高中数学第二章平面解析几何习题课课件新人教B版必修2.ppt

1、圆的方程的综合应用1.圆的标准方程与一般方程的比较 2.直线与圆、圆与圆位置关系的解决方法(1)几何法侧重点在于利用圆的几何性质,并利用半径与距离的量来刻画位置关系,解法简捷、直观;(2)代数法侧重点在于利用联立方程的思路,通过方程解的组数来刻画位置关系,解法比较抽象,但很严谨.3.重要结论(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0 x+y0y=r2.(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)过圆x2+y2=r2外一点P(a,b)作圆的切线PA,PB,其中A,B为切点,则直线AB

2、的方程为ax+by=r2.(4)A(x1,y1),B(x2,y2),以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.(5)过两圆交点的直线方程.设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,-得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.若圆C1与圆C2相交,则为过两圆交点的弦所在直线的方程.(6)过直线与圆的交点的圆系方程.若直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交,则方程x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程.(7)过圆与圆的

3、交点的圆系方程.若圆C1:x2+y2+Dx+Ey+F=0与圆C2:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交,则过这两个圆交点的圆系方程可设为x2+y2+Dx+Ey+F+(x2+y2+Dx+Ey+F)=0(-1).(8)圆的常用几何性质.圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上.圆上异于直径端点的点与直径的两端点连线垂直.过切点且垂直于该切线的直线必过圆心.4.做一做:如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是()答案:B 解析:本题可转化为直线x+y+1=0与圆(x-1)2+(y-1)2=R2(R0)相切,求R.答案:B6.做一做:直线x+y-2=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,

4、则弦AB的长度等于()解析:如图所示,由题意知圆的圆心坐标为(0,0),半径r=2.答案:B 7.做一做:若直线x-my+2=0与圆x2+(y-1)2=1有两个不同的交点,则()解析:由已知得直线与圆相交,因此圆心到直线的距离 答案:B 8.做一做:若圆(x+2)2+y2=9与圆(x-1)2+(y+a)2=64内切,则实数a=.解析:两圆圆心坐标分别为(-2,0),(1,-a),半径分别为3和8.答案:4 9.做一做:求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且满足下列条件的圆的方程.(1)过原点;(2)面积最小.解:(1)设所求的圆的方程为:x2+y2+2x-4y+1

5、+(2x+y+4)=0,即x2+y2+2(1+)x+(-4)y+1+4=0.此圆过原点,(2)依题意可知当圆心在直线2x+y+4=0上时,所求的圆的面积最小.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解求圆的方程求圆的方程【例1】已知圆C关于y轴对称,经过点A(1,0),且被x轴分成两段弧长之比为12,求圆C的方程.思路分析:先设出圆的标准方程,然后利用点在圆上及弧长之比列出方程组求解即可.解:因为圆C关于y轴对称,所以圆心C在y轴上,故可设C(0,b),圆C的半径为r,即圆的方程为x2+(y-b)2=r2,又圆C被x轴分成两段弧长之比为12,经过A(1,0),探究一探究二探究三探究四探究五一题多解

6、反思感悟求圆的方程的两种方法(1)直接法:利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,数形结合直接求出圆心坐标、半径,进而求出圆的方程.(2)待定系数法:先设出圆的方程,再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数,进而求出圆的方程.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解变式训练变式训练1设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2 ,则圆C的面积为.解析:圆C的方程可化为x2+(y-a)2=2+a2,直线方程为x-y+2a=0,故圆C的面积为(2+a2)=4.答案:4探究一探究二探究三探究四探究五一题多解直线与圆、圆与圆位置关系的应用直线与圆、圆与圆位置关

7、系的应用【例2】(1)设直线kx-y+1=0被圆O:x2+y2=4所截弦的中点的轨迹为C,则曲线C与直线x+y-1=0的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定(2)已知圆C1:x2+y2=m与圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0相切,则实数m的值为.解析:(1)直线kx-y+1=0恒过点(0,1)且点(0,1)在圆O内,又所截弦的中点与点(0,1)的连线垂直于与点(0,0)的连线,则弦的中点的轨迹C为以点(0,1)和点(0,0)为直径两端点的圆,其方程为曲线C与直线x+y-1=0相交,故选A.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解(2)由于圆C1的圆心在圆C2内部,所以两圆只能内

8、切.圆C2的方程可化为(x+3)2+(y-4)2=36,由于两圆内切,所以有 =5,解得m=1或m=121.答案:(1)A(2)1或121反思感悟解决直线与圆、圆与圆位置关系问题有几何法和代数法,但一般使用几何法解决,解决的关键是找出圆心、半径及距离,含参类问题也要注意最后结果的检验.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解变式训练变式训练2(1)若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是()A.-3,-1B.-1,3C.-3,1D.(-,-31,+)(2)圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是()A.1B.2C.

9、3D.4探究一探究二探究三探究四探究五一题多解解析:(1)圆(x-a)2+y2=2的圆心C(a,0)到直线x-y+1=0的距离为d,半径分别为r1=1,r2=4,则dr1+r2,即两圆相离,因此它们有4条公切线.答案:(1)C(2)D探究一探究二探究三探究四探究五一题多解与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题【例3】若实数x,y满足(x-2)2+y2=3,则 的最大值为.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解反思感悟处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思考求解.与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动

10、直线截距的最值问题.(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解变式训练变式训练3若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为()答案:B 探究一探究二探究三探究四探究五一题多解与圆有关的弦及弦长问题与圆有关的弦及弦长问题【例4】(1)已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.当a为何值时,直线l与圆C相切?当直线l与圆交于A,B两点,且|AB|=2 时,求直线l的方程.(2)已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直

11、线x+2y-3=0交于P,Q两点,O为坐标原点,那么是否存在实数m,使得OPOQ?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.思路分析:(1)利用d=r列式;利用弦长公式列方程;(2)通过原点和点(x,y)的直线的斜率为 ,由直线与圆的方程构造以 为未知数的一元二次方程,由根与系数的关系得出kOPkOQ的表达式,从而使问题得以解决.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解解:(1)圆的方程化为标准方程为x2+(y-4)2=4,即圆心为C(0,4),半径r=2.设AB中点为D,则CDB为直角三角形,点C到直线AB的距离为直线l的方程为x-y+2=0或7x-y+14=0.探究一探究二探究三探究四探究五

12、一题多解(2)由直线方程得3=x+2y,将其代入圆的方程x2+y2+x-6y+m=0,整理得(12+m)x2+4(m-3)xy+(4m-27)y2=0.由题意知x0,经检验,符合题意.故存在m=3,使得OPOQ.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解2.关于弦的逆向问题,一定要将垂直、夹角或距离等条件用代数式表达出来,进而求得参数.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解变式训练变式训练4(1)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且ACBC,则实数a的值为.(2)已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.

13、求两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长.(1)解析:由题意,得圆心C的坐标为(-1,2),半径r=3.答案:0或6 探究一探究二探究三探究四探究五一题多解两式相减并化简得3x-4y+6=0,则3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在直线的方程.由题易知圆C1的圆心C1(-1,3),半径r=3.C1到直线3x-4y+6=0的距离探究一探究二探究三探究四探究五一题多解与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题【例5】定长为4的线段AB的两个端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点M的轨迹方程.思路分析:要设出动点M及A,B的坐标,并找出三点坐标之间的关系,最后利用|AB|=4化简即得.解:设线段A

14、B的中点M为(x,y),线段AB的端点A(x0,0),B(0,y0),化简得x2+y2=4,所以线段AB的中点M的轨迹方程是x2+y2=4.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解反思感悟求轨迹的方法很多,但目前应掌握好直接法与相关点法:直接法的关键是设出动点,直接将条件代数化化简即得;相关点法不仅要设出所求动点坐标,还要设出与之联动的相关点的坐标,并且要找出它们坐标之间的关系,再代数化化简即得.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解变式训练变式训练5已知点O(0,0)和点B(m,0)(m0),动点P到点O和点B的距离之比为21.求P点的轨迹.解:设P(x,y),由|PO|PB|=21,探究一探

15、究二探究三探究四探究五一题多解与圆有关的切线问题【典例】求经过点(1,-7)且与圆x2+y2=25相切的直线方程.思路点拨:方法1:采用代数法,根据当=0时直线与圆相切来求斜率k.方法2:采用几何法,若直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径.方法3:利用过圆上一点(x0,y0)的切线方程为x0 x+y0y=r2求解.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解解法1因为12+(-7)2=5025,所以点(1,-7)是圆外一点.由题易知切线的斜率存在,所以设切线的斜率为k,由点斜式得y+7=k(x-1),即y=k(x-1)-7.将上式代入圆的方程x2+y2=25,得x2+k(x-1)-72=25,整

16、理得(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0,令=(2k2+14k)2-4(k2+1)(k2+14k+24)=0,整理得12k2-7k-12=0,所以切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解解法2由题易知切线的斜率存在,所以设所求直线的斜率为k,所以所求切线的方程为y+7=k(x-1),整理成一般式为kx-y-k-7=0.所以切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.探究一探究二探究三探究四探究五一题多解解法3设所求切线的方程为x0 x+y0y=25,(x0,y0)是圆上的点,将点(1,-7)代入上式得x0-

17、7y0=25,故所求切线的方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.名师点评在求过定点的圆的切线方程时,应首先确定点与圆的位置关系:(1)若点在圆外,则切线应有两条,若根据点到直线(设成点斜式的直线)的距离等于半径,求出的切线只有一条,则说明还有一条斜率不存在的直线,不要漏掉;(2)若点在圆上,则切线只有一条,这条切线与圆心和该点的连线垂直,垂足为该点.1234561.已知点M(x0,y0)是圆x2+y2=a2(a0)内异于圆心的一点,则直线x0 x+y0y=a2与该圆的位置关系为()A.相切 B.相交C.相离 D.相切或相交答案:C 1234562.若方程a2x2+(a+2)y2+2

18、ax+a=0表示圆,则a的值为()A.-1B.2C.-1或2D.1解析:由题意得a2=a+2,a20,a+20,解得a=-1或a=2.因为D2+E2-综上所述,a=-1.故选A.答案:A1234563.已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值为()A.8B.-4C.6D.无法确定解析:圆上存在关于直线x-y+3=0对称的两点,则直线x-y+3=0过圆答案:C 1234564.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()解析:圆

19、C1,C2如图所示.设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作C1关于x轴的对称点C1(2,-3),连接C1C2,与x轴交于点P,连接PC1,根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5 -4.选A.答案:A1234565.已知点P是圆x2+y2=16上的动点,点A为(12,0),M为PA的中点,则点M的轨迹方程是.解析:设M(x,y),A(12,0),M为PA的中点,P(2x-12,2y).点P为圆x2+y2=16

20、上的动点,(2x-12)2+4y2=16,即(x-6)2+y2=4.答案:(x-6)2+y2=41234566.已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过M点的圆的切线方程;(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;(3)若直线ax-y+4=0与圆交于A,B两点,且弦AB的长为2 ,求a的值.解:(1)圆心为C(1,2),半径为r=2.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离为3-1=2=r.知此时直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设其方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0.综上可知过M点的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.123456