沪科版八年级上册一次函数与一元一次方程讲义.docx

1、 一次函数与一元一次方程一次函数与一元一次方程 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、一次函数与一元一次方程的关系要点一、一次函数与一元一次方程的关系 一次函数ykxb（k0，b为常数）.当函数y0 时，就得到了一元一次方程 0kxb， 此时自变量x的值就是方程kxb0 的解.所以解一元一次方程就可以转化为： 当某一个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值. 从图象上看，这相当于已知直线ykxb（k0，b为常数） ，确定它与x轴交点的 横坐标的值. 要要点二、一次函数与二元一次方程组点二、一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看， 解

2、方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形” 的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释：要点诠释： 1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是： 在同一直角坐标系中， 两 个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的 解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数24yx 与 313 22 yx图象的交点为(3，2)，则就是二元一次方程组 24 313 22 yx yx 的解. 2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点， 则两个一次函数的直线就平

3、行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程 组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数35yx与31yx的图 象就平行，反之也成立. 3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合， 反之也成立. 要点三、方程组解的几何意义要点三、方程组解的几何意义 1方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标 2根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解 3对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的 解的

4、个数 【典型例题】【典型例题】 类型一、一次函数与一元一次方程类型一、一次函数与一元一次方程 例 1、 若直线与x轴交于 （5， 0） 点， 那么关于x的方程的解为_. 【答案】【答案】 【解析】【解析】kxb0 的解是直线ykxb与x轴交点横坐标. 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图，已知直线yaxb，则关于x的方程1axb 的解x_. 【答案】【答案】4； 提示：根据图形知，当y1 时，x4，即1ax b时，x4方程1axb 的解x4 【变式 2】如图，直线分别交x轴和y轴于点 A、B，则关于x的方程kxb0 ykxb0kxb 5x ykxb 的解为_. 【答案】【答案】2x； 提示：

5、方程kxb0 的解其实就是当0y 时一次函数与x轴的交点 横坐标由图知：直线与x轴交于点（2，0） ，即当x2 时， 0. 例 2、方程328x的解是_，则函数32yx在自变量等于_时的函 数值是 8. 【答案】【答案】2；2； 【解析】【解析】解方程328x得到：2x.函数32yx的函数值是 8即328x，即 函数32yx在自变量等于 2 时的函数值是 8 举一反三：举一反三： 【变式】如图，已知直线yaxb，则关于x的方程1axb 的解x_. 【答案】【答案】4； 提示：根据图形知，当y1 时，x4，即1ax b时，x4方程1axb 的解x4 类型二、一次函数与二元一次方程组类型二、一次函

6、数与二元一次方程组 ykxb ykxb ykxb xx x 例 3、 若一次函数的图象与一次函数的图象如图所示， 则关于、 的方程组 250 10 xy xy 的解为 【答案】【答案】 举一反三：举一反三： 【变式】若方程组的解为 你能说出一次函数与 的图象的交点坐标吗？ 【答案】【答案】 （，） 例 4、利用图象解方程组 22, 5. yx xy 【答案与解析】【答案与解析】 解：如图：两条直线的交点为（1，4）所以方程组的解为 1 4 x y 15 22 yx1yx xy 1 2 x y ， 2 21 xy yx ，3 5 x y ， ； 2yx21yx 35 例 5、用图象法解方程组：

7、【答案与解析】【答案与解析】 解法一：将方程组化为 在坐标系中画出直线和 列表： 0 2 0 0 0.5 0 由图象知 ，它们的交点坐标为（，） ，并进行验证 ； 可得原方程组的解为 解法二：令，即 20 21 xy yx ， 2 21 yx yx ， ； 2yx21yx x 2yx 2 x 21yx 1 13 1 3 x y ， 21 (2)yxx 1yx 1234-1-2-3-4 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 x y y=x-2 y=2x-1 因为直线与x轴（直线y0）的交点为（，0） ， 所以方程组中，进而 举一反三：举一反三： 【变式】 分别用和表示两个关于x的代数式，

8、 在坐标系中， 如果函数与 的图象有 3 个交点，那么方程组的解的个数是 【答案】【答案】3； 例 6、如图，已知函数2yxb和3yax的图象交于点 P（2，5） ，根据图象可得 方程23xbax的解是_. 【答案】【答案】2x； 【解析】【解析】把点 P（2，5） ，分别代入2yxb和3yax，可求出a，b的值，将其 代入方程23xbax并求解也可直接利用函数图象求解：方程的解是交点的 横坐标. 类型三、一次函数与一次方程（组）的应用类型三、一次函数与一次方程（组）的应用 1yx1 20 21 xy yx ， 1x3y ( )f x( )g x( )yf x ( )yg x ( ) ( )

9、yf x yg x ， 例 7、晓东、小明在 A、B 两地间运动，如图所示，图中的线段 1 y、 2 y分别表示晓东、小明 离 B 地的距离（千米）与所用时间（小时）的关系. （1）根据图形试说明晓东、小明的运动方向 （2）试用文字说明：交点 P 所表示的实际意义. （3）试求出 A、B 两地之间的距离. 【答案与解析】【答案与解析】 解： （1）晓东从 A 向 B 运动，小明从 B 向 A 运动； （2）两人同时出发相向而行 2.5 小时后在距离 B 地 7.5km处相遇； （3）设线段 1 y的解析式为 1 ykxb， 则由（4，0） 、 （2.5，7.5）在函数图象上 可求得 1 520

10、yx ， 由x0 时y20 可知，A、B 两地相距 20km. 例 8、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是 4 千米小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折 线 OABC 和线段 OD 分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟） 之间的函数关系，请根据图象回答下列问题： (1)小聪在图书馆查阅资料的时间为_分钟，小聪返回学校的速度为_千米/分钟； (2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与历经过的时间t(分钟)之间的函数关系式； (3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米? 【答案与解析】【

11、答案与解析】 解：(1)15 ； (2)由图象可知，s是t的正比例函数 4 15 设所求函数的解析式为： 代入(45，4)得：445k解得 s与t的函数关系式为 (3)由图象可知，小聪在 30t45 的时段内与小明相遇 s是t的一次函数，设函数解析式为， 代入（30，4） ， （45，0）得解得： ，令 44 12 1545 tt， 解得 当时， 答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是 3 千米 (0)skt k 4 45 k 4 (045) 45 stt (0)smtn m 304 450 mn mn 4 15 12 m n 4 12(3045) 15 stt 135 4 t 135 4 t 4135 3 454 s