二元一次方程组及其应用（中考数学第一轮复习导学案）.doc

1、 - 1 - 二元一次方程组及其应用 【课前热身】【课前热身】 1若 2x m+n13ymn3+5=0 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m=_，n=_ 2在式子 3m+5nk 中，当 m=2，n=1 时，它的值为 1；当 m=2，n=3 时，它的值是_ 3若方程组 0 26 axy xby 的解是 1 2 x y ，则 a+b=_ 4已知 x，y，t 满足方程组 23 5 32 xt ytx ，则 x 和 y 之间应满足的关系式是_ 5若方程组 2xyb xbya 的解是 1 0 x y ，那么ab=_ 【参考答案】【参考答案】 13；1 27 38 4.15yx=6 51 【考点聚焦】【

2、考点聚焦】 了解二元一次方程组及其解法，并灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组. 重点：重点：掌握消元思想，熟练地解二元一次方程组.会用二元一次方程组解决一些简单的实际 问题. 难点：难点：是图象法解二元一次方程组，数形结合思想. 【备考兵法】【备考兵法】 思想方法：思想方法： 消元思想-加减和代入两种消元方法 数学建模思想-列二元一次方程组解决实际问题的方法 数形结合思想-图象法解二元一次方程组 二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法 代入消元法： 在二元一次方程组中选取一个适当的方程， 将一个未知数用含另一个未知 数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出

3、这个未知 - 2 - 数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法 加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两 边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组 的解的方法叫做加减消元法，简称加减法 二元一次方程组的应用二元一次方程组的应用 对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得 多列方程组解应用问题有以下几个步骤： （1）选定几个未知数； （2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组； （3）解方程组，得到方程 组的解； （4）检验求得未知数的值是否符合题意

4、，符合题意即为应用题的解 易错知识辨析：易错知识辨析： （1）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值； （2）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值； （3）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号. 【考点链接考点链接】 （对重点知识点的概括，主要以填空题形式考查） 1 1二元一次方程：二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程. 2. 2. 二元一次方程组：二元一次方程组：由 2 个或 2 个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组. 3 3二元一次方程的解：二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程 的一个

5、解，一个二元一次方程有 个解. 4 4二元一次方程组的解：二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解. 5. 5. 解二元一次方程的方法步骤：解二元一次方程的方法步骤： 二元一次方程组 方程. 消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. 【典例精析典例精析】 例例 1 1 已知 2 1 x y 是方程组 2(1)2 1 xmy nxy 的解，求（m+n）的值 消元 转化 - 3 - 【分析】 由方程组的解的定义可知 2 1 x y ， 同时满足方程组中的两个方程， 将 2 1 x y 代 入两个方程，分别解二元一次方程，即得 m 和 n 的值，从而求

6、出代数式的值 【答案】解：把 x=2，y=1 代入方程组 2(1)2 1 xmy nxy 中，得 2 2(1) 12 211 m n 由得 m=1，由得 n=0 所以当 m=1，n=0 时， （m+n）=（1+0）=1 【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程 例例 2 2 （湖南郴州）（湖南郴州）李大叔今年五月份购买了一台彩电和一台洗衣机，根据“家电下乡”的 补贴标准：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的 13%补贴给农户 因此，李大 叔从乡政府领到了 390 元补贴款 若彩电的售价比洗衣机的售价高 1000 元， 求彩电和洗衣 机的售价各是多少元 【分析】本

7、题主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力 【答案】解：设一台彩电的售价为x元，一台洗衣机的售价为y元 根据题意得： 1000 13()390 xy % xy -= += 解得 2000 1000 x y = = 答：一台彩电的售价为 2000 元，一台洗衣机的售价为 1000 元 例例 3 3（广（广西钦州）西钦州）小王购买了一套经济适用房，他准备 将地面铺上地砖，地面结构如图所示根据图中的数据（单 位：m） ，解答下列问题： （1）写出用含x、y的代数式表示的地面总面积； （2）已知客厅面积比卫生间面积多 21m 2，且地面总面积 是卫生间面积的 15 倍，铺 1m 2地砖的平均费

8、用为 80 元， 求铺地砖的总费用为多少元？ 【分析】本题主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力 【答案】解： （1）地面总面积为： （6x2y18）m 2； 6 3 y 2 2 x 客厅 卧室 厨房 卫 生 间 - 4 - （2）由题意，得 6221, 6218152 . xy xyy 解之，得 4, 3 . 2 x y 地面总面积为：6x2y18642 3 2 1845（m 2） 铺 1m 2地砖的平均费用为 80 元， 铺地砖的总费用为：45803600（元） 【迎考精迎考精练练】 一、选择题一、选择题 1. （台湾）（台湾）若二元一次联立方程式 0 3 51515 4 6 3

9、2 yx yx 的解为x =a，y =b，则a b=？ （ ） A 3 5 B 5 9 C 3 29 D 3 139 2. ( (四川绵阳四川绵阳) )小明在解关于x、y的二元一次方程组 13 3, yx yx 时得到了正确结果 . 1 , y x 后来发现 “”“ ” 处被墨水污损了， 请你帮他找出、 处的值分别是( ) A = 1， = 1 B = 2， = 1 C = 1， = 2 D = 2， = 2 3. （广西（广西桂林桂林）已知 2 1 x y 是二元一次方程组 7 1 axby ax by 的解，则ab的值（ ） A1 B1 C 2 D3 4. （福建福州）（福建福州）二元一次

10、方程组 2, 0 xy xy 的解是（ ） A 0, 2. x y B 2, 0. x y C 1, 1. x y D 1, 1. x y 5. （山东日照）（山东日照）若关于x，y的二元一次方程组 kyx ,kyx 9 5 的解也是二元一次方程 - 5 - 632 yx 的解，则k的值为（ ） A 4 3 B 4 3 C 3 4 D 3 4 6. （黑龙江齐齐哈尔）（黑龙江齐齐哈尔）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住， 某旅行团 20 人准备同时租用这三种客房共 7 间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ） A4 种 B3 种 C2 种 D1 种 二、填空题二、填空题 1.（湖

11、南株洲（湖南株洲）孔明同学在解方程组 2 ykxb yx 的过程中，错把b看成了 6，他其余的解题 过程没有出错，解得此方程组的解为 1 2 x y ，又已知直线ykxb过点（3，1） ，则b的 正确值应该是 2 （湖南怀化）（湖南怀化）方程组 3210 26 xy xy ， 的解为 3.( (甘肃定西甘肃定西) )方程组 25 211 xy xy ， 的解是 4.( (四川四川达州达州) )将一种浓度为 15的溶液 30 ， 配制成浓度不低于 20的同种溶液， 则至少 需要浓度为 35的该种溶液_. 5.( (河北河北) )如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根 露出水面

12、的长度是它的 1 3 ，另一根露出水面的长度是它的 1 5 两根铁棒长度 之和为 55 cm， 此时木桶中水的深度是 cm 6.（山东济宁）（山东济宁）请你阅读下面的诗句:“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去 处， 五只栖一树， 闲了一棵树， 请你仔细数， 鸦树各几何？” 诗句中谈到的鸦为 只、 树为 棵. 三、解答题三、解答题 1.（北京市）（北京市）列方程或方程组解应用题： 北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加.据统计，10 月 11 日到 2 月 28 日期间， 地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为 1696 万人次， 地面公交日 均客运量比轨道交通

13、日均客运量的 4 倍少 69 万人次.在此期间， 地面公交和轨道交通日均客 运量各为多少万人次？ 第 5 题 - 6 - 2.（江苏省）（江苏省）一辆汽车从A地驶往B地，前 1 3 路段为普通公路，其余路段为高速公路已 知汽车在普通公路上行驶的速度为 60km/h，在高速公路上行驶的速度为 100km/h，汽车从A 地到B地一共行驶了 2.2h 请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间” ，提出一个用二元一次方程组 解决 的问题，并写出解答过程 3.（湖北襄樊）（湖北襄樊）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行 改造根据预算，共需资金 1575 万元改造一所A

14、类学校和两所B类学校共需资金 230 万 元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金 205 万元 （1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？ （2）若该县的A类学校不超过 5 所，则B类学校至少有多少所？ （3）我市计划今年对该县A、B两类学校共 6 所进行改造，改造资金由国家财政和地方 财政共同承担 若今年国家财政拨付的改造资金不超过 400 万元； 地方财政投入的改造资金 不少于 70 万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所 10 万元和 15 万元请你通过计算求出有几种改造方案？ 4.（山东淄博）（山东淄博）如图，在 33 的方阵图中，填写了一些

15、数和代数式（其中每个代数式都表 示一个数） ，使得每行的 3 个数、每列的 3 个数、斜对角的 3 个数之和均相等 - 7 - （1）求x，y的值； （2）在备用图中完成此方阵图 5.( (广东肇庆广东肇庆) ) 年北京奥运会，中国运动员获得金、银、铜牌共 100 枚，金牌数位列世界第 一 其中金牌比银牌与铜牌之和多 2 枚， 银牌比铜牌少 7 枚 问金、 银、 铜牌各多少枚？ 6 （湖南邵阳）（湖南邵阳）为迎接“建国 60 周年”国庆，我市准备用灯饰美化红旗路，需采用 A、B 两种不同类型的灯笼 200 个，且 B 灯笼的个数是 A 灯笼的 3 2 。 （1）求 A、B 两种灯笼各需多少个？

16、 （2）已知 A、B 两种灯笼的单价分别为 40 元、60 元，则这次美化工程购置灯笼需多少 费用？ 7.（新疆乌鲁木齐市）（新疆乌鲁木齐市）某超市为“开业三周年”举行了店庆活动对A、B两种商品实行 打折出售打折前，购买 5 件A商品和 1 件B商品需用 84 元；购买 6 件A商品和 3 件B商 品需用 108 元而店庆期间，购买 50 件A商品和 50 件B商品仅需 960 元，这比不打折少 2 3 4 （备用图） 2yx 2 3 4 x y （第 4 题） a b c - 8 - 花多少钱？ 8.( (福建宁德福建宁德) )某刊物报道： “12 月 15 日，两岸海上直航、空中直航和直接

17、通邮启动， 大三 通基本实现 大三通最直接好处是省时间和省成本，据测算，空运平均每航次可节省 4 小时，海运平均每航次可节省 22 小时，以两岸每年往来合计 500 万人次计算，则共可为 民众节省 2900 万小时”根据文中信息，求每年采用空运和海运往来两岸的人员各有多 少万人次 9.（湖南湖南益阳）益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用 18 元钱买了 1 支钢 笔和 3 本笔记本；小亮用 31 元买了同样的钢笔 2 支和笔记本 5 本. (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后， 班主任拿出 200 元学校奖励基金交给班长， 购买上述价格的钢笔和笔记本 共 48

18、 件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有 多少种购买方案？请你一一写出. 10. ( (浙江浙江湖州湖州) )随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计， 某小区 2006 年底拥有家庭轿车 64 辆，2008 年底家庭轿车的拥有量达到 100 辆. （1） 若该小区 2006 年底到底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到底家庭 - 9 - 轿车将达到多少辆？ （2） 为了缓解停车矛盾，该小区决定投资 15 万元再建造若干个停车位.据测算，建造费 用分别为室内车位 5000 元/个，露天车位 1000 元/个，考虑到实际因素，计划

19、露天 车位的数量不少于室内车位的 2 倍，但不超过室内车位的 2.5 倍，求该小区最多可 建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案. 11.（山东山东泰安）泰安）某旅游商品经销店欲购进 A、B 两种纪念品，若用 380 元购进 A 种纪念品 7 件，B 种纪念品 8 件；也可以用 380 元购进 A 种纪念品 10 件，B 种纪念品 6 件。 （1） 求 A、B 两种纪念品的进价分别为多少？ （2） 若该商店每销售 1 件 A 种纪念品可获利 5 元，每销售 1 件 B 种纪念品可获利 7 元，该 商店准备用不超过 900 元购进 A、B 两种纪念品 40 件，且这两种纪念品全部售出候 总获利

20、不低于 216 元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？ 【参考参考答案】答案】 选择题选择题 1.1. C C - 10 - 2.2. B B 3.3. B B 4.4. C C 5.5. B B 6.6. C C 填空题填空题 1.1. 11 2 2. 2 2 y x 3.3. 3 4 x y 4. 10 5. 20 6. 20，5 解答题解答题 1.1. 解法一： 设轨道交通日均客运量为x万人次， 则地面公交日均客运量为(469)x万 人次，依题意，得(469)1696xx 解得353x 4694 353 691343x 答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客

21、运量为 1343 万人次. 解法二：轨道交通日均客运量为x万人次，地面公交日均客运量为y万人次. 依题意，得 1696 469 xy yx 解得 353 1343 x y 答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1343 万人次. 2.2. 本题答案不惟一，下列解法供参考 解法一 问题：普通公路和高速公路各为多少千米？ 解：设普通公路长为xkm，高度公路长为ykm - 11 - 根据题意，得 2 2.2. 60100 xy xy ， 解得 60 120 x y ， 答：普通公路长为 60km，高速公路长为 120km 解法二 问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少

22、小时？ 解：设汽车在普通公路上行驶了xh，高速公路上行驶了yh 根据题意，得 2.2 602100 . xy xy ， 解得 1 1.2. x y ， 答：汽车在普通公路上行驶了 1h，高速公路上行驶了 1.2h 3.3. 解：（1） 设改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为a万元和b万元 依 题意得： 2230 2205 ab ab 解之得 60 85 a b 答：改造一所A类学校和一所B类学校所需的改造资金分别为 60 万元和 85 万元 （2）设该县有A、B两类学校分别为m所和n所则 60851575mn 17315 1212 mn A类学校不超过 5 所 17315 5 1

23、215 n 15n 即：B类学校至少有 15 所 （3）设今年改造A类学校x所，则改造B类学校为6x所，依题意得： 5070 6400 1015 670 xx xx 解之得14x x取整数 1234x ， ， ， 即：共有 4 种方案 - 12 - 4.4. 解： （1）由题意，得 342 32234. xxyyx yxx ， 解得 1 2. x y ， （2）如图 5. 解： 设金、 银牌分别为x枚、y枚， 则铜牌为(7)y 枚， 依题意， 得 (7)100 (7)2. xyy xyy ， 解以上方程组，得5121xy， 所以 721 728y 答：金、银、铜牌分别为 51 枚、21 枚、2

24、8 枚 6. （1）设需A种灯笼x个，B种灯笼y个，根据题意得： 200 2 3 xy yx ， ， 解得 120 80 x y ， ； （2）12040+8060=9600（元） 7. 解：设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据题意有 584 63108 xy xy 解之，得 16 4 x y 打折前购买 50 件A商品和 50 件B商品共需16 504 501000 元 打折后少花(1000960)40元 8. 解：设每年采用空运往来的有x万人次，海运往来的有y万人次，依题意得 x+y500 4x+22y2900 解得 x450 y50 2 3 4 1 6 1 0 5 2 -

25、 13 - 答：每年采用空运往来的有 450 万人次，海运往来的有 50 万人次 9. 解：(1)设每支钢笔x元，每本笔记本y元 依题意得： 3152 183 yx yx 解得： 5 3 y x 答：每支钢笔 3 元，每本笔记本 5 元 (2)设买a支钢笔，则买笔记本(48a)本 依题意得： aa aa 48 200)48(53 解得：2420 a 所以，一共有种方案 即购买钢笔、笔记本的数量分别为： 20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24 10. 解：(1)设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，则： 2 64 1100 x， 解得： 1 1 25 4 x %， 2

26、9 4 x （不合题意，舍去） ， 100 1 25%125. . 答：该小区到底家庭轿车将达到 125 辆 (2)设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，则： 0.50.115 22.5 ab aba 由得：b=150-5a代入得：20a 150 7 ， a是正整数，a=20 或 21， 当20a时50b，当21a 时45b. 方案一：建室内车位 20 个，露天车位 50 个；方案二：室内车位 21 个，露天车位 45 个. 11. 解： （1）设 A、B 两种纪念品的进价分别为 x 元、y 元。 - 14 - 由题意， 得 解之，得 答：A、B 两种纪念品的进价分别为 20 元、30 元 （2）设上点准备购进 A 种纪念品 a 件，则购进 B 种纪念品（40-x）件， 由题意，得 解之，得：3230 a 总获利2802)40(75aaaw是 a 的一次函数，且 w 随 a 的增大而减小 当 a=30 时，w 最大，最大值 w=-230+280=220. 40-a=10 应进 A 种纪念品 30 件，B 种纪念品 10 件，在能是获得利润最大，最大值是 220 元. .