全国中考数学3年中考2年模拟之热点题型：7.3开放探究题pdf版.pdf

1、 ?（ ?） 祖冲之（ 公元 年） 在前人的计算基础上继续推算， 求出圆周率在 与 之间， 是世界 上最早的七位小数精确值， 他还用两个分数值来表示圆周率： 称为约率， 称为密率请你将这两个分数换成小数， 看它们与今天已知的圆周率有几位小数数字相同？在欧洲， 直到 年后的 世纪， 德国人鄂图（ 公元 年） 和 安托尼兹才得到这个数值现在有了电子计算机， 圆周率已经算到了小数点后一千万位以上了 开放探究题 题型特点 探究性问题为学生提供了广阔的思维空间， 有利于调动学 生的创新意识和探究兴趣， 成为近几年中考的热点题型之一探 究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论， 需要经 过推断、 补

2、充并加以证明的题型， 探究性问题具有以下特点： 条件的不确定性 结构的多样性 思维的多向性 解答的层次性 过程的探究性 知识的探究性 这类问题具有较强的综合性， 涉及的数学基础知识较为广 泛， 既能考查学生对基础知识掌握的熟练程度， 又能考查学生的 观察、 分析、 概括能力， 能从具体、 特殊的事实中探究其存在的规 律， 把藏在表面现象中的一般规律挖掘出来 命题趋势 开放探究性问题是一个充满着观察、 归纳、 猜想、 尝试、 探究 的发现过程， 需要学生对问题进行多方位、 多角度、 多层次的思 考、 审视， 对培养学生的创造性思维能力、 推理能力、 直觉思维能 力和全面提高学生的数学素养具有重要

3、的意义， 倍受中考命题 者的青睐， 是中考试题的热点之一 【 例】（ 湖南湘潭） 如图， 抛物线狔犪 狓 狓 （ 犪 ） 的图象与狓轴交于犃、 犅两点， 与狔轴交于点犆， 已知点犅坐 标为（ ，） （ ） 求抛物线的解析式； （ ） 试探究犃 犅 犆的外接圆的圆心位置， 并求出圆心坐标； （ ） 若点犕是线段犅 犆下方的抛物线上一点， 求犕 犅 犆的 面积的最大值， 并求出此时点犕的坐标 【 命题意图分析】探索是人类认识客观世界过程中最生 动、 最活跃的思维活动， 探索性问题存在于一切学科领域之中， 在数学中则更为普遍初中数学中的“ 探索发现” 型试题是指命 题中缺少一定的题设或未给出明确的结

4、论， 需要经过推断、 补充 并加以证明的命题， 它不像传统的解答题或证明题， 在条件和结 论给出的情景中只需进行由因导果或由果索因的工作， 从而定 格于“ 条件 演绎 结论” 这样一个封闭的模式之中， 而是 必须利用题设大胆猜想、 分析、 比较、 归纳、 推理， 或由条件去探 索不明确的结论； 或由结论去探索未给予的条件； 或去探索存在 的各种可能性以及发现所形成的客观规律开放性试题重在开 发思维， 促进创新， 提高数学素养， 所以是近几年中考试题的热 点考题观察、 实验、 猜想、 论证是解决这类问题的科学思维方 法， 学习中应重视并应用 本题考查了二次函数综合题， 但用到的琐碎知识点较多，

5、综 合性很强熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积 公式是理出思路的关键 【 解答】（ ） 将犅（，） 代入抛物线的解析式中， 得 犪 ， 即犪 抛物线的解析式为狔 狓 狓 （ ） 由（） 的函数解析式可求得犃（ ，） 、犆（， ） 犗 犃 ，犗 犆 ， 犗 犅 ， 即犗 犆 犗 犃犗 犅 又犗 犆犃 犅， 犗 犃 犆犗 犆 犅 犗 犆 犃犗 犅 犆 犃 犆 犅犗 犆 犃犗 犆 犅犗 犅 犆犗 犆 犅 犃 犅 犆为直角三角形， 犃 犅为犃 犅 犆外接圆的直径 所以该外接圆的圆心为犃 犅的中点， 且坐标为（ ， ） （ ） 由犅（，） 、犆（， ） ， 可得直线犅 犆的解析式为狔 狓 设直

6、线犾犅 犆， 则该直线的解析式可表示为狔 狓 犫 当直线犾与抛物线只有一个交点时， 可列方程 狓 犫 狓 狓 ， 即狓 狓 犫 ， 且 （ 犫） ， 即犫 直线犾：狔 狓 由于犛犕 犅 犆犅 犆犺， 当犺最大（ 即点犕到直线犅 犆的距离 最远） 时，犃 犅 犆的面积最大 ， ? 邵逸夫奖是由香港著名商人邵逸夫先生于 年 月创立的首届的颁奖礼于 年月日在香港举行 邵逸夫奖基金会每年颁授一百万奖金以作表扬设有数学奖、 天文学奖、 生命科学与医学奖， 共三个奖项； 它是国际 性奖项， 由邵逸夫奖基金会有限公司管理它弥补了诺贝尔奖缺少数学奖的遗憾逸夫数学奖、 邵逸夫天文学奖及邵 逸夫生命科学与医学奖于

7、每年九月提名及评审， 结果在翌年夏季宣布， 并在秋季举行颁奖典礼 所以点犕即直线犾和抛物线的唯一交点， 有 狔 狓 狓 ， 狔 狓 烅 烄 烆 ， 解得 狓 ， 狔 犕（， ） 【 方法点拨】（ ） 该函数解析式只有一个待定系数， 只需将 点犅坐标代入解析式中即可 （ ） 首先根据抛物线的解析式确定点犃坐标， 然后通过证明 犃 犅 犆是直角三角形来推导出直径犃 犅和圆心的位置， 由此确 定圆心坐标 （ ）犕 犅 犆的面积可由犛犕 犅 犆犅 犆犺表示， 若要它的面积 最大， 需要使犺取最大值， 即点犕到直线犅 犆的距离最大， 若设 一条平行于犅 犆的直线， 那么当该直线与抛物线有且只有一个交 点

8、时， 该交点就是点犕 【 误区警示】本题探究主要在第（ ） 问， 要注意条件的运 用， 当直线与抛物线只有一个交点时， 联立方程组时取； 例 外三角形底边一定， 要想面积最大， 只要高最大即可 一、选择题 （ 江苏扬州） 大于的正整数犿的三次幂可“ 分裂” 成 若干个连续奇数的和， 如 ， ， ， 若犿 分裂后， 其中有一个奇数是 ， 则 犿的值是（） （ 江西南昌） 如图， 有犪，犫，犮三户家用电路接入电表， 相 邻电路的电线等距排列， 则三户所用电线（） 犪户最长 犫户最长 犮户最长三户一样长 （ 第题） （ 第题） （ 贵州六盘水） 如图为反比例函数狔 狓 在第一象限的 图象， 点犃为此

9、图象上的一动点， 过点犃分别作犃 犅狓轴和 犃 犆狔轴， 垂足分别为犅、犆， 则四边形犗 犅 犃 犆周长的最小值 为（） （ 江苏泰州） 四边形犃 犅 犆 犇中， 对角线犃 犆、犅 犇相交于 点犗， 给出下列四组条件：犃 犅犆 犇，犃 犇犅 犆；犃 犅犆 犇， 犃 犇犅 犆；犃 犗犆 犗，犅 犗犇 犗；犃 犅犆 犇，犃 犇犅 犆其中 一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（） 组 组 组 组 （ 第题） （ 四川达州） 如图， 在犃 犅 犆 犇 中，犈是犅 犆的 中 点， 且犃 犈 犆 犇 犆 犈， 则 下 列 结 论 不 正 确 獉 獉 獉 的 是 （） 犛犃 犉 犇 犛犈 犉 犅 犅

10、犉 犇 犉 四边形犃 犈 犆 犇是等腰梯形犃 犈 犅犃 犇 犆 二、填空题 （ 第题） （ 贵州遵义） 在 的方格中有五 个同样大小的正方形如图摆放， 移动其中 一个正方形到空白方格中， 与其余四个正 方形组成的新图形是一个轴对称图形， 这 样的移法共有种 （ 山东滨州） 根据你学习的数学 知识， 写出一个运算结果为犪 的算式 （ 贵州安顺） 如图， ， 添加一个条件使得 犃 犇 犈犃 犆 犅 （ 第题） （ 第题） （ 四川广元） 如图， 点犃的坐标为（ ，） ， 点犅在直线 狔狓上运动， 当线段犃 犅最短时， 点犅的坐标为 （ 新疆） 请你写出一个主视图与左视图相同的立体图 形是 （ 四川

11、绵阳） 如图所示，犅 犆犈 犆， ， 要使 犃 犅 犆犇 犈 犆， 则应添加的一个条件为 （ 第 题） （ 第 题） （ 辽宁丹东） 如图， 边长为的正方形犃 犅 犆 犇内部有 一点犘， 犅 犘 ，犘 犅 犆 ， 点犙为正方形边上一动点， 且 犘 犅 犙是等腰三角形， 则符合条件的犙点有个 （ 贵州黔东南州） 用根相同长度的木棒在空间中最 多可搭成个正三角形 ? 赵爽， 三国时期东吴的数学家他所作的 周髀算经注 及一篇 勾股圆方图注 全文五百余字并附有五幅插图（ 已失 传） ， 这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果， 最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、 差关系的二十多 个命题，

12、他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系 赵爽还在 勾股圆方图注 中推导出二次方程（ 其中犪，犃） 的求根公式在 日高图注 中利用几何图形面积关 系， 给出了“ 重差术” 的证明（ 汉代天文学家测量太阳高、 远的方法称为重差术） （ 山东德州） 在四边形犃 犅 犆 犇中，犃 犅犆 犇， 要使四边 形犃 犅 犆 犇是中心对称图形， 只需添加一个条件， 这个条件可 以是 （ 广州白云区模拟） 已知反比例函数狔犽 狓 ， 其图象所 在的每个象限内狔随着狓的增大而增大， 请写出一个符合条 件的反比例函数关系式： （ 安徽） 定义运算犪犫犪（ 犫） ， 下列给出了关于这 种运算的几点结论： （ ） ；

13、犪犫犫犪； 若犪犫 ， 则（犪犪）（犫犫） 犪 犫； 若犪犫 ， 则犪 其中正确结论序号是（ 在横线上填上你认为所有 正确结论的序号） 三、解答题 （ 陕西） 如果一条抛物线狔犪 狓 犫 狓犮（犪） 与狓 轴有两个交点， 那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点 的三角形称为这条抛物线的“ 抛物线三角形” （ ） “ 抛物线三角形” 一定是三角形； （ ） 若抛物线狔狓 犫 狓（犫 ） 的“ 抛物线三角形” 是等腰 直角三角形， 求犫的值； （ ） 如图，犗 犃 犅是抛物线狔狓 犫 狓（犫 ） 的“ 抛物线 三角形” ， 是否存在以原点犗为对称中心的矩形犃 犅 犆 犇？ 若存在， 求出过犗、 犆

14、、犇三点的抛物线的表达式； 若不存 在， 说明理由 （ 第 题） （ 四川广元） 如图， 在犃 犈 犆和犇 犉 犅中，犈犉， 点犃、犅、犆、犇在同一直线上， 有如下三个关系式：犃 犈 犇 犉，犃 犅犆 犇，犆 犈犅 犉 （ ） 请用其中两个关系式作为条件， 另一个作为结论， 写出你 认为正确的所有命题（ 用序号写出命题书写形式： “ 如果 ， 那么” ） ； （ ） 选择（） 中你写出的一个命题， 说明它正确的理由 （ 第 题） （ 福建漳州） 在数学课上， 林老师在黑板上画出如图所 示的图形（ 其中点犅、 犉、犆、犈在同一直线上） ， 并写出四个条 件：犃 犅犇 犈，犅 犉犈 犆，犅犈， 请

15、你从这四个条件中选出三个作为题设， 另一个作为结论， 组成一个真命题 獉獉獉 ， 并给予证明 题设：； 结论：（ 均填写序号） 证明： （ 第 题） （ 辽宁阜新） （） 如图， 在犃 犅 犆和犃 犇 犈中，犃 犅 犃 犆，犃 犇犃 犈，犅 犃 犆犇 犃 犈 当点犇在犃 犆上时， 如图（） ， 线段犅 犇、犆 犈有怎样的数量 关系和位置关系？直接写出你猜想的结论 将图（） 中的犃 犇 犈绕点犃顺时针旋转角（ ） ， 如图（） ， 线段犅 犇、犆 犈有怎样的数量关系和位置关 系？请说明理由 （ ） 当犃 犅 犆和犃 犇 犈满足下面甲、 乙、 丙中的哪个条件 时， 使线段犅 犇、 犆 犈在（） 中

16、的位置关系仍然成立？不必 说明理由 甲： 犃 犅犃 犆犃 犇犃 犈 ，犅 犃 犆犇 犃 犈 ； 乙： 犃 犅犃 犆犃 犇犃 犈 ，犅 犃 犆犇 犃 犈 ； 丙： 犃 犅犃 犆犃 犇犃 犈 ，犅 犃 犆犇 犃 犈 （ 第 题） ? 秦九韶（ ） ， 字道古， 四川安岳人， 曾先后在湖北、 安徽、 江苏、 浙江等地做官， 年左右被贬至梅州（ 今广 东梅县） ， 不久死于住所他与李治、 杨辉、 朱世杰并称宋元数学四大家秦九韶早年在杭州“ 访习于太史， 又尝从隐君子授 数学” ， 年写成著名的 数书九章 数书九章 全书共 卷， 题， 分为九大类其最重要的数学成就 “ 大衍总数 术” （ 一次同余组解法

17、） 与“ 正负开方术” （ 高次方程数值解法） ， 使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位 （ 吉林） 在如图所示的三个函数图象中， 有两个函数图 象能近似地刻画如下犪， 犫两个情境： 情境犪： 小芳离开家不久， 发现把作业本忘在家里， 于是返回 家里找到了作业本再去学校； 情境犫： 小芳从家出发， 走了一段路程后， 为了赶时间， 以更 快的速度前进 （ ） 情境犪，犫所对应的函数图象分别为，； （ 填写序号） （ ） 请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境 （ 第 题） （ 四川资阳） （） 如图（） ， 正方形犃 犈 犌犎的顶点犈、犎 在正方形犃 犅 犆 犇的边上， 直接写出犎犇

18、犌 犆犈 犅的结果； （ 不必写计算过程） （ ） 将图（） 中的正方形犃 犈 犌犎绕点犃旋转一定角度， 如图 （ ） ， 求犎犇犌 犆犈 犅； （ ） 把图（） 中的正方形都换成矩形， 如图（） ， 且已知犇 犃 犃 犅犎犃犃 犈犿狀， 此时犎犇犌 犆犈 犅的值与（） 小题的结果相比有变化吗？如果有变化， 直接写出变化 后的结果（ 不必写计算过程） （） （） （） （ 第 题） （ 山西） 问题情境： 将一副直角三角板（ 犃 犅 犆和 犇 犈 犉） 按图（ ） 所示的方式摆放， 其中犃 犆 犅 ，犆 犃 犆 犅，犉 犇 犈 ，犗是犃 犅的中点， 点犇与点犗重合，犇 犉 犃 犆于点犕，犇 犈

19、犅 犆于点犖， 试判断线段犗犕与犗 犖的 数量关系， 并说明理由 探究展示： 小宇同学展示出如下正确的解法： 解： 犗犕犗 犖， 证明如下： 连结犆 犗， 则犆 犗是犃 犅边上的中线 犆 犃犆 犅， 犆 犗是犃 犆 犅的角平分线 （ 依据） 犗犕犃 犆， 犗 犖犅 犆， 犗犕犗 犖 （ 依据） 反思交流： （ ） 上述证明过程中的“ 依据” 和“ 依据” 分别是指： 依据： 依据： （ ） 你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程 拓展延伸： （ ） 将图（） 中的 犇 犈 犉沿着射线犅 犃的方向平移至如图 （ ） 所示的位置， 使点犇落在犅 犃的延长线上，犉 犇的延 长线与犆 犃的延长

20、线垂直相交于点犕，犅 犆的延长线与 犇 犈垂直相交于点犖， 连结犗犕、犗 犖， 试判断线段犗犕、 犗 犖的数量关系与位置关系， 并写出证明过程 （） （） （ 第 题） （ 安徽） 在由犿狀（犿狀 ） 个小正方形组成的矩形 网格中， 研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数犳 （ ） 当犿，狀互质（犿，狀除外无其他公因数） 时， 观察下列图 形并完成下表： （ 第 题） 犿狀犿狀犳 猜想： 当犿， 狀互质时， 在犿狀的矩形网格中， 一条对角 线所穿过的小正方形的个数犳与犿，狀的关系式是 ； （ 不需要证明） （ ） 当犿，狀不互质时， 请画图验证你猜想的关系式是否依然 成立 ? 杨乐主要研究函数

21、论中的整函数、 亚纯函数的值分布理论他与张广厚合作， 在解析函数的研究中取得了许多 创造性的成果他们在 至 年间， 共同发表了篇这方面的重要论文 年杨乐单独发表了 值分布理 论及其新研究 （ 科学出版社） 一书他与张广厚所发现的函数值分布论方面的“ 亏值” 与“ 奇异方向” 之间的联系， 彻 底解决了这个古老的数学分支中长期未解决的奇异方向分布问题； 他们对函数亏值的估计也被认为是普遍而准确 的结果国际数学界把他们的这些成果称之为“ 杨张定理” 和“ 杨张不等式” （ 山东滨州） 我们知道“ 连结三角形两边中点的线段叫 三角形的中位线” ， “ 三角形的中位线平行于三角形的第三 边， 且等于第

22、三边的一半”类似的， 我们把连结梯形两腰中 点的线段叫做梯形的中位线如图， 在梯形犃 犅 犆 犇中，犃 犇 犅 犆， 点犈、犉分别是犃 犅、犆 犇的中点， 那么犈 犉就是梯形犃 犅 犆 犇的中位线通过观察、 测量， 猜想犈 犉和犃 犇、犅 犆有怎样 的位置和数量关系？并证明你的结论 （ 第 题） （ 河南） 类比、 转化、 从特殊到一般等思想方法， 在数学 学习和研究中经常用到， 如下是一个案例， 请补充完整 原题： 如图（ ） ， 在犃 犅 犆 犇中， 点犈是边犅 犆上的中点， 点犉 是线段犃 犈上一点，犅 犉的延长线交射线犆 犇于点犌， 若犃 犉 犈 犉 ， 求犆 犇 犆 犌的值 （ ）

23、尝试探究 在图（ ） 中， 过点犈作犈犎犃 犅交犅 犌于点犎， 则犃 犅和 犈犎的数量关系是，犆 犌和犈犎的数量关系是 ， 犆 犇 犆 犌的值是 （ ） 类比延伸 如图（ ） ， 在原题的条件下， 若犃 犉 犈 犉犿（ 犿 ） ， 则犆 犇 犆 犌的值 是（ 用含犿的代数式表示） ， 试写出解答过程 （ ） 拓展迁移 如图（ ） ， 梯形犃 犅 犆 犇中，犇 犆犃 犅， 点犈是犅 犆延长线上 一点， 犃 犈和犅 犇相交于点犉， 若犃 犅 犆 犇 犪， 犅 犆 犅 犈 犫（犪，犫 ） ， 则犃 犉 犈 犉的值是 （ 用含犪， 犫的代数式表示） （） （） （） （ 第 题） （ 江苏连云港） 已

24、知梯形犃 犅 犆 犇，犃 犇犅 犆，犃 犅犅 犆， 犃 犇 ，犃 犅 ，犅 犆 （） （） （） （ 第 题） 问题： 如图（ ） ，犘为边犃 犅上的一点， 以犘 犇、犘 犆为边作平 行四边形犘 犆 犙 犇， 请问对角线犘 犙、犇 犆的长能否相等， 为什 么？ 问题： 如图（ ） ， 若犘为边犃 犅上一点， 以犘 犇、犘 犆为边作平 行四边形犘 犆 犙 犇， 请问对角线犘 犙的长是否存在最小值？如 果存在， 请求出最小值； 如果不存在， 请说明理由 问题： 若犘为边犃 犅上任意一点， 延长犘 犇到犈， 使犇 犈 犘 犇， 再以犘 犈、犘 犆为边作平行四边形犘 犆 犙 犈， 请探究对角线 犘 犙

25、的长是否也存在最小值？如果存在， 请求出最小值； 如 果不存在， 请说明理由 问题： 如图（ ） ， 若犘为边犇 犆上任意一点， 延长犘 犃到犈， 使犃 犈狀 犘 犃（ 狀为常数） ， 以犘 犈、犘 犅为边作平行四边形 犘 犅 犙 犈， 请探究对角线犘 犙的长是否也存在最小值？如果存 在， 请求出最小值； 如果不存在， 请说明理由 ? 某食品厂包装流水线上的自动秤发生了问题， 使得本应 克一袋的牛肉干， 装成了克一袋当这一情况被 发现时， 这些缺分量的牛肉干已经装箱， 正好装了两箱， 每箱 袋稍稍有点麻烦的是， 这两箱牛肉干已经与其他 八箱合格的牛肉干（ 每箱 袋， 每袋 克） 混在一起了当然

26、， 只要把这十箱牛肉干一一过镑， 就能解决问题但 是检验科新来的小伙子贝奇说， 他只要称一次， 就能把缺斤少两的牛肉干找出来你知道他是怎样办的吗？ （ 山东济宁模拟） 数学课上， 李老师出示了这样一道题 目： 如图（ ） ， 正方形犃 犅 犆 犇的边长为 ，犘为边犅 犆延长线 上的一点， 犈为犇 犘的中点，犇 犘的垂直平分线交边犇 犆于点 犕， 交边犃 犅的延长线于点犖当犆 犘 时，犈犕与犈 犖的比 值是多少？ 经过思考， 小明展示了一种正确的解题思路： 过点犈作直线 平行于犅 犆交犇 犆、 犃 犅分别于犉、犌， 如图（） ， 则可得犇 犉 犉 犆 犇 犈 犈 犘， 因为犇 犈 犈 犘， 所以

27、犇 犉犉 犆可求出犈 犉和犈 犌的值， 进而可求得犈犕与犈 犖的比值 （ ） 请按照小明的思路写出求解过程； （ ） 小东又对此题作了进一步探究， 得出了犇 犘犕犖的结 论你认为小东的这个结论正确吗？如果正确， 请给予证 明； 如果不正确， 请说明理由 （ 第 题） （ 山东威海） 如图，犃 犅 犆 犇是一张矩形纸片，犃 犇犅 犆 ，犃 犅犆 犇 在矩形犃 犅 犆 犇的边犃 犅上取一点犕， 在 犆 犇上取一点犖， 将纸片沿犕犖折叠， 使犕 犅与犇犖交于点 犓， 得到犕犖犓 （ 第 题） （ ） 若 ， 求犕犓犖的度数； （ ）犕犖犓的面积能否小于 ？若能， 求出此时 的度 数； 若不能， 试说

28、明理由 （ ） 如何折叠能够使犕犖犓的面积最大？请你利用备用图 探究可能出现的情况， 求出最大值 （ 备用图） （ 山东烟台模拟） 已知： 如图， 在四边形犃 犅 犆 犇中， 犃 犅 犆 ，犆 犇犃 犇，犃 犇 犆 犇 犃 犅 （ ） 求证：犃 犅犅 犆； （ ） 当犅 犈犃 犇于犈时， 试证明：犅 犈犃 犈犆 犇 （ 第 题） （ 湖北襄阳） 如图， 点犇、犈在犃 犅 犆的边犅 犆上， 连结 犃 犇、犃 犈犃 犅犃 犆；犃 犇犃 犈；犅 犇犆 犈以此三个等 式中的两个作为命题的题设， 另一个作为命题的结论， 构成 三个命题：； （ ） 以上三个命题是真命题的为（ 直接作答） ； （ ） 请选

29、择一个真命题进行证明（ 先写出所选命题， 然后证 明） （ 第 题） 解析犪，犫， 犮三户家用电路接入电表， 相邻电路 的电线等距排列， 将犪向右平移即可得到犫， 犮 图形的平移不改变图形的大小， 三户一样长 解析犃 犅狓轴， 犃 犆狔轴， 四边形犗 犅 犃 犆为矩形 设宽犅 犗狓， 则犃 犅 狓 ， 则狊狓 狓 狓 槡狓 ， 当且仅当狓 狓 ， 即狓 时， 取等号 故函数狊狓 狓 （狓 ） 的最小值为 故狓 （） 狓 四边形犗 犅 犃 犆周长的最小值为 解析都能判断 解析 由相似形性质知犛犃 犉 犇 犛犈 犉 犅 解析 沿一条直线对折后能完全重合的图形叫轴对称 图形 犪 犪犪（ 答案不唯一）

30、 犇犆或犈犅或 犃 犇 犃 犆 犃 犈 犃 犅 解析 ， 犅 犃 犈 犅 犃 犈， 即犇 犃 犈犆 犃 犅 当犇 犆或犈 犅或犃 犇 犃 犆 犃 犈 犃 犅 时，犃 犇 犈 犃 犆 犅 ， （） 解析 由点犃向直线狔狓作垂线， 因 为垂线段最短 答案不唯一， 例如： 圆或正方体等 答案不唯一， 例如：犃 犆犆 犇 解析犃 犅边上有两点， 其余三边各有一点满足要求 解析 用根火柴棒搭成正四面体， 四个面都是正三 角形 不唯一， 可以是：犃 犅犆 犇或犃 犇犅 犆，犅犆 ， 犃犇 等（ 只要填写一种情况） 例如狔 狓 解析 只要犽为负数即可 解析犪 犫犪（ 犫） ，犫 犪犫（ 犪） ， 不正确；

31、若犪 犫 ， 则犪（ 犫） ， 得犪 或犫 不正确 （） 等腰 （）抛物线狔狓犫 狓（ 犫） 的“ 抛物线三角形” 是等腰直角三角形， 该抛物线的顶点 犫 ， 犫 （） 满足犫 犫 （ 犫 ） 犫 （） 存在如图， 作犗 犆 犇与犗 犃 犅关于原点犗中心对 称， 则四边形犃 犅 犆 犇为平行四边形 当犗 犃犗 犅时， 平行四边形犃 犅 犆 犇为矩形 又犃 犗犃 犅， 犗 犃 犅为等边三角形 作犃 犈犗 犅， 垂足为犈 犃 犈槡 犗 犈 犫 槡 犫 （ 犫 ） 犫 槡 犃（ 槡 ，） ，犅（槡，） 犆（槡 ， ） ， 犇（槡 ，） 设过点犗、犆、犇三点的抛物线为狔犿 狓狀 狓， 则 犿槡 狀 ，

32、 犿槡 狀 ， 解得 犿 ， 狀槡 所求抛物线的表达式为狔狓 槡 狓 （ 第 题） （） 命题： 如果， 那么；命题： 如果， 那么 （） 命题的证明： 犃 犈犇 犉， 犃犇 犃 犅犆 犇， 犃 犅犅 犆犆 犇犅 犆， 即犃 犆犇 犅 在犃 犈 犆和犇 犉 犅中， 犈犉，犃犇， 犃 犆犇 犅， 犃 犈 犆犇 犉 犅 犆 犈犅 犉 命题的证明： 犃 犈犇 犉， 犃犇 在犃 犈 犆和犇 犉 犅中， 犈犉，犃犇， 犆 犈犅 犉， 犃 犈 犆犇 犉 犅 犃 犆犇 犅， 则犃 犆犅 犆犇 犅犅 犆， 即犃 犅犆 犇 注： 命题“ 如果， 那么” 是假命题 情况一： 题设：； 结论： 证明：犅 犉犈 犆，

33、 犅 犉犆 犉犈 犆犆 犉， 即犅 犆犈 犉 在犃 犅 犆和犇 犈 犉中， 犃 犅犇 犈， 犅犈， 犅 犆犈 犉 烅 烄 烆 ， 犃 犅 犆犇 犈 犉 情况二： 题设：； 结论： 证明： 在犃 犅 犆和犇 犈 犉中， 犃 犅犇 犈， 犅犈， 烅 烄 烆 ， 犃 犅 犆犇 犈 犉 犅 犆犈 犉 犅 犆犉 犆犈 犉犉 犆， 即犅 犉犈 犆 情况三： 题设：； 结论： 证明：犅 犉犈 犆， 犅 犉犆 犉犈 犆犆 犉， 即犅 犆犈 犉 开放探究题 解析 ， ， ， 犿 分裂后的第一个数是犿（ 犿 ） ， 共有犿个奇数 （ ） ， （ ） ， 第 个奇数是底数为 的数的立方分裂后的一 个奇数 犿 在犃

34、犅 犆和犇 犈 犉中， 犅犈， 犅 犆犈 犉， 烅 烄 烆 ， 犃 犅 犆犇 犈 犉 犃 犅犇 犈 （ 注： 若题设为， 结论为则不可以） （）结论：犅 犇犆 犈，犅 犇犆 犈 结论：犅 犇犆 犈，犅 犇犆 犈理由如下： 犅 犃 犆犇 犃 犈 ， 犅 犃 犆犇 犃 犆犇 犃 犈犇 犃 犆 即犅 犃 犇犆 犃 犈 在犃 犅 犇与犃 犆 犈中， 犃 犅犃 犆， 犅 犃 犇犆 犃 犈， 犃 犇犃 犈 烅 烄 烆 ， 犃 犅 犇犃 犆 犈 犅 犇犆 犈，犃 犅 犇犃 犆 犈 延长犅 犇交犃 犆于犉， 交犆 犈于犎 在犃 犅 犉和犎 犆 犉中， 犃 犅 犉犎 犆 犉，犃 犉 犅犎 犉 犆， 犆 犎犉犅

35、犃 犉 犅 犇犆 犈 （） 乙 （） （）（） （） 小芳从家出发去书店看了一会儿书， 又返回家中（ 答 案不唯一） （） 连结犃 犌 正方形犃 犈 犌犎 的顶点犈、犎在正方形犃 犅 犆 犇的 边上， 犌 犃 犈犆 犃 犅 ， 犃 犈犃犎，犃 犅犃 犇 犃、犌、犆共线， 犃 犅犃 犈犃 犇犃犎 犎犇犅 犈 犃 犌 犃 犈 槡 犃 犈，犃 犆 犃 犅 槡 犃 犅 犌 犆犃 犆犃 犌 槡 犃 犅槡 犃 犈槡 （犃 犅犃 犈） 槡 犅 犈 犎犇犌 犆犈 犅 槡 （） 连结犃 犌、犃 犆 犃 犇 犆和犃犎 犌都是等腰直角三角形， 犃 犇犃 犆犃犎犃 犌 槡 ， 犇 犃 犆犎犃 犌 犇 犃犎犆 犃 犌

36、犇 犃犎犆 犃 犌 犎犇犌 犆犃 犇犃 犆 槡 犇 犃 犅犎犃 犈 ， 犇 犃犎犅 犃 犈 在犇 犃犎和犅 犃 犈中， 犃 犇犃 犅， 犇 犃犎犅 犃 犈， 犃犎犃 犈 烅 烄 烆 ， 犇 犃犎犅 犃 犈（ ） 犎犇犈 犅 犎犇犌 犆犈 犅 槡 （） 有变化 连结犃 犌、犃 犆 犇 犃犃 犅犎犃犃 犈犿狀， 又犃 犇 犆犃犎犌 ， 犃 犇 犆犃犎犌 犃 犇犃 犆犃犎犃 犌犿 犿 狀 槡 ， 犇 犃 犆 犎犃 犌 犇 犃犎犆 犃 犌 犇 犃犎犆 犃 犌 犎犇犌 犆犃 犇犃 犆犿 犿 狀 槡 犇 犃 犅犎犃 犈 ， 犇 犃犎犅 犃 犈 犇 犃犃 犅犎犃犃 犈犿狀， 犃 犇犎犃 犅 犈 犇犎犅 犈犃

37、 犇犃 犅犿狀 犎犇犌 犆犈 犅犿 犿 狀 槡 狀 （） 等腰三角形三线合一（ 或等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线、 底边上的高互相重合） ； 角平分线上的点到角的两边距离相等 （） 证明：犆 犃犆 犅， 犃犅 犗是犃 犅的中点， 犗 犃犗 犅 犇 犉犃 犆，犇 犈犅 犆， 犃犕犗犅 犖 犗 在犗犕犃和犗 犖 犅中， 犃犅， 犗 犃犗 犅， 犃犕犗犅 犖 犗 烅 烄 烆 ， 犗犕犃犗 犖 犅（ ） 犗犕犗 犖 （）犗犕犗 犖，犗 犕犗 犖理由如下： 如图， 连结犆 犗， 则犆 犗是边犃 犅上的中线 （ 第 题） 犃 犆 犅 ， 犗 犆 犃 犅犗 犅 又犆 犃犆 犅， 犆 犃 犅犅 ， ，

38、犃 犗 犆犅 犗 犆 犅 犅 犖犇 犈， 犅 犖犇 又犅 ， 犅 犇犖犖 犅 犃 犆 犅 ， 犖 犆 犕 又犅 犖犇 犈， 犇犖 犆 四边形犇犕 犆 犖是矩形 犇犖犕 犆 犕 犆犖 犅 又 犅，犗 犆犗 犅， 犕 犗 犆犖 犗 犅（ ） 犗犕犗 犖，犕犗 犆犖 犗 犅 犕犗 犆犆 犗 犖犖 犗 犅犆 犗 犖， 即犕 犗 犖犅 犗 犆 犗犕犗 犖 （） 表中填：， 关系式： 犳犿狀 （） 当犿， 狀不互质时， 关系式犳犿狀 不成立 例如： 当犿 ， 狀 时， 如图， 对角线所穿过的小正方形个数犳， 而犿狀， 等式犳犿狀 不成立 （第 题） 结论为：犈 犉犃 犇犅 犆，犈 犉 （犃 犇犅 犆）理由

39、如下： 如图， 连结犃 犉并延长交犅 犆延长线于点犌 （ 第 题） 犃 犇犅 犌， 犇 犃 犉犌 在犃 犇 犉和犌 犆 犉中， 犇 犃 犉犌， 犇 犉 犃犆 犉 犌， 犇 犉犉 犆 烅 烄 烆 ， 犃 犇 犉犌 犆 犉 犃 犉犉 犌，犃 犇犆 犌 又犃 犈犈 犅， 犈 犉犅 犌，犈 犉 犅 犌， 即犈 犉犃 犇犅 犆，犈 犉 （犃 犇犅 犆） （）犃 犅 犈犎犆 犌 犈犎 （） 犿 作犈犎犃 犅交犅 犌于点犎， 则犈犎 犉犃 犅 犉 犃 犅 犈犎 犃 犉 犈 犉犿， 犃 犅犿 犈犎 犃 犅犆 犇， 犆 犇犿 犈犎 犈犎犃 犅犆 犇， 犅 犈犎犅 犆 犌 犆 犌 犈犎 犅 犆 犅 犈 犆 犌 犈

40、犎 犆 犇 犆 犌 犿 犈犎 犈犎 犿 （） 犪 犫 问题：四边形犘 犆 犙 犇是平行四边形， 若对角线犘 犙、犇 犆相等， 则四边形犘 犆 犙 犇是矩形 犇 犘 犆 犃 犇 ，犃 犅 ， 犅 犆 ， 犇 犆槡 设犘 犅狓， 则犃 犘 狓 在 犇 犘 犆中，犘 犇犘 犆犇 犆， 即狓 （ 狓） ， 化简得狓 狓 （ ） ， 方程无解 对角线犘 犙与犇 犆不可能相等 问题： 如图（） ， 在平行四边形犘 犆 犙 犇中， 设对角线犘 犙 与犇 犆相交于点犌， 则犌是犇 犆的中点 过点犙作犙犎犅 犆， 交犅 犆的延长线于犎 犃 犇犅 犆， 犃 犇 犆犇 犆 犎， 即犃 犇 犘犘 犇 犌犇 犆 犙犙

41、犆 犎 犘 犇犆 犙， 犘 犇 犆犇 犆 犙 犃 犇 犘犙 犆 犎 又犘 犇犆 犙， 犃 犇 犘 犎 犆 犙 犃 犇犎 犆 犃 犇 ，犅 犆 ， 犅犎 当犘 犙犃 犅时， 犘 犙的长最小， 即为 问题： 如图（） ， 设犘 犙与犇 犆相交于点犌 犘 犈犆 犙，犘 犇犇 犈， 犇 犌 犌 犆 犘 犇 犆 犙 犌是犇 犆上一定点 作犙犎犅 犆， 交犅 犆的延长线于点犎 同理可证犃 犇 犘犙 犆 犎 犃 犇 犘 犎 犆 犙， 即犃 犇 犆 犎 犘 犇 犆 犙 犆 犎 犅犎犅 犆犆 犎 当犘 犙犃 犅时， 犘 犙的长最小， 即为 问题： 如图（） ， 设犘 犙与犃 犅相交于点犌 犘 犈犅 犙，犃 犈狀

42、 犘 犃， 犘 犃 犅 犙 犃 犌 犅 犌 狀 犌是犇 犆上一定点 作犙犎犘 犈， 交犆 犅的延长线于犎， 过点犆作犆 犓犆 犇， 交犙犎的延长线于犓 犃 犇犅 犆，犃 犅犅 犆， 犇犙犎 犆，犇 犃 犘犘 犃 犌犙 犅犎犙 犅 犌 ，犘 犃 犌犙 犅 犌 犙 犅犎犘 犃 犇 犃 犇 犘犅犎犙 犃 犇 犅犎 犘 犃 犅 犙 狀 犃 犇 ， 犅犎狀 犆 犎犅犎犅 犆 狀 狀 过点犇作犇犕犅 犆于犕， 则四边形犃 犅犕犇是矩形 犅犕犃 犇 ， 犇犕犃 犅 犆 犕犅 犆犅犕 犇犕 犇 犆 犕 犓 犆 犎 犆 犓犆 犎 槡 （ 狀 ） 当犘 犙犆 犇时， 犘 犙的长最小， 最小值为槡 （ 狀 ） （）

43、 （） （） （ 第 题） （） 过犈作直线平行于犅 犆交犇 犆、犃 犅分别于点犉、犌， 则犇 犉 犉 犆 犇 犈 犈 犘， 犈 犕 犈 犖 犈 犉 犈 犌， 犌 犉犅 犆 犇 犈犈 犘， 犇 犉犉 犆 犈 犉 犆 犘 ， 犈 犌犌 犉犈 犉 犈犕 犈 犖 犈 犉 犈 犌 （） 正确证明： 作犕犎犅 犆交犃 犅于点犎， 则犕犎犆 犅犆 犇，犕犎犖 犇 犆 犘 ， 犇 犆 犘犕犎犖 犕犖犎 犆 犕犖 犇犕犈 犆 犇 犘， 犇 犘 犆 犆 犇 犘， 犇 犘 犆犕犖犎 犇 犘 犆犕犖犎 犇 犘犕犖 （ 第 题） （）犃 犅 犆 犇是矩形， 犃犕犇犖 犓犖犕 犓犕犖 ， 犓犖犕犓犕犖 ， 犓犖犕犓犕犖

44、 犕犓犖 （） 不能如图（） ， 过点犕作犕犈犇犖， 垂足为犈， 则 犕犈犃 犇 （ 第 题（） ） 由（） 知犓犖犕犓犕犖 犕犓犖犓 又犕犓犕犈， 犖犓 犛犕 犖犓 犖犓犕犈 犕犖犓的面积最小值为 ， 不可能小于 （） 分两种情况： 情况一： 如图（） ， 将矩形纸片对折， 使点犅与点犇重合， 此时点犓也与点犇重合 （ 第 题（） ） 设犕犓犕犇狓， 则犃犕 狓 由勾股定理， 得 （ 狓） 狓 解得狓 ， 即犕犇犖犇 犛犕 犖犓犛犖 犆 犓 情况二： 如图（） ， 将矩形纸片沿对角线犃 犆对折， 此时折 痕为犃 犆 （ 第 题（） ） 设犕犓犃 犓犆 犓狓， 则犇犓 狓 同理可得犕犓犖犓 犛犕 犖犓 犕犖犓的面积最大值为 （） 连结犃 犆 犃 犅 犆 ， 犃 犅 犅 犆犃 犆 犆 犇犃 犇， 犃 犇 犆 犇犃 犆 犃 犇 犆 犇 犃 犅 ， 犃 犅 犅 犆 犃 犅 犃 犅犅 犆 （） 过点犆作犆 犉犅 犈于犉 犅 犈犃 犇， 四边形犆 犇 犈 犉是矩形 犆 犇犈 犉 犃 犅 犈犅 犃 犈 ，犃 犅 犈犆 犅 犉 ， 犅 犃 犈犆 犅 犉 犅 犃 犈犆 犅 犉 犃 犈犅 犉 犅 犈犅 犉犈 犉犃 犈犆 犇 （ 第 题） （）， （） 选择 过点犃作犃 犉犅 犆， 垂足为犉， 由等腰三角形三线合一性 质知犅 犉犆 犉，犇 犉犈 犉， 犅 犉犇 犉犆 犉犈