2024届山西省大同市高三上学期学情调研测试 数学答案.pdf

1、20242024 届高三适应性考试届高三适应性考试 参考答案及评分参考参考答案及评分参考 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.答案：D 解析：不等式20 x x的解集为|02xx，又1,0,1,2,3A，所以0,1,2AB，故选 D.2.答案：D 解析：由243zii解得12zi，故5z，故选 D.3.答案：B 解析：从2名男志愿者和3名女志愿者中任选 2 名参加支援，共有2510C 种选法，全是女志愿者的选法共有233C 种，所以至少有 1 名男志愿者的选法共有1037种.故选 B.4.答案：D 解析：由题可知，

2、每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈,所以有112nnnaab，11nnnbab，又因为110,1ab，所以221,1ab，333,2ab，448,5ab,5521,13ab,6655,34ab,77144,89ab，故选 D.5.答案：D 解析：因为2()abfxxx，故()f x在(1,(1)f处的切线斜率表示为(1)kfab，所以1ab，因为0,0ab，所以由基本不等式可得2()144abab，当且仅当12ab时等号成立，故ab的最大值为14，故选 D.6.答案：B 解析：如图为圆锥及圆锥内半径最大球的轴截面图，球心为O，设球半径为r，则3ACAB，

3、11OC，则12 2AO，所以1112 2 22 222ABCSBCAO，8ABCCABBCCA,由等面积法12ABCABCSrC可得22r，所以该圆锥内半径最大的球的体积为34233Vr.故选 B.#QQABKYQQogigAgBAAQBCAwFQCgEQkgAAAKgGhAAYMEABCRFABAA=#7.答案：B 解析：由10237621aaaaa可得0.005a，故 A 错误；前三个矩形的面积和为102370.6aaa，所以这 100 名学生竞赛成绩的第 60 百分位数为 80，故 B 正确；这 100 名学生竞赛成绩的众数为 75，故 C 错误；总体中成绩落在70,80)内的学生人数

4、为710 1500525a，故 D 错误.故选 B.8.答案：C 解析：因为3yf x是偶函数，所以 f x关于3x 对称，又因为21yfx也是偶函数，所以2121fxfx，所以 f x关于1x 对称，所以 fx的周期为 4，因为 ln1ymx关于1x 对称，如图所示，图像在1x 右侧至少有四个交点，当0m 时，只需ln51m，即10ln5m；同理，当0m 时，有ln61m，即10,ln6m 当0m 时，显然成立，故选 C.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.答

5、案：ABC 解析：由题知，231 cos213sin coscos1sin21sin(2)2262xf xxxxxx ，对于 A，2433sin61f，所以函数()f x的一条对称轴为23x，故 A 正确；对于 B，61sin 22f xx，当sin 261x时，函数()f x取最大值为12，故 B 正确；对于 C，61sin 22f xx，单调增区间应满足2 22 262kxk，解得 36,zkxkk，所以单调增区间为,z36kkk，因为0,366kk，所以函数()f x在区间0,6单调递增，故 C 正确；对于 D，sin2yx的图像向左平移6个单位长度，得sin2sin(2)63yxx，再

6、向下平移12个单位长度得到13sin 22yx，故 D 错误.故选 ABC.m0 时 m0 时#QQABKYQQogigAgBAAQBCAwFQCgEQkgAAAKgGhAAYMEABCRFABAA=#10.答案：AC 解析：因为2AB，4AC，AM 为BAC 的角平分线，所以:1:2BM MC，则2133AMABAC，因为O为ABC的外心，所以21cos,22AB AOABAOAB AOAB,所以222121114333336AM AOABACAOABABAOACAC AO.故选 AC.11.答案：AD 解析：依题意得(2,0)M，直线l的方程为(2)yk x，联立得28(2)yxyk x，

7、消去y得2222(48)40k xkxk,因为直线l与抛物线相交11(,)A x y，22(,)B x y两点，所以22240(48)160kkk，解得11k 且0k，故 C 错误；因为212244kx xk，所以2212128864 4256y yxx，易知12,y y同号，所以1216y y，于是 A 正确；B 错误；由于11(2,)FAxy，22(2,)FBxy，所以1212122()4FA FBx xxxy y 2228416424 1632kkk，显然当22k 时，0FA FB，此时AFB为直角，即以AB为直径的圆经过点F，故 D 正确.故选 AD.12.答案：ABC 解析：对于 A

8、，易知11/DCAB,11145C DB,所以22 cos452EF AB ，A 正确；对于 B，建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,0)C,1(2,2,2)A,(2,2,0)A,1(2,0,2)D,1(0,2,2)B,所以1(2,2,2)CA,1(0,2,2)AD,1(2,0,2)AB ,所以110CA AD，110CA AB,即11CAAD,11CAAB,因为11ADABA,1AD,1AB 平面11ADB,所以1AC 平面11ADB，又AE 平面11ADB，所以1ACAE,B 正确；#QQABKYQQogigAgBAAQBCAwFQCgEQkgAAAKgGhAAYMEABCRFABA

9、A=#对于 C，连接BD，AC，交于点O，则ACBD,因为1DD 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以1DDAC,又1BDDDD，BD，1DD 平面11BBDD，所以AC 平面11BBDD，所以 11111122sin4522 23323223A BEFBEFVSAOEFBBAB ，又1 1 112 2 28ABCD ABC DV ，所以正方体1111ABCDABC D的体积是三棱锥ABEF的体积的 12 倍，C 正确；对于 D，当点E在1D处，F为11B D的中点时，异面直线AE，BF所成的角是1FBC，当E在11B D的中点时，F在1B的位置，异面直线AE,BF所成的角是1EAA，显然两

10、个角不相等，所以 D 错误.故选 ABC.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.答案：910 解析：2411 cos()1 sin952sin()2422210.14.答案：14 解析：7()xy的展开式中25x y的系数为5721C，34x y的系数为4735C,因此7(1)()yxyx 的展开式中25x y的系数为547714CC.15.答案：357128 64，解析：8481352128C,82817264C.16.答案：53 解析：因为122,2PMMN PFPF所以2F N1FM，且2112F NFM,延长1MF并延长交椭圆于点Q,则由对称性可设12FQF

11、 Nt,1222,4,2FMt F Mt FQa t，因为122FMF Ma，所以3at.则由2245,33aaQMa F MFQ，所以0290QMF，在12FMF中，由#QQABKYQQogigAgBAAQBCAwFQCgEQkgAAAKgGhAAYMEABCRFABAA=#2221221FMF MF F可得离心率53e.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解:（1）选：因为sinsin3sinsincCbBCAa，在ABC中，将正弦定理代入化简可得：223cabca，即2223acacb，即2223acacb .2 分 在ABC中，由余

12、弦定理可得：2223cos22acbBac，.3 分 因为0,B，所以6B；.5 分 选：因为ABC的外接圆的半径为3且3b，在ABC中，由正弦定理可得：32 3sinsinbBB，解得sin12B，.2 分 因为BA，所以0,2B，所以6B.5 分（2）由（1）知6B，33ac，3b，在ABC中，由余弦定理可得：2223cos622acbac，.6 分 解得3 3ac，.8 分 所以1113 3sin3 32224ABCSacB.10 分 18.解：（1）因为11a，所以111a，.1 分 又nan是公差为12的等差数列，所以111(1)22nannn，.4 分 所以(1)2nn na.6

13、分（2）因为12112()(1)1nnban nnn，.8 分 所以12311111112(1)()()()223341nnTbbbbnn#QQABKYQQogigAgBAAQBCAwFQCgEQkgAAAKgGhAAYMEABCRFABAA=#12(1)1n，.10 分 因为101n，所以2nT，得证.12 分 19.解:（1）因为2,1ABAPBC，所以可解得5,2 5ACCD,又因为 5AD,所以222ACCDAD 所以ACCD,因为PA平面 ABCD，所以 PACD，所以CD 平面PAC，所以AECD.6 分（2）以点 A 为坐标原点，分别以,AB AD AP所在的直线为 x 轴，y

14、轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以10,0,0,0,5,0,2,1,0,0,0,2,1,12ADCPE 则12,4,0,1,1,0,5,02CDAEAD .8 分 设平面AED的法向量为,nx y z，由00n AEn AD，得1020 xyzy，令1z，可得平面AED的一个法向量为1,0,1n.10 分 设CD与平面AED所成角为，则210sincos,1022 5CD nCD nCDn，所以CD与平面AED所成角的正弦值为1010.12 分 20.解：（1）设每箱这种蔬菜能在该超市销售为事件A，则1112()(1)(1)(1)3455P A,#QQABKYQQogigAgBAA

15、QBCAwFQCgEQkgAAAKgGhAAYMEABCRFABAA=#即每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率为25.4 分（2）X的所有可能取值为300，150，0，150.6 分 因为33328(300)()5125P XC,2232336(150)()()55125P XC,11232354(0)()()55125P XC,033327(150)()5125P XC.所以X的分布列为 X 300 150 0 150 P 8125 36125 54125 27125 8365427()3001500(150)30125125125125E X .12 分 21.解：（1）有题意可知2,bPca

16、，2,0Aa 因为2A BOP,所以22bbaca，即2cb，所以3ab.2 分 因为1223FA，所以2323acb，所以1b，2,3ca 所以双曲线的方程为2213xy.4分（2）设1122(,),C x yD xy，直线 CD：2 3xty，联立22132 3xyxty可得，2234 390tyty，由22300903tt 可得3t 或3t，所以1212224 39,33tyyyytt，.6 分 直线1AC：1133yyxx 直线2A D：2233yyxx 121294 3yyyyt#QQABKYQQogigAgBAAQBCAwFQCgEQkgAAAKgGhAAYMEABCRFABAA=

17、#由可得2121122121121233 33 333333yxytyty yyxxty yyyxy ty .8 分 把代入上式化简可得333xx，.10 分 解得32x，所以点M在定直线32x 上.12 分 22.解：（1）函数()f x的定义域为0,，且()1afxx，.1 分 当0a 时，()0f x 恒成立，()f x在(0,)上单调递增；.2 分 当0a 时，令()0fx 得xa，当0 xa时，()0f x；当xa时，()0f x，所以函数()f x在(0,a上单调递减，在(,)a 单调递增.4 分（2）()f x的定义域为0,，由()()xf xe ae，整理得2ln()0 xax

18、xe ae，即存在1,xe使2ln0eaexaxx成立，.5 分 令2()lneaeg xxaxx，则222222()()()()1a ea e xa x ea ex e a x eg xxxxx ，因为0 x，所以0 xe，令()0g x，则xe a.6 分 因为1,xe，所以，若1ea，即1ae 时，()0g x 在1,e上恒成立，所以()g x在1,e上单调递增，只需2(1)10geae，得211eaeee .8 分 若eae，即0a 时，()0g x 在1,e上恒成立，所以()g x在1,e上单调递减，只需()0g eeaea ，不成立.9 分 若1eae，即10ea 时，当1,)xea时，()0g x，()g x单调递减，当(,xea e时，()0g x，()g x单调递增，#QQABKYQQogigAgBAAQBCAwFQCgEQkgAAAKgGhAAYMEABCRFABAA=#所以()g x在1,e上的极小值为()ln()g aeaeaaee，只需()ln()0g aeae aaee ，即2ln()aeaea，而当10ea时，20aea，0ln()1ae，所以2ln()aeaea不成立.11 分 综上a的取值范围为1(,)ee .12 分#QQABKYQQogigAgBAAQBCAwFQCgEQkgAAAKgGhAAYMEABCRFABAA=#