高中数学第一章推理与证明3反证法北师大版选修.ppt

1、3反证法课前预习学案从前有个国王，总认为自己既有“至高无上”的权威，又是个“大慈大悲”的救世主，在处决犯人前，总要叫犯人抽签决定自己的命运，即在两张小纸片上，一张写“活”字，一张写“死”字，抽到“活”字可幸免一死一天，一个犯人将要被处决，他的死对头买通了狱吏，把两张纸片都写上了“死”字，心想这下犯人必死无疑谁知这个狱吏竟把此消息透露给了犯人，犯人一听，乐得眉开眼笑，高兴地说：“这下我可死里逃生了！”你知道这个犯人是用什么妙法死里逃生的吗？提示犯人抽签后，二话不说便将纸签吞入腹中显然剩下来的是“死”签，由此反证犯人吞下的是“活”签聪明的犯人巧用反证法，死里逃生了在证明数学命题时，要证明的结论要么

2、正确，要么错误，二者必居其一我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与_相矛盾，或与_相矛盾，或与_相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法.1反证法定义、公理、定理命题中的已知条件假定(1)反证法的特征是通过推理导出矛盾，归结为谬误而使命题得证，因此，反证法也叫归谬法如果结论的反面只有一种情况，即只需作出一种假设并设法导致谬误，命题获证；如果结论的反面不止一种情况，则对每种情况都必须作出反设，然后将每一反设一一驳倒，才能使命题获证因此，可将反证法进行分类，前者称为简单归谬法，而后者称为穷举归谬法(穷举法)(2)下面几类问题的证

3、明一般适合用反证法：已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少的命题结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形式(“不是”“不可能”等)的命题涉及各种无限结论的命题以“至多(少)、若干个”为结论的问题存在性命题唯一性命题某些定理的逆定理一般关系不明确或难于直接证明的不等式问题等反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律”(3)反证法不是直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理导出矛盾，所谓矛盾主要是指：与已知公理矛盾，与已知定理矛盾，与已知定义矛盾，与已知公式矛盾，与已知条件(或部分条件)矛盾，与由已知条件推出的某正确结论矛盾，与反设自身矛盾，由反设导出两个互相

4、矛盾的结果，与公认的简单事实矛盾(如导出01，10,22之类的矛盾)(1)反设：作出_的假设；(2)归谬：进行推理，导出_；(3)结论：否定_，肯定_2反证法的证题步骤常见的“原结论词”与“反设词”如下：否定结论矛盾假设结论原结论词反设词至少有一个一个也没有(不存在)至多有一个至少有两个至多有n个至少有(n1)个至少有n个至多有(n1)个只有一个一个也没有或至少有两个对所有x成立存在某个x不成立对任意x不成立存在某个x成立都是存在某个不是一定不一定p或q非p且非qp且q非p或非q1应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()结论相反的判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义；

5、原结论ABCD答案：C2用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是()A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于60C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60解析：“至少有一个不大于”的反面是“都大于”答案：B3否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的反设是_解析：a、b、c三个自然数中偶数的个数可能是0,1,2,3四种情况，“恰有一个偶数”是其中的一种情况，它的反面是其余三种情况答案：a，b，c都是奇数或至少有两个偶数课堂互动讲义求证函数f(x)2x1有且只有一个零点思路导引一般先证存在性，再用反证法证唯一性用反证法证明“存在”“唯一”型

6、命题(1)结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的“唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了(2)“有且只有”的含义有两层存在性：本题中只需找到函数f(x)2x1的一个零点即可唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性1已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个已知a，b，c是互不相等的实数求证：由yax22bxc，ybx22cxa和ycx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点用反证法证明“至多”“至少”“无限”型问题规范解答证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的

7、交点(即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点)，3分由yax22bxc，ybx22cxa，ycx22axb，得1(2b)24ac0，2(2c)24ab0，3(2a)24bc0.6分(1)反证法中的“反设”是前提、基础，这是应用反证法的第一步，也是关键的一步“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件、“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明(2)做好“反证”应明确：正确分清题设和结论；对结论实施正确否定；对结论否定后，找出其存在的所有情况平面上有四个点，假设无三点共线证明：以每三点为顶点的四个三角形不可能都是锐角三角形用反证法证明“否定”型命题结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，结论的反面比较具体，适于应用反证法