解直角三角形及其应用（中考数学第一轮复习导学案）.doc

1、 - 1 - 解直角三角形及其应用 课前热身课前热身 1.图 1 是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图其中AB、CD分别表示一楼、二楼 地面的水平线，ABC=150， BC的长是8 m， 则乘电梯从点B到点C上升的高度 h 是 （ ） A 8 3 3 m B4 m C4 3 m D8 m 2.如图 2,长方体的长为 15，宽为 10，高为 2 0，点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要 沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是（ ） A. 215 B. 25 C. 1055 D. 35 3.如图 3，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5

2、米，那 么这两树在坡面上的距离 AB 为（ ） A. cos5 B. cos 5 C. sin5 D. sin 5 4.4.如图 4，在RtABC中，ACB90，1BC ，2AB ， 则下列结论正确的是（ ） A 3 sin 2 A B 1 tan 2 A C 3 cos 2 B Dtan3B 5.5.如图 5，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间 的水平距离）为 4m如果在坡度为 0.75 的山坡上种树， 也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离为（ ） 图 2 E A B C D 150 图 1 h B C A 图 4 5 米 A B 图 3 - 2 - A5m B6m C7m D

3、8m 【参考答案】【参考答案】 1.1. B B 【解析】过点 B 作直线 AB 的垂线， ，垂足为 E，在 RtBCE 中，sinCBE= BC CE ，即 sin30= 2 1 8 h ，所以 h=4m. 【点评】作垂线构造直角三角形，因为知道斜边长，所以利 用已知锐角的正弦关系解答即可.本题还可以利用“直角三角形中，30所对的直角边等于 斜边的一半”来求解. 2.2. B B 【解析】根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B，较短爬行路线有以下 4 条（红色线段表示）.计算可知最短的是第 2 条. 【点评】在立体图形上找最短距离，通常要把立体

4、图形转化为平面图形（即表面展开图）来 解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论. 3.3. B B【解析】利用锐角三角函数解答，在以 AB 为斜边的直角三角形中，cos AB 5 ，所 以 AB= cos 5 .【点评】在直角三角形中，根据已知边、角和要求的边、角确定函数关系. 4.4. D D 【解析】此题考查了特殊角的三角函数值.由已知可知A=30，B=60，对照 30、60的三角函数值选择正确答案. 【点评】熟记特殊角 30、45、60的三角函 数值是解题的关键.本题也可以通过勾股定理计算出 AC，然后根据锐角三角函数定义判断. 5.5. A A 【解析】考查了勾股定理和坡

5、度的定义.坡度即坡比是铅直高度与水平宽度的比，在 这里设铅直高度为 h 米，则有 h:4=0.75，h=3，利用勾股定理得相邻两树间的坡面距离 为 22 43 =5m. 【点评】 在理解坡度、 坡面距离、 水平距离等概念的基础上， 通过直角三角形的知识来解答. - 3 - 考点聚焦考点聚焦 1掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，这是本节重点 2了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转 化为直角三角形问题时，怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关 系是本节难点，也是中考的热点 备考兵法备考兵法 正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，

6、航空，工程等实际问题中 的常用概念是解决这类问题的关键 注意： （1）准确理解几个概念：仰角，俯角；坡角；坡度；方位角 （2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形 （3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，从而转化为解直角三 角形的问题 考点链接考点链接 1 1解直角三角形的概念解直角三角形的概念：在直角三角形中已知一些_叫做解直角三角形 2 2解直角三角形的类型解直角三角形的类型： 已知_；已知_ 3 3如图（如图（1 1）解直角三角形的公式）解直角三角形的公式： （1）三边关系：_ （2）角关系：A+B_， （3）边角关系：sinA=_，sinB=_，cosA

7、=_ cosB=_，tanA=_ ，tanB=_ 4如图（2）仰角是_,俯角是_ 5如图（3）方向角：OA：_，OB：_，OC：_，OD：_ 6如图（4）坡度：AB 的坡度 iAB_， 叫_，tani_ （图 2） （图 3） （图 4） A C B 45 南 北 西 东 60 A D C B 70 O O A B C c b a A CB - 4 - 典例精析典例精析 例例 1 1 （安徽（安徽省）省） 长为4m 的梯子搭在墙上与地面成 45角， 作业时调整成 60角 （如图所示） ， 则梯子的顶端沿墙面升高了 _m 【答案】2( 32) （约 0.64）. 【解析】涉及知识点有锐角三角函数

8、的应用.4m 的梯子、地面和墙高构成了直角三角形，当 梯子搭在墙上与地面成 45的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4sin45=22，当梯 子搭在墙上与地面成 60的角时，梯子的顶端到地面的距离是 4sin60=23.则梯子的 顶端沿墙面升高了2( 32) （约 0.64）m 【点评】 把立体图形转化为平面图形即直角三角形， 利用锐角三角函数或勾股定理解答即可. 例例 2 2（山东临沂（山东临沂）如图，A，B 是公路 l（l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路 l 的 距离 AC=1km，B 村到公路 l 的距离 BD=2km，B 村在 A 村的南偏东 45方向上 （1）求出 A，B 两

9、村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 P，要求该站到两村的距离相等， 请用尺规在图中作出点 P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法） 【分析】 （1）设 AB 与 CD 的交点为 O，那么三角形 AOC 和 BOD 是两个等要直角三角形，根据 A、B 到公路的距离，利用勾股定理计算 AO、BO，进而计算 AB 的长度.或者以 AB 为斜边构造 直角三角形解答.（2）作 AB 的垂直平分线，与公路 l 的交点即为所求. 【答案】解： （1）方法一：设 AB 与 CD 的交点为 O，根据题意可得45AB ACO 和BDO都是等腰直角三角形 北 东 B A C

10、 D l - 5 - 2AO，2 2BO AB，两村的距离为22 23 2ABAOBO（km） 方法二：过点B作直线l的平行线交AC的延长线于E 易证四边形CDBE是矩形， 2CEBD 在RtAEB中，由45A ，可得3BEEA 22 333 2AB （km） AB，两村的距离为3 2km （2）作图正确，痕迹清晰 作法：分别以点AB，为圆心，以大于 1 2 AB的长为 半径作弧，两弧交于两点MN， 作直线MN； 直线MN交l于点P，点P即为所求 【点评】 （1）点到线的距离是垂线短的长，所以图形中就包含了直角三角形，然后利用勾股 定理计算便是.本题也可以利用锐角三角函数计算. （2） “到线

11、段两个端点的距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上”把握这个特征是找出确切位置的基础. 迎考精迎考精练练 一、选择题一、选择题 1.（山东泰安（山东泰安）在一次夏令营活动中，小亮从位于 A 点的营地出发，沿北偏东 60方向走 了 5km 到达 B 地，然后再沿北偏西 30方向走了若干千米到达 C 地，测得 A 地在 C 地南偏西 30方向，则 A、C 两地的距离为 A.km 3 310 B.km 3 35 C.km25 D.km35 2 2. .（山东潍坊（山东潍坊）如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 l 的距离，在 A 点测得30BAD，在 C 点测得60BCD， 又测得50AC 米，

12、则小岛 B 到公路 l 的距离为（ ）米 B A C D l N M O P B C A D l 2 题 E 第 1 题图 - 6 - A25 B25 3 C100 3 3 D2525 3 二、填空题二、填空题 1.1.（四川遂宁（四川遂宁）如图，已知ABC 中，AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，那么 AC 边上的中线 BD 的长为 cm. 2.2.（浙江宁波（浙江宁波）如图，在坡屋顶的设计图中，ABAC，屋顶的宽度l为 10 米，坡角为 35，则坡屋顶高度h为 米 （结果精确到 0.1 米） 3. （湖南益阳（湖南益阳） 如图， 将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平

13、移得到CBA， 使点 B 与 C 重合，连结B A ，则CBAtan的值为 . 4.4.（山东济南（山东济南）如图，AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cosAOB的值 是 5.（山东泰安（山东泰安）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AB，沿ABC 的中线 CM 将CMA 折叠，使点 A 落在点 D 处，若 CD 恰好与 MB 垂直，则 tanA 的值为 . O A B 第 4 题图 A B C h l A C(B) B A C D - 7 - 6.6.（湖南衡阳（湖南衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 米，此时他与水平地面的垂直距离为 52米，则这个坡面的坡度为_. 7.7.

14、（湖北孝感（湖北孝感）如图，角的顶点为 O，它的一边在 x 轴的正半轴上，另一边 OA 上有一点 P（3，4） ，则 sin 三、解答题三、解答题 1.1.（河南（河南省）省）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面 2 .90m 的顶灯.已知梯子 由两个相同的矩形面组成， 每个矩形面的长都被六条踏板七等分， 使用时梯脚的固定跨度为 1m矩形面与地面所成的角为 78.李师傅的身高为 l.78m，当他攀升到头顶距天花板 0.050.20m 时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计 算判断他安装是否比较方便? (参考数据：sin780.98，cos780.21，t

15、an784.70.) D - 8 - 2.（福建福州（福建福州）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点 上，请按要求完成下列各题： （1） 用签字笔 画 ADBC（D 为格点） ，连接 CD； （2） 线段 CD 的长为 ； （3） 请你在ACD的三个内角中任选一个锐角 ，若你所选的锐角是 ，则它所对 应的正弦函数值是 . （4） 若 E 为 BC 中点，则 tanCAE 的值是 3.（山东德州）（山东德州）如图，斜坡 AC 的坡度（坡比）为 1:3，AC10 米坡顶有一旗杆 BC，旗 杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连，AB14 米试求旗杆 BC 的

16、高度 4.（浙江台州）（浙江台州）如图，有一段斜坡BC长为 10 米，坡角12CBD ，为方便残疾人的轮 椅车通行，现准备把坡角降为 5 - 9 - （1）求坡高CD； （2）求斜坡新起点A与原起点B的距离（精确到 0.1 米） 5.（河北（河北省）省）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为 O，直径 AB 是河底线，弦 CD 是水位线，CDAB，且 CD = 24 m，OECD 于点 E已测得 sinDOE = 12 13 （1）求半径 OD； （2）根据需要，水面要以每小时 0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？ 6.（江苏（江苏省）省）如图，在航线l的两侧分别有观测点 A

17、和 B， 点 A 到航线l的距离为 2km，点 B 位于点 A 北偏东 60方向且与 A 相距 10km 处现有一艘 轮船从位于点 B 南偏西 76方向的 C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点 A 的正北方向的 D 处 （1）求观测点 B 到航线l的距离； （2） 求该轮船航行的速度 （结果精确到 0.1km/h） （参考数据：31.73，sin760.97， cos760.24，tan764.01） （第 4 题） D C B A 5 12 参考数据 sin120.21 cos120.98 tan50.09 A O B E C D 北 东 C D B E A l 60 7

18、6 O - 10 - 7.（湖南娄底（湖南娄底）在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上 垂挂一长为 30 米的宣传条幅 AE，张明同学站在离办公楼的地面 C 处测得条幅顶端 A 的仰角 为 50，测得条幅底端 E 的仰角为 30. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的 地方进行测量？ （精确到整数米） （参考数据： sin500.77， cos500.64， tan50 1.20，sin30=0.50，cos300.87，tan300.58） 8.（山东烟台（山东烟台）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图）.为了测量雕塑的 高度，小明在二楼找到一点

19、C，利用三角板测得雕塑顶端 A 点的仰角为30，底部 B 点的俯 角为45，小华在五楼找到一点 D，利用三角板测得 A 点的俯角为60（如图）.若已知 CD 为 10 米，请求出雕塑 AB 的高度 （结果精确到 0.1 米，参考数据31 73.） D C B A - 11 - 9.（山东济南（山东济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图 所放风筝的高度，进行了如下操作： （1）在放风筝的点A处安置测倾器，测得风筝C的仰角60CBD； （2）根据手中剩余线的长度算出风筝线BC的长度为 70 米； （3）量出测倾器的高度1.5AB米 根据测量数据，计算出风筝的高度CE

20、约为 米（精确到 0.1 米， 31.73） 10.（山东威海（山东威海）如图，一巡逻艇航行至海面B处时，得知其正北方向上C处一渔船发生故 障已知港口A处在B处的北偏西37方向上，距B处 20 海里；C处在 A 处的北偏东65 方向上求,B C之间的距离（结果精确到 0.1 海里） 参考数据：sin370.60 cos370.80 tan370.75， sin650.91 cos650.42 tan652.14.， 11.（广东（广东省）省）如图所示，A、B两城市相距 100km现计划在这两座城市间修筑一条高速 公路 （即线段AB） ， 经测量， 森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北

21、偏西45 的方向上已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km 为半径的圆形区域内请问计划 修筑的这条高速公路会不会穿越保护区为什么？ A D B E C 60 65 37 北 北 A C B - 12 - （参考数据：31.73221.414， ） 12.（湖北襄樊（湖北襄樊）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海 域执行护航任务某天我护航舰正在某小岛A北偏西45并距该岛20海里的B处待命位 于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击， 船长发现在其北偏东60的方向有我军护 航舰（如图所示） ，便发出紧急求救信号我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时 60 海 里的

22、速度前去救援问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确 到个位参考数据：21.431.7， ） 13.（湖南长沙（湖南长沙）校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动如图，他们在 河东岸边的A点测得河西岸边的标志物B在它的正西方向，然后从A点出发沿河岸向正北 方向行进 550 米到点C处，测得B在点C的南偏西 60方向上，他们测得的湘江宽度是多 少米？（结果保留整数，参考数据：21.414，31.732） A B F E P 45 30 - 13 - 【参考答案】【参考答案】 选择题选择题 1.1. A A 【解析】此题考查了锐角三角函数的应用.由方位角可求得BAC=

23、30，ABC=90，所以 由BAC 的余弦定义得 cos30= 2 35 ACAC AB ，所以 AC=km 3 310 .【点评】根据角度 判断三角形的形状，再选择适当的关系式. 2.2. 【解析】 过点 B 作 BE 垂直于 AC， 垂足为 E， 因为30BAD，60BCD， 所以ABC= BAD=30，则 BC=AC=50，在 RtBCE 中，sinBCD= BC BE ，所以小岛 B 到公路 l 的距离 BE=BCsinBCD=50 2 3 =25 3（米）. 【点评】遇到非直角三角形的问题，通常最垂 线构造直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理解答. 填空题填空题 1.1. 2 13

24、 【解析】知识点：勾股定理的逆定理、直角三角形斜边上的中线性质.由 5 2+122=132 知ABC 是直角三角形，AC 是斜边，所以 BD= 2 1 AC= 2 13 cm. 【点评】由数量关系判断三角形 的形状，这是数形结合思想的体现.学习时要注意把直角三角形所有的知识都归纳起来，从 而达到综合运用知识的能力. 2. 3.5【解析】知识点：等腰三角形三线合一的性质、坡角函数关系、计算器的操作.根 据三线合一的性质可知，坡屋顶高度 h 把等腰三角形分成了两个全等的直角三角形，且有 tan= 5 h ，所以 h 约为 3.5 米. 【点评】利用三线合一的性质把等腰三角形转化为直角三 角形，利用

25、相应的函数关系时解答. 3. 3 1 【解析】由题意可知，ABC 平移的距离是等腰直角三角形的斜边长，过点 A作 AD BC于点D， 设AD为a， 根据等腰三角形三线合一的性质则有BC=BC=2a， 所以BD=3a， 在 RtABD 中，CBAtan= BD D A = 3 1 .【点评】准确地构造直角三角形是解答此题的关 键. - 14 - 4. 2 2 5. 3 3 【解析】本题所考查的知识点有轴对称、直角三角形斜边的中线性质、等边对等角、 同角的余角相等、30的正切函数值. 由 CM 是 RtABC 斜边的中线可得 CM=AM，则A= ACM； 由折叠可知ACM=DCM； 又A+B=BC

26、D+B=90， 则A =BCD， 所以A=ACM= DCM=BCD=30，因此 tanA=tan30= 3 3 .【点评】把直角三角形与等腰三角形结合起 来，根据折叠的不变性转化角与角之间的关系，求出角的大小，函数值即可跃然纸上. 6. 1：2 【解析】如图，由题意得直角三角形 ABC，AB=10 米，AC=52米，由勾股定理得 BC=45米，坡度为 2 1 54 52 . 7. 4 5 (或 0.8) 【解析】根据点 P 的坐标利用勾股定理可以求得 OP= 22 43 =5.所以 sin= 5 4 斜边 的对边 . 解答题解答题 1. 【解析】过点 A 作 AEBC 于点 E，过点 D 作

27、DFBC 于点 F，利用三角函数计算 AE、DF， 结合电工身高计算其头顶到天花板的距离在 0.050.20m 范围内即可判断安装方便；否则， 不方便. 【答案】解：过点 A 作 AEBC 于点 E，过点 D 作 DFBC 于点 F B C A - 15 - AB=AC, CE= 1 2 BC=0.5 在 RtABC 和 RtDFC 中，tan78 0=AE EC ， AE=ECtan78 0 0.54.70=2.35. 又sin= AE AC = DF DC ， DF= DC AC AE= 3 7 AE1.007 李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78=2.787

28、 头顶与天花板的距离约为：2.90-2.7870.11 0.050.110.20， 它安装比较方便 【点评】将等腰三角形转化为直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题. 2. 【解析】按要求作图，因图中的三角形是格点三角形，所以线段的计算要用它与网格线 构成的直角三角形，通过勾股定理计算，然后计算有关锐角的函数值. 【答案】 （）如图； （）5； （）CAD， 5 5 (或ADC， 5 52 ) （） 2 1 【点评】选择合适的格点直角三角形是计算线段长、锐角三角函数值的基础. 3. 【解析】BC 所在的三角形是斜三角形，所以它的高度无法直接求得，我们可以过点 C 作 AD 的垂线，结合坡比

29、这个条件计算 CE、AE，再计算 BE，从而通过 BE、CE 的差求 BC. 【答案】解：延长 BC 交 AD 于 E 点，则 CEAD 在 RtAEC 中，AC10， 由坡比为 13可知：CAE30， CEACsin3010 1 2 5， AEACcos3010 3 2 5 3 在 RtABE 中，BE 22 ABAE 22 14(5 3)11 BEBCCE， BCBECE11-56（米） A B C D E - 16 - 答：旗杆的高度为 6 米 【点评】过合适的点作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数和勾股定理计算线段的长 度. 4. 【解析】在 RtBCD 中，利用CBD 的正弦计算

30、CD，利用CBD 的余弦计算 BD；在 Rt ACD 中，利用A 的正切计算 AD，AD 与 BD 的差则是 A、B 的距离. 【答案】解： （1）在BCDRt中，12sinBCCD 1 . 221. 010（米） （2）在BCDRt中，12cosBCBD8 . 998. 010（米） ； 在ACDRt中， 5tan CD AD 2.1 23.33 0.09 （米） ， 23.33 9.8 13.53 13.5ABADBD（米） 答：坡高 2.1 米，斜坡新起点与原起点的距离为 13.5 米 【点评】这是一道锐角三角函数的应用题，结合图形和已知条件，选择合适的函数关系式计 算线段的长度. 5.

31、 【解析】根据垂径定理可知 DE 的长度，在 RtDOE 中，利用DOE 的正弦求半径 OD，再 利用勾股定理计算 OE，然后结合水面下降的速度得时间. 【答案】解： （1）OECD 于点 E，CD=24， ED = 1 2 CD=12 在 RtDOE 中， sinDOE = ED OD = 12 13 ， OD =13（m） （2）OE= 22 ODED = 22 13125= 将水排干需： 50.5=10（小时） 【点评】在直角三角形中，已知一边和与它相关的函数关系式时用函数关系计算另一边，当 知道两条边长时，则用勾股定理计算第三边. 6. 【解析】在 RtOAD 中，利用A 的余弦关系求

32、 OA，便知 OB 的长度，然后在 RtBOE 中利用OBE 的余弦关系求 BE；在 RtOAD 和 RtBOE 利用 60的正切关系求出 OD、OE， 便得 DE，利用路程和时间求速度. - 17 - 【答案】解： （1）设AB与l交于点O 在RtAOD中，6024 cos60 AD OADADOA， 又106ABOBAB OA， 在RtBOE中，60cos603OBEOADBEOB ，（km） 观测点B到航线l的距离为 3km （2）在RtAOD中，tan602 3ODAD 在RtBOE中，tan603 3OEBE 5 3DEODOE 在RtCBE中， 763tan3tan76CBEBEC

33、EBECBE ， 3tan765 33.38CDCEDE 1 5minh 12 ，1212 3.3840.6 1 12 CD CD（km/h） 答：该轮船航行的速度约为 40.6km/h 【点评】 根据已知的边和角， 在相应的直角三角形中选择三角函数关系式计算线段的长度即 距离. 7. 【解析】过 D 点作 DFAB 于 F 点，DF 的长度便是张明同学是在离该单位办公楼水平距 离. 【答案】解：方法一：过 D 点作 DFAB 于 F 点 在 RtDEF 中，设 EF=x，则 DF= 3x 在 RtADF 中，tan50=30 3 x x 1.204 分 30+x= 3x1.20 F - 18

34、 - x27.8 DF= 3x48 答：张明同学站在离办公楼约 48 米处进行测量的. 方法二：过点 D 作 DFAB 于 F 点 在 RtDEF 中，EF=FDtan30 在 RtAFD 中，AF=FDtan30 AE+EF=AF 30+FDtan30=FDtan50 FD48 答：张明同学站在离办公楼约 48 米处进行测量的. 【点评】作垂线构造直角三角形，根据锐角三角函数直接或间接计算所要求的距离. 8. 【解析】过点C作CEAB于E则 AB 被分为 AE、BE 两部分，在相应的直角三角形中 计算即可. 【答案】解：过点C作CEAB于E 906030903060DACD ， 90CAD

35、1 105 2 CDACCD， 在RtACE中， 5 sin5 sin30 2 AEACACE， 5 cos5 cos303 2 CEACACE， 在RtBCE中， 5 45tan453 2 BCEBECE， 555 3( 31)6.8 222 ABAEBE（米） 所以，雕塑AB的高度约为 6.8 米 【点评】利用已知角度判断三角形的形状直角三角形，作垂线构造直角三角形，通过锐 角三角函数关系把未知转化为已知，步步为营，水到渠成. 9. 【解析】首先利用三角函数关系计算 DC 的长度，加上侧倾器的高度 AB，便得风筝的高 度 CE. D E B A C - 19 - 【答案】解：在 RtCBD

36、 中，sin60= 70 CD BC CD = 2 3 ， CD=35360.55 CE=CD+DE=CD+AB62.1（米） 答：风筝的高度CE约为 62.1 米 【点评】把实际问题转化为数学问题直角三角形，这是锐角三角函数的应用. 10. 【解析】过点 A 作 ADBC 于 D，在 RtABD 中利用正弦、余弦函数计算 BD、AD，在 Rt ACD 中利用正切求 CD，即可计算 BC 的长. 【答案】解：过点 A 作ADBC，垂足为 D 在RtABD中，20AB ，37B ， sin3720sin3712ADAB cos3720cos3716BDAB 在RtADC中，65ACD， 12 5

37、.61 tan652.14 AD CD 5.61 1621.6121.6BCBD CD（海里） 答：BC，之间的距离约为 21.6 海里 【点评】把斜三角形转化为直角三角形，灵活利用锐角三角函数间接计算两点之间的距离. 11. 【解析】根据“垂线段最短”的道理，利用解直角三角形的知识计算 P 到公路 AB 的垂 直距离，再与半径 50km 作比较. 【答案】解：过点P作PCABC，是垂足， 则3045APCBPC ， 65 37 北 北 A C B D P F B C A E - 20 - ACPCtan30BCPE ，tan45, ACBCAB， PCtan30PCtan45=100， 3

38、1100 3 PC ， 50 33503 1.73263.450PC 答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路 不会穿越保护区 【点评】构造直角三角形，通过三角函数关系计算点到公路的距离，再与森林区域涉及的数 据相比较，就能知道公路是否通过保护区. 12. 【解析】要求护航舰所需时间，已知它的速度，必须要先计算出 B、C 两处的距离. 【答案】解：由图可知，3045ACBBAC， 作BDAC于D（如图） ， 在RtADB中，20AB 2 sin452010 2 2 BDAB 在RtBDC中，30ACB 2 10 220 228BC 28 0.47 60 0.47 6028.228（分钟） 答：我护航舰约需 28 分钟就可到达该商船所在的位置C 【点评】 “化斜为直”便可解决问题的目的. 13.13. 【解析】在 RtABC 中，利用 tanC= AC AB 求 AB. 【答案】解：由题意得： ABC中，9060550BACACBAC ， ， tanABACACB550 3952.6953（米） 答：他们测得湘江宽度为 953 米 【点评】在直角三角形中，已知一锐角和它的邻边、求对边时，用正切函数. C A B 60 45 北 北 D