人教高中数学必修二A版-《平面向量的运算》平面向量及其应用(第3课时向量的数乘运算)教学课件.pptx

1、6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算1.1.向量的数乘运算向量的数乘运算定义：一般地，我们规定定义：一般地，我们规定实数实数与向量与向量a的积是一个向的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作量，这种运算叫做向量的数乘，记作a.规定：规定：(1)(1)|a|=|=|a|.(2)(2)当当00时，时，a的方向与的方向与a的方向的方向相同相同；当；当00时，时，a的方向与的方向与a的方向的方向相反相反；当；当=0=0时，时，a=0.【思考思考】向量数乘运算的结果是什么？向量数乘运算的结果是什么？提示：提示：数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又数乘向量的结果仍是一个向量，它既有大小又有

2、方向有方向.2.2.向量数乘的运算律向量数乘的运算律设设，为实数，则为实数，则(1)(a)=(1)(a)=a；(2)(+)(2)(+)a=a+a；(3)(3)(a+b)=)=a+b.特别地，我们有特别地，我们有(-)(-)a=-(=-(a)=(-)=(-a)，(a-b)=)=a-b.【思考思考】这里的条件这里的条件“，为实数为实数”能省略吗？为什么？能省略吗？为什么？提示：提示：不能，数乘向量中的不能，数乘向量中的，都是实数，只有都是实数，只有，都是实数时，运算律才成立都是实数时，运算律才成立.3.3.向量的线性运算向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的加、减、数乘运算

3、统称为向量的线性运算.4.4.共线向量定理共线向量定理向量向量a(a(a0)与与b共线的充要条件是：存在唯一一个实共线的充要条件是：存在唯一一个实数数，使，使b=a.【思考思考】(1)(1)共线向量定理中的共线向量定理中的“a0”是否多余，能去掉吗？是否多余，能去掉吗？提示：提示：不能，定理中之所以限定不能，定理中之所以限定a0是由于若是由于若a=b=0，存在，但不唯一，若存在，但不唯一，若a=0，b0，则，则不存在不存在.(2)(2)反之，反之，“若存在一个实数若存在一个实数，使，使b=a(a0)，则，则a与与b共线共线”成立吗？成立吗？提示：提示：成立成立.【素养小测素养小测】1.1.思维

4、辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)-3(1)-3a的方向与的方向与6 6a的方向相反，且的方向相反，且-3-3a的模是的模是6 6a的模的的模的 (a0).).()(2)(2)a与与-a的方向相反的方向相反.()12(3)(3)若若a，b共线，则存在唯一的实数共线，则存在唯一的实数，使，使a=b.()提示：提示：(1).(1).因为因为-30-30，所以，所以-3-3a与与a方向相反且方向相反且|-3|-3a|=3|=3|a|.|.所以所以6 6a与与a方向相同且方向相同且|6|6a|=6|=6|a|，所以，所以-3-3a与与6 6a方向相反且模是方向相反且模是

5、6 6a的模的的模的 .(2)(2).当当00时，时，a与与-a的方向相同的方向相同.(3)(3).若若b=0时不成立时不成立.122.2.下列计算正确的个数是下列计算正确的个数是()(-3)2(-3)2a=-6=-6a；2(2(a+b)-(2)-(2b-a)=3)=3a；(a+2+2b)-)-(2(2b+a)=0.)=0.A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析解析】选选C.C.因为因为(-3)(-3)2 2a=-6=-6a，故正确；，故正确；中，左中，左=2=2a+2+2b-2-2b+a=3a=3a成立，故正确；成立，故正确；中，左中，左=a+2+2b-2-2b-a=000，

6、故错误，故错误.类型一向量的线性运算类型一向量的线性运算【典例典例】1.(20191.(2019临沂高一检测临沂高一检测)化简化简 (2 (2a+8+8b)-(4)-(4a-2-2b)的结果是的结果是()A.2A.2a-bB.2B.2b-aC.C.b-aD.D.a-b13122.2.已知向量已知向量a，b，x，且，且(x-(x-a)-()-(b-x)=)=x-(-(a+b)，则，则x=_.x=_.【思维思维引引】1.1.类比实数运算中合并同类项的方法化类比实数运算中合并同类项的方法化简简.2.2.利用解方程的方法求解利用解方程的方法求解.【解析解析】1.1.选选B.B.原式原式=(=(a+4+

7、4b-4-4a+2+2b)=(6)=(6b-3-3a)=2=2b-a.2.2.因为因为(x-a)-()-(b-x)=2)=2x-(-(a+b)，所以，所以2 2x-a-b=x-a-b，即即x=0.答案：答案：01313【内化内化悟悟】1.1.向量的线性运算的主要方法是什么？向量的线性运算的主要方法是什么？提示：提示：去括号，合并去括号，合并“同类项同类项”.2.2.解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量解含有向量的方程时，可以把向量当成普通未知量求解吗？求解吗？提示：提示：可以可以.【类题类题通通】向量线性运算的方法向量线性运算的方法(1)(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要

8、是向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项合并同类项”“”“提取公因式提取公因式”，但这里的，但这里的“同类项同类项”“”“公因式公因式”指向量，实数是向量的系数指向量，实数是向量的系数.(2)(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.【习练习练破破】已知已知a=4=4d，b=5=5d，c=-3=-3d，则，则2 2a-3-3b+c等于等于()A.10A.10

9、dB.-10B.-10dC.20C.20dD.-20D.-20d【解析解析】选选B.2B.2a-3-3b+c=8=8d-15-15d-3-3d=-10=-10d.【加练加练固固】已知向量已知向量a，b，且，且5x+2y=5x+2y=a，3x-y=3x-y=b，求，求x x，y.y.【解析解析】将将3x-y=3x-y=b两边同乘两边同乘2 2，得得6x-2y=26x-2y=2b.与与5x+2y=5x+2y=a相加，相加，得得11x=a+211x=a+2b，即，即x=x=a+b.所以所以y=3x-y=3x-b=3 =3 =a-b.11121112()1111ab311511类型二用已知向量表示相关

10、向量类型二用已知向量表示相关向量【典例典例】1.(20191.(2019长沙高一检测长沙高一检测)设设D D，E E分别是分别是ABCABC的边的边ABAB，BCBC上的点，上的点，AD=ABAD=AB，BE=BC.BE=BC.若若 =1 1 +2 2 (1 1，2 2为实数为实数)，则，则1 1+2 2的值为的值为_._.1223DEuurABuurACuuu r2.2.如图所示，已知如图所示，已知 ABCDABCD的边的边BCBC，CDCD上的中点分别为上的中点分别为K K，L L，且，且 =e1 1，=e2 2，试用，试用e1 1，e2 2表示表示 AKuuu rALuurBC CD.u

11、ur uuu r，【思维思维引引】1.1.先用向量先用向量 表示向量表示向量 ，然后，然后计算计算“系数系数”和和.2.2.先把先把 视为未知量，再利用已知条件找等量关视为未知量，再利用已知条件找等量关系，列方程系，列方程(组组)，通过解方程，通过解方程(组组)求出求出 AB ACuur uuu r，DEuurBC CDuur uuu r，BC CD.uur uuu r，【解析解析】1.1.由已知由已知 所以所以1 1=-=-，2 2=，从而从而1 1+2 2=.=.答案：答案：2112(ACAB)ABABAC3263uuu ruuruuruuruuu r，21DEBEBDBCBA32uuru

12、uruuu ruuruuu r162312122.2.设设 =x，=y，则则 =e1 1=x-y，=e2 2=x-y，由由 BCuurCDuuu rAKuuu r12ALuur12121212，xyexye解得解得 即即 =211242,3342,33 xeeyeeBCuurCDuuu r2142,33ee1242,33ee【内化内化悟悟】分析切入问题时，对条件分析切入问题时，对条件 应怎样应怎样理解？理解？提示：提示：看作是用向量看作是用向量 、表示向量表示向量 的结果的结果.12DEABAC uuruuruuu r“”ACuuu rDEuurABuur【类题类题通通】(1)(1)由已知量表

13、示未知量时，要善于利用三角形法则、由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则以及向量线性运算的运算律平行四边形法则以及向量线性运算的运算律.(2)(2)当直接表示较困难时，应考虑设出未知向量，表示当直接表示较困难时，应考虑设出未知向量，表示出已知向量，建立方程组，利用方程出已知向量，建立方程组，利用方程(组组)求解求解.【习练习练破破】如图，如图，ABCDABCD是一个梯形，是一个梯形，ABCDABCD，且，且AB=2CDAB=2CD，M M，N N分分别是别是DCDC和和ABAB的中点，已知的中点，已知 =a，=b，试用，试用a，b表表示示 ABuurADuuu rBCMNu

14、uruuur和【解析解析】(方法一方法一)连接连接CNCN，则，则ANANDCDC，所以四边形所以四边形ANCDANCD是平行四边形是平行四边形.=-=-b，又因为又因为 =0，所以所以 =b-a，所以所以 =-=-b+a=a-b.CNAD uuu ruuu rCNNBBCuuu ruuu ruurBCCNNB uuruuu ruuu r121MNCNCMCNAN2uuuruuu ruuu ruuu ruuu r1414(方法二方法二)因为因为 =0=0，即：即：a+(-+(-a)+(-)+(-b)=0)=0，所以所以 =b-a，又因为在四边形又因为在四边形ADMNADMN中，有中，有 =0，

15、即即：b+a+(-+(-a)=)=0，所以所以 =a-b.ABBCCDDAuuruuruuu ruuu rBCuur12BCuur12ADDMMNNAuuu ruuuruuuruuu r14MNuuur1214MNuuur【加练加练固固】如图所示，四边形如图所示，四边形OADBOADB是平行四边形，是平行四边形，=a，=b，又，又 试用试用a、b表示表示 OAuuu rOBuur11BMBC,CNCD,33uuu ruur uuu ruuu rOM ON MN.uuu r uuu r uuur，【解析解析】因为因为 =a-b，所以所以 (a-b)，所以所以 =b+(+(a-b)=)=b+a-b

16、=a+b.又由又由 =+=+=a+b，得，得BAOAOBuuu ruuu ruur111BMBCBA366uuu ruuruuu rOMOBBMuuu ruuruuu r1616161656ODuuu rOAuuu rOBuur =a+b.所以所以 =(=(a+b)-(-(a+b)=a-b.112ONODODOD263uuu ruuu ruuu ruuu r2323MNONOMuuuruuu ruuu r232316561216类型三向量共线定理及应用类型三向量共线定理及应用角度角度1 1求参数问题求参数问题【典例典例】(2019(2019天水高一检测天水高一检测)设设e1 1，e2 2是两个

17、不共线是两个不共线的向量，若向量的向量，若向量a=2=2e1 1-e2 2，与向量，与向量b=e1 1+e2 2(R)(R)共共线，则当且仅当线，则当且仅当的值为的值为世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.0A.0B.-1B.-1C.-2C.-2D.-D.-12【思维思维引引】利用向量共线定理解答利用向量共线定理解答.【解析解析】选选D.D.因为向量因为向量a与与b共线，所以存在唯一实数共线，所以存在唯一实数u u，使，使b=u=ua成立成立.即即e1 1+e2 2=u(2=u(2e1 1-e2 2)=2u)=2ue1 1-u-ue2 2.所以所以 解得解得=-.=-.12uu.，12【素养素养

18、探探】本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学本题主要考查向量共线条件的应用，突出考查了数学运算的核心素养运算的核心素养.本例若把条件本例若把条件“向量向量b=e1 1+e2 2(R)”(R)”改为改为“向量向量b=2m=2me1 1+n+ne2 2(m(m，nR)”nR)”其他条件不变，试求其他条件不变，试求m+nm+n的值的值.【解析解析】因为向量因为向量a与与b共线，所以存在唯一实数共线，所以存在唯一实数u u，使，使b=u=ua成立成立.即即2m2me1 1+n+ne2 2=u(2=u(2e1 1-e2 2)=2u)=2ue1 1-u-ue2 2.所以所以 所以所以m+n=0.m

19、+n=0.2m2n，角度角度2 2三点共线问题三点共线问题【典例典例】设设a a，b b是不共线的两个非零向量，若是不共线的两个非零向量，若 =2=2a-b，=3=3a+b，=a-3-3b，求证：，求证：A A，B B，C C三点共线三点共线.世纪金榜导学号世纪金榜导学号OAuuu rOBuurOCuuu r【思维思维引引】利用向量共线定理解答利用向量共线定理解答.【证明证明】由题意，得由题意，得 =(3=(3a+b)-(2)-(2a-b)=)=a+2+2b，=(=(a-3-3b)-(3)-(3a+b)=-2)=-2a-4-4b=-2 =-2 ，所以所以 与与 共线，且有公共端点共线，且有公共

20、端点B B，所以，所以A A，B B，C C三点共线三点共线.ABOBOAuuruuruuu rBCOCOBuuruuu ruurABuurABuurBCuur【类题类题通通】关于向量共线定理的应用关于向量共线定理的应用(1)(1)向量共线定理：向量共线定理：b与与a(a0)共线与共线与b=a是一个等是一个等价定理，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，价定理，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值也可以根据共线求参数的值.(2)(2)证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个证明三点共线，往往要转化为证明过同一点的两个有向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有

21、向线段表示的向量共线，必须说明构造的两个向量有公共点，否则两向量所在的直线可能平行，解题时有公共点，否则两向量所在的直线可能平行，解题时常常会因忽视对公共点的说明而丢分常常会因忽视对公共点的说明而丢分.【发散发散拓拓】关于关于A A，B B，C C三点共线条件的变形式三点共线条件的变形式平面上三点平面上三点A A，B B，C C共线的充要条件是：存在实数共线的充要条件是：存在实数，使得，使得 =+=+，其中，其中+=1+=1，O O为平面为平面内任意一点内任意一点.OAuuu rOCuuu rOBuur【延伸延伸练练】已知已知A A，B B，P P三点共线，三点共线，O O为直线外任意一点，若

22、为直线外任意一点，若 求求x+yx+y的值的值.xOAyOB，OP【解析解析】设设 则则 则则 所以所以x+y=1+-=1.x+y=1+-=1.ABBP，OBOAAB ，OPOBBP OAABBPOAOBOAOBOAOB 1OA （）（），【习练习练破破】已知非零向量已知非零向量e1 1，e2 2不共线不共线.(1)(1)如果如果 =e1 1+e2 2，=2=2e1 1+8+8e2 2，=3(=3(e1 1-e2 2)，求，求证：证：A A，B B，D D三点共线三点共线.(2)(2)欲使欲使k ke1 1+e2 2和和e1 1+k+ke2 2共线，试确定实数共线，试确定实数k k的值的值.ABuurBCuurCDuuu r【解析解析】(1)(1)因为因为 =e1 1+e2 2，=2=2e1 1+8+8e2 2+3+3e1 1-3-3e2 2=5(=5(e1 1+e2 2)=5)=5所以所以 ，共线，且有公共点共线，且有公共点B B，所以，所以A A，B B，D D三点三点共线共线.ABuurBDBCCDuuu ruuruuu rAB，uurABuurBDuuu r谢谢您的聆听与观看THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！