5最值系列之阿氏圆问题.doc

1、公众号：有一点数学 1 最值系列之阿氏圆问题 在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中 P 点轨迹是直线，而当 P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题 所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点 距离之比等于定值（不为 1）的点的集合叫做圆 如下图，已知 A、B 两点，点 P 满足 PA：PB=k（k1） ，则满足条件的所有的点 P 构成的图 形为圆 A B P O 下给出证明 法一：首先了解两个定理 （1）角平分线定理：如图，在ABC 中，AD 是BAC 的角平分线，则 ABDB ACDC F E D CB A 证

2、明： ABD ACD SBD SCD ， ABD ACD SABDEAB SACDFAC ，即 ABDB ACDC （2）外角平分线定理：如图，在ABC 中，外角 CAE 的角平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D，则 ABDB ACDC 公众号：有一点数学 2 A B C D E 证明：在 BA 延长线上取点 E 使得 AE=AC，连接 BD，则ACDAED（SAS） ， CD=ED 且 AD 平分BDE，则 DBAB DEAE ，即 ABDB ACDC 接下来开始证明步骤： N M A B P O 如图， PA： PB=k， 作APB 的角平分线交 AB 于 M 点， 根据角平分线定理，

3、MA PA k MBPB ， 故 M 点为定点，即APB 的角平分线交 AB 于定点； 作APB 外角平分线交直线 AB 于 N 点，根据外角平分线定理， NAPA k NBPB ，故 N 点为 定点，即APB 外角平分线交直线 AB 于定点； 又MPN=90 ，定边对定角，故 P 点轨迹是以 MN 为直径的圆 O P B A M N 法二：建系 不妨将点 A、B 两点置于 x 轴上且关于原点对称，设 A（-m，0） ，则 B（m，0） ，设 P（x， y） ，PA=kPB，即： 公众号：有一点数学 3 22 22 22 2222 222222 2 222 2 12210 22 0 1 xmy

4、kxmy xmykxmk y kxymk m xkm mk m xyxm k 解析式满足圆的一般方程，故 P 点所构成的图形是圆，且圆心与 AB 共线 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子： 如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=4，BC=3，以点 C 为圆心，2 为半径作圆 C，分别交 AC、BC 于 D、E 两点，点 P 是圆 C 上一个动点，则 1 2 PAPB的最小值为_ E A B C D P 【分析】这个问题最大的难点在于转化 1 2 PA，此处 P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所 不同，如下，提供两种思路 法一：构造相似三角形 注意到圆 C 半径为 2，CA=4

5、，连接 CP，构造包含线段 AP 的CPA，在 CA 边上取点 M 使 得 CM=2，连接 PM，可得CPACMP，故 PA：PM=2:1，即 PM= 1 2 PA M P D C B A 公众号：有一点数学 4 问题转化为 PM+PB 最小值，直接连 BM 即可 【问题剖析】 （1）这里为什么是 1 2 PA？ 答：因为圆 C 半径为 2，CA=4，比值是 1:2，所以构造的是 1 2 PA，也只能构造 1 2 PA （2）如果问题设计为 PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆 C 半径与 CB 之比为 2:3，k 应为 2 3 【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造

6、相似转化线段即可解决 法二：阿氏圆模型 对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点 M 使得 PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！ 已知PA、圆确定PB已知PA、PB之比确定圆 A B P OO P B A 而且这种问题里，给定的圆的位置、定点 A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！ P 点轨迹圆的圆心 C 点和 A 点在直线 AC 上， 故所求 M 点在 AC 边上， 考虑到 PM： PA=1:2， 不妨让 P 点与 D 点重合，此时 DM= 1 2 DA=1，即可确定 M 点位置 公众号：有一点数学 5 2 1 M D P

7、( ) C B A M P D C B A 如果对这个结果不是很放心， 不妨再取个特殊的位置检验一下， 如下图， 此时 PM=3， PA=6， 亦满足 PM:PA=1:2 【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求 M 点位置，虽不够严谨，却很实用 公众号：有一点数学 6 【练习 1】如图，在ABC中，ACB=90 ，BC=12，AC=9，以点 C 为圆心，6 为半径的圆 上有一个动点 D连接 AD、BD、CD，则 2AD+3BD 的最小值是 A B C D 【分析】首先对问题作变式 2AD+3BD= 2 3 3 ADBD ，故求 2 3 ADBD最小值即可

8、考虑到 D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造 2 3 AD，条件已经足够明显 当 D 点运动到 AC 边时，DA=3，此时在线段 CD 上取点 M 使得 DM=2，则在点 D 运动过程 中，始终存在 2 3 DMDA M A B C D D C B A M 问题转化为 DM+DB 的最小值，直接连接 BM，BM 长度的 3 倍即为本题答案 D C B A M 公众号：有一点数学 7 【练习 2】 如图， 已知正方 ABCD 的边长为 4， 圆 B 的半径为 2， 点 P 是圆 B 上的一个动点， 则 1 2 PDPC的最大值为_ A BC D P 【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=2，根据题意要求构造 1 2 PC，在 BC 上取 M 使得此时 PM=1，则在点 P 运动的任意时刻，均有 PM= 1 2 PC，从而将问题转化为求 PD-PM 的最大值 A BC D P MM P D CB A 连接 PD，对于PDM，PD-PMDM，故当 D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值 A BC D P MM P D CB A