探究点 3】复数的模的几何意义问题 5：联系复数的几何意义，你能说出复数的模在复平面内的几何意义吗？【预设答案】复数 z=a+bi 的模 r 就是复数 z=a+bi 在复平面上对应的点 Z(a,b)到原点的距离.复数的模是实数绝对值概念的推广。【设计意图】教师通过引导，让学生联系数与形的关系，让学生加深对复数的模的理解。【例 2】【预设答案】【设计意图】用问题加强概念的应用。【探究点 4】共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于 0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。复数 z=a+bi 的的共轭复数表示为 z=a-bi.问题 6：12?,z z 是是共共轭轭复复数数 那那么么在在复复平平面面内内它它们们所所对对应应的的点点有有怎怎样样的的关关系系若若【预设答案】关于 x 轴对称【设计意图】通过前面的学习，学生已能联系数与形的关系，此处的思考再一次让学生能从数形两方面建构数学。【例 3】【预设答案】4、课堂小结4.1 知识点（1）复平面复平面（2）复数的几何意义复数 zabi(a，bR)复平面内的点 Za，b.复数 zabia，bR 平面向量OZ.（3）复数模的定义：向量的 模 r 叫做复数 zabi(a，bR)的模,记为|z|或|abi|，公式：|z|abi|r(r0，rR)4.2 数学思想：数形结合、转化、类比归纳 4.3 学科素养：数学抽象,直观想象、数学运算素养 四、课后作业完成课本 73 页习题 7.17.1.27.1.2复数的几何意义复数的几何意义实部实部实部实部1.1.复数的代数形式：复数的代数形式：复数的代数形式：复数的代数形式：通常用字母通常用字母 z z 表示，即表示，即虚部虚部虚部虚部其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。2.2.复数的分类：复数的分类：00 ba，非纯虚数=00 ba，纯虚数 0b虚数=0b实数复习回顾复习回顾 3.3.规定：规定：如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别分别相等相等，那么我们就说这那么我们就说这两个复数相等两个复数相等注：注：2)一般来说，两个复数只能说相等或不相一般来说，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小了等，而不能比较大小了.在几何上，在几何上，我们用什么我们用什么来表示实数来表示实数?实数可以用数轴实数可以用数轴上的点来表示上的点来表示.实数实数 数轴数轴上的点上的点(形形)(数数)一一对应一一对应 想想一一想想？x0 01 1实数的几何模型实数的几何模型:一个复数又该一个复数又该怎样表示呢？怎样表示呢？实部实部虚部虚部(a,bR)R)复数的一般形式：复数的一般形式：情境引入情境引入1.1.类比实数的几何意义思考复数的几何意义类比实数的几何意义思考复数的几何意义.2.2.明确复数的两种几何意义明确复数的两种几何意义.3.3.了解复数模的意义了解复数模的意义,和共轭复数的概念。和共轭复数的概念。体会数学抽象及数学运算素养体会数学抽象及数学运算素养，培养培养数形结合的数形结合的直观想象直观想象的能力的能力。复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)（数数数数）（形形）一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应探究点探究点1 1 复数的几何表示复数的几何表示课堂探究课堂探究xy0Z(a,b)建立了平面直角坐标系来建立了平面直角坐标系来表示复数的平面表示复数的平面复平面复平面x轴轴实轴实轴y轴轴虚轴虚轴abz=a+bi这是复数的一种几何意义这是复数的一种几何意义.A.A.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；B.B.在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；C.C.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；D.D.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（）D D【即时训练即时训练】【解题关键解题关键】虚轴上的点除原点外都表示纯虚数。虚轴上的点除原点外都表示纯虚数。实轴上的点表示实数，实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原点外都表虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，各象限内的点示纯虚数，各象限内的点表示实部不为零的虚数表示实部不为零的虚数.【总结提升总结提升】一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？的点分别表示什么样的数？例1：在复平面内(1)原点（0，0）表示_;(2)实轴上的点（2，0）表示_;(3)虚轴上的点（0，-1）表示_;(4)点（-2，3）表示_.实数0实数2虚数-i虚数-2+3iOxyba按照按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它一个点和它对应；反；反过来，复平面内的每一个点，有来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它唯一的一个复数和它对应由此可知，由此可知，复数集复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系关系这是复数的一种几何意是复数的一种几何意义复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)（数）（数）（形）（形）一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应一一对应探究点探究点2 2 复数的向量表示复数的向量表示一一对应课堂探究课堂探究Oxyba这是复数的另一种几何意是复数的另一种几何意义Oxyba在本书的第六章，我们提到复数的这在本书的第六章，我们提到复数的这种几何表示是由韦塞尔在种几何表示是由韦塞尔在17971797年提出年提出的后来，阿尔冈出书对此进行讨论，的后来，阿尔冈出书对此进行讨论，并得到高斯的认同，因此这种几何表并得到高斯的认同，因此这种几何表示也称阿尔冈图示也称阿尔冈图(Argand diagram)(Argand diagram)正是这种正是这种直观的几何表示直观的几何表示，揭开了复，揭开了复数的神秘的、不可思议的数的神秘的、不可思议的“面妙面妙”，确立了复数在数学中的地位确立了复数在数学中的地位复数的模其实是实数绝对值概念的推广复数的模其实是实数绝对值概念的推广xOz=a+biy|z|=|=r=|OZ|探究点探究点3 3 复数的模的几何意义复数的模的几何意义:复数复数 z=a+bi的模的模r就是复数就是复数 z=a+bi在复平面在复平面上对应的点上对应的点Z(Z(a,b)到原点的距离到原点的距离.Z(a,b)课堂探究课堂探究7.1-47.1-4【总结提升总结提升】虚数不能比较大小，但模可以比较大小。虚数不能比较大小，但模可以比较大小。xOz=a+biy|z|=|=|z|探究点探究点4 4 共轭复数共轭复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数叫做互为共轭复数.虚部不等于虚部不等于0 0的两个共轭复数也叫做共轭的两个共轭复数也叫做共轭虚数。复数虚数。复数 z=a+bi的的共轭复数表示为的的共轭复数表示为 z=a-bi.z=a-bi课堂探究课堂探究Oxy1练习（第（第73页）1说出出图中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的中复平面内各点所表示的复数（每个小方格的边长为1)课堂练习课堂练习Oxy2在复平面内，描出表示下列复数的点：在复平面内，描出表示下列复数的点：Oxy（1）这些复数些复数对应的向量分的向量分别如如图所示：所示：4 4已知复数已知复数z=(=(m2 2+m-6)+(-6)+(m2 2+m-2)-2)i i在复平面内所对应的点位于第二象限，在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数求实数m的取值范围的取值范围.5 5若复数若复数z(z(x,y)对应点集为圆对应点集为圆:试求试求zz的最大值与最小值的最大值与最小值.xyoo1211最大值最大值3，最小值，最小值1复数复数复平面复平面转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)数学思想数学思想：数形结合、转化、类比归纳数形结合、转化、类比归纳Oxyba数学抽象数学抽象,直观想象、直观想象、数学运算素养数学运算素养学科素养学科素养：概念学习：复数的模，共轭复数概念学习：复数的模，共轭复数课堂小结课堂小结习题7.1（第（第73页）1符合下列条件的复数一定存在符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，？若存在，请举出例子；若不存在，出例子；若不存在，请说明理由明理由课后作业课后作业xyOABCOxyxyOOxy9如果复数的如果复数的实部部为正数，虚部正数，虚部为3，那么在复平面内，复数，那么在复平面内，复数对应的点的点应位于怎位于怎样的的图形上？形上？